高中数学各章节基础练习-立体几何基础题

立体几何基础A 组题
一、选择题：
1．下列命题中正确命题的个数是_____个_ ⑴ 三点确定一个平面
⑵ 若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内 ⑶ 两两相交的三条直线在同一平面内
⑷ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2．已知异面直线a 和b 所成的角为︒50，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是︒30的
直线条数有且仅有______条 3．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，下列四个命题中正确的是_______ (1) 若βα//，则m l ⊥ (2) 若βα⊥，则m l // (3) 若m l //，则βα⊥ (4) 若 m l ⊥，则βα//
4．已知m 、n 为异面直线，⊂m 平面α，⊂n 平面β，l =βα ，则l 与m 、n 的关系式______ 5．设集合A={直线}，B={平面}，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，则下列命题中的真命题是 （ ） A.
c a b a b c ⊥⇒⎭
⎬
⎫
⊥// B. c a c b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ C. c a b c b a //////⇒⎭⎬⎫ D. c a b c b a ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥//
6．已知a 、b 为异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AC=AD ，BC=BD ，则直线a 、b 所成的角为 7．下列四个命题中正确命题的个数是 个 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱是正方体
底面是正三角形，各侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
8．设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间关系是 ________ 9．正四棱锥P —ABCD 中，高PO 的长是底面长的
21，且它的体积等于3
3
4cm ，则棱AB 与侧面PCD 之间的距离是
10．纬度为α的纬圈上有A 、B 两点，弧在纬圈上，弧AB 的长为απcos R （R 为球半径），则A 、B
两点间的球面距离为________
11．长方体三边的和为14，对角线长为8，那么 （ ） A.它的全面积是66 B.它的全面积是132
C.它的全面积不能确定
D.这样的长方体不存在
12．正四棱锥P —ABCD 的所有棱长都相等，E 为PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦
值等于_________
13．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面是 形
14．正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的重点，则EF 与BG 所成角的
余弦值为________________________
15．二面角βα--a 内一点P 到两个半平面所在平面的距离分别为22和4，到棱a 的距离为24，则这个二面角的大小为__________________ 16.四边形ABCD 是边长为a 的菱形，︒=∠60BAD ，沿对角线BD 折成︒120的二面角A —BD —C 后，AC 与BD 的距离为_________________________ 17．P 为︒120的二面角βα--a 内一点，P 到α、β的距离为10，则P 到棱a 的距离是______________ 18．如图：正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成︒60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是______________________
19．已知三棱锥P —ABC 中，三侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，三侧面与底面所成二面角的大小
分别为γβα,,，则=++γβα2
2
2
cos cos cos _______________
20．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____________（只需写出一个可能的值）。

21．三棱锥P —ABC 的四个顶点在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧
面的面积分别为6,32,2，则这个球的表面积是________ 三、解答题：
22．已知直线α⊥a ，直线⊥a 直线b ，α⊄b ，求证：α//b
23．如图：在四面体ABCD 中，BCD AB 平面⊥，BC=CD ，︒=∠90BCD ，︒=∠30ADB ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。

（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）求平面BEF 和平面BCD 所成的锐二面角正切值。

B
D
A
27．如图所示：已知⊥PA ⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 作PC
AE ⊥于E ，求证：PBC AE 平面⊥。

P
E
A O B
C
24．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线B 1C 和BD 1间的距离。

25．如图：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 、F 、G 分别是AB 、CC 1、B 1C 的中点，求异面
直线EG 与A 1F 的距离。

1
A 1
C
E
26．矩形ABCD 中，AB=6，BC=32，沿对角线BD 将ABD ∆向上折起，使点A 移至点P ，且P
在平面BCD 上射影位O ，且O 在DC 上， （1）求证：PC PD ⊥；
（2）求二面角P —DB —C 的平面角的余弦值； （3）求直线CD 与平面PBD 所成角正弦值。

B
28．已知：空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ,M 、N 分别为BC 和AD 的中点，设
AM 和CN 所成的角为α，求αcos 的值。

29．已知：正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，各侧面的顶角为︒30，D 为侧棱SC 的重点，截面DEF
∆过D 且平行于AB ，当DEF ∆周长最小时，求截得的三棱锥S —DEF 的侧面积。

30．在四面体A —BCD 中，AB=CD=5，AC=BD=52，AD=BC=13,求该四面体的体积。

立体几何基础B 组题
一、选择题：
1．在直二面角α—AB —β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成︒45 的斜
线PC 、PD ，那么CPD ∠的大小为
2．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：γβ =l ，α//l ，α⊂m 和γ⊥m ，那么必有（ ） A. γα⊥且m l ⊥ B. γα⊥且β//m
C. β//m 且m l ⊥
D. βα//且γα⊥
3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 个 E F 4．如图：在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长 为3的正方形，EF//AB ，2
3
=
EF ，EF 与面AC 的距 D C 离为2，则该多面体的体积为
A B
5．如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是 6．已知球的体积为π36，则该球的表面积为________
7．已知α//MN ，α⊂A M 1，且α⊥1MM ，MN NA ⊥，若2=MN ，31=A M ，4=NA ，则
N M 1等于
8．异面直线a 、b 成︒60角，直线a c ⊥，则直线b 与c 所成角的范围是
9．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ） A.至多只有一个是直角三角形 B.至多只有两个是直角三角形
C.可能都是直角三角形
D.必然都是非直角三角形10．如图：在斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC
∆中，B
1
C1
︒
=
∠90
A，且AC
BC⊥
1
，过C1作⊥
H
C
1
底面ABC，A1垂足为H，则点H在（）
A.直线AC上
B.直线AB上 B C
C.直线BC上
D. ABC
∆内部 A
11．如图：三棱锥S—ABC中，
2
1
=
=
=
SC
SG
FS
BF
EA
SE
，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为________
C
12．正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量，这个常量是（）
A.正四面体的一个棱长
B.正四面体的一条斜高的长
C.正四面体的高
D.以上结论都不对
13．球面上有三点A、B、C，每两点之间的球面距离都等于大圆周长的
6
1
，过三点的小圆周长为π4，则球面面积为
14．α、β是两个不同的平面，n
m,是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①n
m⊥②β
α⊥③β
⊥
n④α
⊥
m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是____________
15．关于直角AOB在平面α内的射影有如下判断：①可能是︒0的角；②可能是锐角；③可能是直角；
④可能是钝角；⑤可能是︒
180的角，其中正确判断的序号是_________
(注：把你认为是正确判断的序号都填上)
16．如图所示：五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出⊥
l面MNP的图形的序号是____________________
①②③
N
④ ⑤
17．如图：平面//α平面β//平面γ，且β在α、γ之间。

