哈密顿原理

牛顿质点动力学

1 牛顿第二定律 dt

d p f 从三个方面来应用：

全局性研究：对称性、守恒律、稳定性；

局部研究：平均值、动量定理、动能定理；

瞬时研究：极限求导、奇异性、突变性；

2 重点研究非惯性、矢量性、连续性、相对性的问题；

3 从动力学观点上升到能量的观点。

哈密顿原理、保守力及其势

4 五大类典型模型

概括：

一个原理：哈密顿原理（稳定性与对称性原理）； 二种建模方法：动力学方法、能量法；

三类研究方法：对称性方法（全局）、平均值方法（局部） 求极限、求导、突变及奇异性研究方法（瞬时）；

四大重点问题：矢量性（矢量空间法）、连续性（微元动力学法）、相对性（相对速度公式法）、非惯性（等效性法）； 五项典型模型：准粒子模型、碰撞模型、势模型、相空间模型、简谐振动与波模型。（科学计算技术与研究式的学习模

式）

哈密顿原理、对称性和稳定性

1.拉格朗日函数和哈密顿量

拉格朗日函数L

对于一个物理系统，可用一个称为拉格朗日函数的量),,(t q

q L i i 来描述，其中i q 是广义坐标，=i q dt dq i /是广义速度；广义坐标与通常所说的坐标区别在于，广义坐标是针对系统的自由度确定的，譬如一个质点限制在半径R 的球面上运动，其坐标显然有x 、y 、z 三个，但广义坐标只有φθ,两个，其中ϕθcos sin R x =，θϕθcos ,sin sin R z b R y ==；一般由于运动受到约束，坐标与广义坐标的数量是不相等的，仅在无约束条件下，坐标与广义坐标的数目才是一样的,与坐标一样广义坐标的选取也不是唯一的。

在保守力作用下，系统的拉格朗日量L 定义为动能与势能之差；U T L -=

哈密顿量H

物理系统还可以用一个称之为哈密顿量的函数描述，在保守力作用下，哈密顿量定义为系统的动能与势能之和

),,(t p q H i i =U T +（i=1，2…s ）

其中)(/i i q

L p ∂∂=是广义动量，哈密顿量是广义坐标和广义动量的函数，在直角坐标下对于质点运动的广义动量可

写成v p m =。作用量I 定义为

⎰=2

1

t t Ldt I 其中，积分上下限是质点初末态I q 、F q 对应的时间。

2.哈密顿原理及轨道稳定性

哈密顿原理指出：当系统由I q 演化到F q ，其真实的轨道总是满足作用量I 取极值的条件。具体来讲，当给予广义坐标和速度一个无穷小扰动i q δ、)/(dt dq i δ，而作用量十分稳定，不受扰动，即δI =0。因此哈密顿原理的实质就是轨道的稳定性原理，质点从I q 运动到F q 总是选择一条最稳定的轨道。

其次，I 在扰动下是不变量，所以哈密顿原理也是一个对称性原理；总之哈密顿原理是物理学的最高原理。

考察空间平移的对称性，设一个系统由两个粒子组成，它们只限于在具有空间平移对称性的x 轴上运动，设两粒子坐标为x1和x2，系统的势能),(21x x E E P P =，当体系发生一平移x ∆时，两粒子坐标变为：x x x x x x ∆+='∆+='2211

,，但两粒子的相对距离未变，即x x x x x x =-='-'='1212

，空间平移对称性意味着势能与x ∆无关。此外，两粒子在相互作用势能下，所受的力

x

E x x x E x E f P P P ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂=111

x

E x x x E x E f P P P ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂-=222 所以021=+f f ，即作用力等于反作用力的牛顿第三定律成立，故有动量守恒。

一般可以表述为：系统的哈密顿量在空间坐标平移下保持不变，称系统具有空间平移对称性，它对应着动量守恒律。

3.哈密顿正则方程

当以变数),(i i p q 为参数时，由哈密顿原理可以得到一组哈密顿正则方程：

i i q H dt dp ∂-∂=// i i p H dt dq ∂∂=// 例如一个一维弹簧振子的哈密顿量

2/2/22kx m p H +=

正则方程为:

kx x H dt dp -=∂-∂=// m p p H dt dx ///=∂∂= 其中m p dt dx //=即动量的定义，而kx dt dp -=/是一维简谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义。

例1、弹簧连接体：如右图所示，用轻弹簧联接的两个质量同为m 的滑块放置在光滑的水平桌面上，试用能量法建立动力学方程。

解：

1 2

系统的动能 m P m P T 2/2/2

221+=

11x m P =、22x m P =分别为两滑块的动量 系统的弹性势能 212)(2

1l x x k U --= ， 其中k 是弹簧的劲度系数，l 是弹簧的原长；

哈密顿量 正则方程

引力势模型

质量为m 的粒子在中心引力势r B /-作用下如何运动，其中GMm B =，G 是万有引力常数，M 为中心天体的质量。 在平面极坐标下粒子的哈密顿量

r

B m p mr L r B m H r -+=-=2222

222p ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=---=∂∂-==∂∂=--=∂∂-=m P P H dt dx l x x k x H dt dP m P P H dt dx l x x k x H dt dP 2

2212221111211),(,)(2122221)(2122l x x k m P m P H --++

=

图2-3-10Java 学件弹簧连接体 图2-3-11Java 学件行星运动