弹性力学平面问题的复变函数方法

原公式 有误！
椭圆孔问题的复势解法
保角变换
z = ω (ζ ) = R( 1
ζ
+ mζ )
ζ ≤1
z = re iθ , ζ = ξ + iη = ρeiϕ
物理平面
像平面
φ ( z ) = φ [ω (ζ )] = φ (ζ )
* *
φ*′ ( z ) = φ ′(ζ ) / ω ′(ζ ) ′ ψ * ( z ) = ψ ′( z ) / ω ′(ζ )
′ ⎡ φ ′(ζ ) ⎤ φ*′′( z ) = ⎢ ⎥ / ω ′(ζ ) ⎣ ω ′(ζ ) ⎦
ψ ( z ) = ψ [ω (ζ )] = ψ (ζ )
* *
*表示物理平面的复势函数
σ ρρ + σ ϕϕ = σ xx + σ yy
σ ϕϕ − σ ρρ + 2iσ ρϕ = e 2iα (σ yy − σ xx + 2iσ xy )
弹性力学平面问题的复变函数方法
参考书目 陆明万，罗学富。弹性理论基础，清华大学出版社， 1997 范天佑。断裂理论基础，科学出版社，2003 M.I.Muskhelishvili(穆斯赫里什维里），数学弹性力 学的几个基本问题，赵惠元译，科学出版社，1958
复应力函数
对于无（常）体力平面问题，可引入Airy应力函数U，满足
ω (ζ ) φ (ζ ) + φ ′(ζ ) +ψ (ζ ) = f ( s ) ω ′(ζ )
f ( s ) = i ∫ (Tx + iTy )ds = i ( X + iY )
ω (σ ) φ (σ ) + φ ′(σ ) +ψ (σ ) = f (σ ) ω ′(σ )
同理取其共轭可以得到另一线性无关方程
C = 0, κγ − γ ′ = 0
给定应力时，利用 给定位移时，利用
φ (0) = 0, Im[φ ′(0)] = 0, ψ (0) = 0
φ (0) = 0 来确定复势
复势的结构
单连域中复势是单值的解析函数，多连域中，虽然解析，但 未必单值。考虑物理上应力和位移必须是单值，可以得到复 势的结构。
∂U + f1 ( y ) ∂x ∂U Eu y = −2i[φ ( z ) − φ ( z )] − (1 + v) + f 2 ( x) ∂y
df1 ( y ) df 2 ( x) − = =ω dy dx
f1 ( y ) = u0 − ωy,
f 2 ( x) = v0 + ωx
代表刚体位移，对应力应变无贡献，可以略去
n =1
∞
φ0 (σ ) +
ω (σ ) ′ φ0 (σ ) +ψ 0 (σ ) = f 0 (σ ) ω ′(σ )
X + iY X − iY ω (σ ) f0 = f − ln σ − σ 2π 2π (1 + κ ) ω ′(σ ) − 2 Bω (σ ) − ( B′ − iC ′)ω (σ )
Goursat公式
复应力函数
1 U = [ zφ ( z ) + zφ ( z ) + χ ( z ) + χ ( z )] 2 or U = Re[ zφ ( z ) + χ ( z )]
应力的复势表示
σ xx
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U = 2 , σ yy = 2 , σ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
zwk.baidu.comz0
∫
z
z0
φ1′( z )dz = ∑ Ck ln( z − z k ) +φ1 ( z )
k =1
m m
m
φ ( z ) = z ∑ Ak ln( z − z k ) + ∑ γ k ln( z − z k ) + φ1 ( z )
k =1 k =1
类似地
′ ψ ( z ) = ∑ γ k ln( z − z k ) + ψ 1 ( z )
代入剪应 力表达式
∂u x ∂ ∂ 2U = 2 [φ ( z ) + φ ( z )] − (1 + v) 2 E ∂x ∂x ∂x ∂u y ∂ ∂ 2U = −2i [φ ( z ) − φ ( z )] − (1 + v) 2 E ∂y ∂y ∂y
Eu x = 2[φ ( z ) + φ ( z )] − (1 + v)
∇ ∇ U = 16
2 2
∂ 4U ∂z ∂ z
2 2
=0
U = f1 ( z ) + z f 2 ( z ) + f 3 ( z ) + zf 4 ( z )
f 3 ( z ) = f1 ( z ), f 4 ( z ) = f 2 ( z )
U = f1 ( z ) + z f 2 ( z ) + f1 ( z ) + z f 2 ( z )
∂U ∂U (Tx + iTy )ds = −id [ ] +i ∂y ∂x = −id [φ ( z ) + zφ ′( z ) + ψ ( z )]
在边界上令A固定，B点变动，将上式对曲 线段AB积分，得到
φ ( z ) + zφ ′( z ) +ψ ( z ) = [
= i ∫ (Tx + iTy )ds + C
cos(n, x) = dy dx , cos(n, y ) = − ds ds
∂ dx ∂ dy d = + ds ∂x ds ∂y ds
Tx = d ∂U d ∂U ( ), Ty = − ( ) ds ∂x ds ∂y
d ∂U ∂U Tx + iTy = −i ( +i ) ds ∂x ∂y
∇ 2∇ 2U = 0
U ( x, y ) = U ( z , z )
∂U ∂ ∂ = ( + )U ∂x ∂z ∂ z ∂U ∂ ∂ = i ( − )U ∂y ∂z ∂ z
z = x + iy, z = x − iy
