几类数学建模问题的探讨

几类数学建模问题的探讨

在数学问题中，我们往往需要如何有效解决各类让人难以琢磨的抽象函数问题，严谨、合理、择优地数学建模，让我们熟悉的、看得见的具体函数代言抽象函数，把抽象问题具体化，通过研究具体函数的图像和性质来解决问题。这种方法对选择题和填空题特别凑效，对解答题也起到提示思路的作用。下面我们就几类数学建模问题进行一下探讨。

1． 情境一：数学建模之对数函数的选取

问题：若一个非常数函数在(0,)+∞或其子区间上满足()()()f x y f x f y ⋅=+，则选哪 类函数建模？

模型:()log (0,1)a f x x a a =>≠

例1 函数()f x 在定义域(0,)+∞上满足()()()f x y f x f y ⋅=+，且有()1f a =， （1)a >，若有不等式()(3)2f x f x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是多少？

解：满足题意的模型可选为()log (1)a f x x a =>，问题转化为

log log (3)2(1)a a x x a +-≤>恒成立2(3),03

x x a x ⎧-≤⇔⎨<<⎩恒成立294a ⇒≥，因为1a >，所以32

a ≥。 2． 情境二：数学建模之指数函数的选取

问题：若一个非常数函数在定义域上满足()()()f x y f x f y +=⋅，则选哪类函数建模？ 模型：()(0,1)x f x a a a =>≠

例2 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=，且有(4)16f =，若,m n 为互质整数，0n ≠，则()m f n

等于多少？ 解：显然()2m n m f n =完全满足题意，那么函数()f x 就由它代言，即()2m n m f n

= 3． 情境三：数学建模之正比例函数的选取

问题：若一个非常数函数在定义域上满足()()()f x y f x f y +=+，则选哪类函数建 模？

模型：()f x kx =

例3 已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意,x y R ∈，都有

()()()f x y f x f y +=+且当0,()0x f x ><恒

成立，若(3)3f =-，则()f x 在

[,](,)m n m n Z ∈上的值域是多少?

解：根据题意可以选择模型()f x x =-，那么题目答案就是[,]n m --。

4． 情境四：数学建模之一次函数的选取

问题：若一个非常数函数在定义域上满足()()()f x y f x f y B +=+-，则选哪类函数 建模？

模型：()f x kx B =+

例4 函数()f x 对任意,x y R ∈，都有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >，若(4)5f =，则不等式2(32)3f m m --<的解集是多少？

解：根据题意可选用()1f x x =+当函数模型，那么问题就转化为解不等式：

23213m m --+<，所以m 的解集为4{|1}3

m m -<<。 5． 情境五：数学建模之二次函数的选取

问题：若一个函数在定义域上满足()()f A x f A x +=-，则选哪类函数建模？ 模型：2()()f x k x A B =-+

例5 已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶 函数，则（ ）

()(6)(7A f f > ()(6)(9)B f f >

()C (7)(9)f f > ()(7)(10)D f f >

解：因为(8)y f x =+为偶函数，所以可设2(8)f x kx +=即2()(8)f x k x =-，又因

为()f x 在(8,)+∞上为减函数，所以可设1k =-，即函数2()(8)f x x =--可以代言此题，

显然答案选()D

6． 情境六：数学建模之三次函数的选取

问题：若一个函数在定义域上满足()()2f x A f A x B ++-=，则选哪类函数建模？

模型：因为从题意可看出函数关于点(,)A B 对称，所以选用形如3

()()f x k x A B =-+ 的三次函数作为函数模型最合适。

例6 若一个函数在定义域上满足(1)(1)4f x f x ++-=，判断函数(1)f x -的对称

性。（ ）

(A)关于（1,2）对称 （B ）关于（2,2）对称

(C)关于1x =对称 (D) 关于2x =对称

解：根据题意可以直接选用3()(1)2f x k x =-+作为函数模型代言上述问题，则 3(1)(2)2f x k x -=-+，显然函数(1)f x -关于（2,2）对称，故选（B ）

7． 情境七：数学建模之三角函数的选取

10种问题及其对应的模型：

（1） 问题：若函数在定义域上满足1()()

f x B f x +=- 模型：()tan()2f x x B π

ϕ=±+

（2） 问题：若函数在定义域上满足1()()

f x B f x += 模型：()|tan()|2f x x B π

ϕ=±+

（3） 问题：若函数在定义域上满足()()()1()()

f x f y f x y f x f y ±±=

模型：()tan f x x ω=± （4） 问题：若函数在定义域上满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=

模型：()cos f x Bx =

（5） 问题：若函数在定义域上满足22()()()()f x f y f x y f x y -=+⋅-

模型：()sin f x A Bx =

（6） 问题：若函数在定义域上关于直线x a =和x b =都对称()a b ≠ 模型：()sin()||f x A x a b π

ϕ=+-或()cos()||f x A x a b π

ϕ=+-

（7） 问题：若函数在定义域上关于两个点(,0)a 和(,0)b 都对称()a b ≠

模型：()sin()||f x A x a b π

ϕ=+-或()cos()||f x A x a b π

ϕ=+-

（8） 问题：若函数在定义域上关于点(,0)a 和直线x b =都对称()a b ≠