课内第五章习题

第五章习题

（一）

1．将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。 （1）

2

1

,0||1;1||(1)

z z z z z +<<<<+∞-. （2）22

25

(2)(1)

z z z z -+-+，1||2z <<. （3）2

(1)

z

e z z +，0||1z <<，只要含1z 到2z 各项。 2．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成洛朗级数，并指出其收敛范围。 （1）

22

1

(1)z +，z i =.

（2）1

2,0z z e z =及 z =∞. （3）1

1,1z e z -=及z =∞.

3．试证 011s i n ()n n

n n t z c c z z z ∞

-=⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎣⎦∑，

0||z <<+∞ 其中t 为z 无关的实参数，

20

1sin(2cos )cos 2n c t n d π

θθθπ

=

⎰

，（n=1，2，…）

4．求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论。 （1）22

1

(4)z z z -+. （2）

1

sin cos z z

+.

（3）11z

z

e e

-+. （4）

23

1

()

z i +.

（5）2tan z .

（6）1cos

z i +. （7）21cos z z -.

（8）1

1

z e -.

5．下列函数在指定点的去心邻域内能否展为洛朗级数。

（1）1

cos ,02

z =； （2）1cos ,2z =∞；

（3）1

,0sin z z

=； （4）cot ,z z =∞.

6．函数()f z ，()g z 分别以z = a 为m 阶极点及n 阶极点。试问z = a 为

()(),()()f z g z f z g z +及()/()f z g z 的什么点？

7．设函数()f z 不恒为零且以z a =为解析点或极点，而函数()z ϕ以z a =为本质奇点，试证z a =是()(),()()z f z z f z ϕϕ±⋅及()/()z f z ϕ的本质奇点。 8．判定下列函数的奇点及其类别（包括无穷远点）. （1）

211

12

e --. （2）1z z

e -.

（3）211

sin 2z +.

（4）1

cos z e z

.

（5）1

1

1

z z e e --.

9．试证：在扩充z 平面上解析的函数()f z 必为常数（刘维尔定理）.

10．刘维尔定理的几何意义是“非常数整函数的值不能全含于一圆之内”，试证明：非常数整函数的值不能全含于一圆之外。

11．设幂级数0()n n n f z a z ∞

==∑所表示的和函数()f z 在其收敛圆周上只有惟一的一

阶极点0z . 试证：

01

n

n a z a +→，因而001||(||n n a z z r a +→= 是收敛半径).

（二）

1．下列多值函数在指定点的去心邻域内能否有分支可展成洛朗级数. （1

0z =； （2

1z =； （3

，z =∞；

（4）1

1

Ln z -，z =∞； （5）(1)(3)

(2)(4)

z z Ln

z z ----，z =∞.

2．函数 2

1

()(1)

f z z z =- 在z=1处有一个二阶极点；这个函数又有下列洛朗展式：

2345

1111

(1)(1)(1)(1)z z z z z =-++

----， (1|1|)z <-<+∞

于是就说“z =1 又是()f z 的本质奇点”. 这个说法对吗？

3．设函数()f z 在点a 解析，试证函数 ()()

,,()(),,

f z f a z a

g z z a

f a z a -⎧≠⎪

=-⎨⎪'=⎩

在点a 也解析.

4．设()f z 为整函数，试证 ()(0),0,

()(0),

0,

f z f z

g z z

f z -⎧≠⎪

=⎨⎪'=⎩ 也是一个整函数.

5．试证：若a 为()f z 的单值性孤立奇点，则a 为()f z 的m 阶极点的充要条件是

lim()()(0,)m z a

z a f z a →-=≠∞，

其中m 是正整数.

6．若a 为()f z 的单值性孤立奇点，()()k z a f z -（k 为正整数）在点a 的去心邻域内有界. 试证：a 是()f z 的不高于k 阶的极点或可去奇点。

7．考查函数 11()sin sin z f z ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的奇点类型。 8．试证：在扩充z 平面上只有一个一阶极点的解析函数()f z 必有如下形式：

(),0az b

f z ad bc cz d

+=

-≠+. 9．（含点∞的区域的柯西积分定理）设C 是一条周线，区域D 是C 的外部（含点∞），()f z 在D 内解析且连续到C ；又设

0lim ()z f z c →∞

=≠∞，

则

11

()2C f z dz c i π-

-=-⎰，

这里c 0及c -1是()f z 在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数. 试证之.

提示：设R 充分大，C 及其内部全含于圆周:||z R Γ=的内部（图5.8）.其次，证明 11

()2f z dz c i π-

-Γ=-⎰. 再应用复周线的柯西积分定理，就会得证。

10．（含点∞的区域的柯西积分公式）假设条件同前题，则

()(),,1()20(),

.

C f z f z

D f d i z f z D ζζπζ--∞∈⎧⎪

=⎨

--∞∈⎪⎩⎰

这里C －表示的方向，含点∞的区域D 恰在一人沿它前进的左方。

提示：例如就定点z D ∈来说，以z 为心作充分大圆周z Γ，使C 及其内部全含于z Γ内部（如图5.9）。z L C -=Γ+构成一复周线，则应用有界区域的柯西积分公式

1()

().2L f d f z i z

ζζπζ=-⎰

再进一步由()f ζ在||R z ζ<-<+∞内的洛朗展式可以证明