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ∇ 2U = 2 + 2 = 4 ∂x ∂y ∂z∂ z
则 σ yy − σ xx + 2iσ xy = 2[ zφ ′′( z ) +ψ ′( z )]
位移的复势表示
∂u x = σ xx − vσ yy = (σ xx + σ yy ) − (1 + v)σ yy ∂x ∂u y = σ yy − vσ xx = (σ xx + σ yy ) − (1 + v)σ xx E ∂y ∂u ∂u µ ( y + x ) = σ xy ∂x ∂y E
AB
∂U ∂U B ]A +i ∂y ∂x
复势确定的程度
设φ1 ( z )与ψ 1 ( z )是满足应力组合关系的一对复势，则
φ2 ( z ) = φ1 ( z ) + iCz + γ ψ 2 ( z) = ψ 1 ( z) + γ ′
也满足应力组合关系。 将两组复势代入位移关系，并令两组位移相等，得
k =1
m
′ 由位移单值条件，有 Ak = 0, κγ k + γ k = 0 (k = 1,2, L m)
内边界Lk上有 [φ ( z ) + zφ ′( z ) +ψ ( z )]L 经推导最终得
k
= i ∫ (Tx + iTy )ds = i ( X k + iYk )
Lk
m 1 φ ( z) = − ∑ ( X k + iYk ) ln( z − zk ) + φ1 ( z ) 2π (1 + κ ) k =1 m 1 ψ ( z) = ∑ ( X k − iYk ) ln( z − zk ) +ψ 1 ( z ) 2π (1 + κ ) k =1
σ xx + σ yy = 2[φ ′( z ) + φ ′( z )] = 4 Re[φ ′( z )]
σ yy − σ xx + 2iσ xy = (
∂ ∂ − i ) 2U ∂x ∂y
∂ 2U = 4 2 = 2[ zφ ′′( z ) + χ ′′( z )] ∂z
原公式有误！
令 ψ ( z ) = χ ′( z )
e
2 iα
ζ 2 [ω ′(ζ )]2 ζ 2 ω ′(ζ ) = 2 = 2 2 ρ ω ′(ζ ) ρ ω ′(ζ )
⎡ φ ′(ζ ) ⎤ ⎥ ⎣ ω ′(ζ ) ⎦ ′ ⎧ ⎫ ⎡ φ ′(ζ ) ⎤ 2ζ 2 ⎪ ⎪ = 2 + ψ ′(ζ )⎬ ω (ζ ) ⎢ ⎨ ⎥ ρ ω ′(ζ ) ⎪ ⎣ ω ′(ζ ) ⎦ ⎪ ⎩ ⎭
n
−1
n
n = −∞
bn z n ∑
由于远方应力有限 an = 0, bn = 0 (n ≥ 2) 代入应力或位移边界条件，可以确定系数 an 和bn
小结
弹性力学基本方程 复变函数基本公式 弹性力学平面问题的复变函数方法
What we learn next
裂纹尖端的二维渐近方程及求解 应力强度因子KI, KII, KIII
σ ρρ + σ ϕϕ = 4 Re ⎢ σ ϕϕ − σ ρρ + 2iσ ρϕ
ρ = 1, ζ = σ = eiϕ 像平面的边界为单位圆周
返回物理平面，代入位移边界条件得
ω (σ ) κφ (σ ) − φ ′(σ ) −ψ (σ ) = 2µ (u x + iu y ) ω ′(σ )
取其共轭，得到另一个线性无关的函数方程，由这两 个方程可以最终确定 φ (ζ )和ψ (ζ ) 考虑应力边界
σ xx + σ yy = 4 Re[φ ′( z )]
φ ′(z ) 实部单值，但其虚部未必单
值，在绕任一内边界后，其虚部可 能出现一个增量，设为 2πiAk 则
φ1′( z ) = φ ′( z ) − ∑ Ak ln( z − z k )
k =1
m
为多连域中的单值解析函数
对上式进行积分得
φ ( z ) = ∑ Ak [( z − z k ) ln ( z − zk ) − ( z − z k )] + ∫ φ1′( z )dz + C
E (u x + iu y ) = 4φ ( z ) − (1 + v)( ∂U ∂U ) +i ∂x ∂y
∂U = (3 − v)φ ( z ) − (1 + v)[ zφ ′( z ) +ψ ( z )] = 4φ ( z ) − (1 + v)2 ∂z
统一表达式
2 µ (u x + iu y ) = κφ ( z ) − zφ ′( z ) −ψ ( z )
⎧3 − v 平面应力 ⎪ κ = ⎨1 + v ⎪3 − 4v 平面应变 ⎩
边界条件的复势表示
位移边界 κφ ( z ) − zφ ′( z ) −ψ ( z ) = 2µ (u x + iu y ) 力边界
σ xx cos(n, x) + σ xy cos(n, y ) = Tx σ xy cos(n, x) + σ yy cos(n, y ) = Ty
上式中前三项与孔边给定载荷有关，后两项与远方均匀应 力场有关。已取C＝0
对于物理平面的无穷大介质中的圆孔问题，无需保角 变换，可以直接用级数法求解
φ ( z ) = A−1 ln z + a1 z + a0 + ψ ( z ) = B−1 ln z + b1 z + b0 +
n = −∞ −1
∑a z
X + iY ln ζ + ( B + iC )ω (ζ ) 2π (1 + κ ) κ ( X − iY ) ψ (ζ ) = ψ 0 (ζ ) + ln ζ + ( B′ + iC ′)ω (ζ ) 2π (1 + κ )
φ (ζ ) = φ0 (ζ ) +
求单值解析 复势
where φ0 (ζ ) = ∑ anζ n , ψ 0 (ζ ) =bnζ n