若α和β的距离是5，β和γ的距离是3，
直线l 和α、β、γ分别交于A 、B 、C ，AC=12，则AB=___，BC=____
18．已知三条直线两两异面，能与这三条直线都相交的直线有__________________条。

19．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱
锥体积为_____________（写出一个可能值） 20．正三棱锥两相邻侧面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则βα2cos cos 2+=_____
21．正四面体的四个顶点都在表面积为π36的一个球面上，则这个正四面体的高等于______
22．如图所示：A 1B 1C 1D 1是长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，CC 1=12，AA 1=5，则这个几何体的体积为
________________
B
三、解答题：
23．已知平面α//平面β，AB 、CD 是夹在α、β间的两条线段，A 、C 在α内，B 、D 在β内，点
E 、
F 分别在AB 、CD 上，且n m FD CF EB AE :::==，求证：α//EF
24．在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，︒=∠90ABC ，ABCD SA 面⊥，SA=AB=BC=1，
2
1=
AD ，（如图）， （1）求四棱锥S —ABCD 的体积； （2）求面SCD 与面SAB 所成二面角的正切值。

S
25．从二面角βα--MN 内一点A 分别作AB ⊥平面α于B ，AC ⊥平面β于C ，已知AB=3cm ，
AC=1cm ，︒=∠60ABC ，求：
（1）二面角βα--MN 的度数； （2）求点A 到棱MN 的距离。

26．如图：在棱长为a 的正方体''''C B A O OABC -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF ，
（2）当三棱锥BEF B -'的体积取得最大值时，求二面角B EF B --'的大小。

O
A C
B
E
27．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（如图），（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离。

C1
A
B
28．如图：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，︒
=
∠90
ACB，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD
∆的重心G。

（1）求A1B与平面ABD所成角的正弦值（2）求点A1到平面AED的距离。

A1
29．如图：三棱柱
1
1
1
B
A
O
OAB-，平面OBB1O1⊥平面OAB，︒
=
∠60
1
OB
O，︒
=
∠90
AOB，且OB=OO1=2，OA=3,求:
（1）二面角O1—AB—O的大小；
（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小。

(上述结果用反三角函数值表示)
答案：（1）7
arctan，（2）
7
1
arccos
1
A
30．PD ⊥矩形ABCD 所在平面，连PB ，PC ，BD ，求证：︒<∠+∠90BPC PBD ，如图。

31．长方形纸片ABCD ，AB=4，BC=7，在BC 边上任取一点E ，把纸片沿AE 折成直二面角，问E
点取何处时，使折起后两个端点B 、D 之间的距离最短？ 答案：当BE=4时，BD 的最小值为37 32．如图：BCD ∆内接于直角梯形A 1A 2A 3D ，已知沿BCD ∆三边把BD A 1∆、BC A 2∆、CD A 3∆翻
折上去，恰好使A 1、A 2、A 3重合成A ，
（1）求证：CD AB ⊥；（2）若101=D A ，821=A A ，求二面角A —CD —B 的大小。

答案：（1）略，（2）8
17
arctan
A 1A A 3
B
32．如图：四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、
PB 的中点。

（1）求证：EF ⊥平面PAB ；（2）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小。

A
答案：（1）略，（2）6
3
arcsin
33．在三棱锥P —ABC 中，PA 、BC 的长度分别为a 、b ，PA 与BC 两条异面直线间的距离为h ，且
PA 与BC 所成的角为θ，求三棱锥P —ABC 的体积。

答案：θsin 6
1abh 34．如图所示：四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD
是面积为32的菱形，ADC ∠为菱形的锐角，M 为PB 的重点， （1）求证：CD PA ⊥；
（2）求二面角P —AB —D 的度数；
（3）求证：平面CDM ⊥平面PAB ；
（4）求三棱锥C —PDM 的体积。

D
答案：（1）略，（2）︒45，（3）略，（4）
2
1
35．如图所示：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=AA 1=2，︒=∠90ACB ，E 为BB 1中点，
︒=∠901DE A ，
（1）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （2）求二面角C —A 1E —D 的大小； （3）求三棱锥A 1—CDE 的体积。

答案：（1）略，（2）︒45，（3）1
A 1
1
36．如图所示：已知在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，D 为AB 的中点，平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，异面直线BC 1与AB 1互相垂直。

（1）求证：AB 1⊥平面A 1CD ；
（2）若CC 1与平面ABB 1A 1的距离为1，371=
C A ，51=AB ，求三棱锥AC
D A -1的体积。

答案：（1）略，（2）
3
5
A 1
C
立体几何基础C 组题
一、选择题：
1．过空间任一点作与两条异面直线成︒60的直线，最多可作的条数是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1
答案：A
2．用一块长方形钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱，可用的长方形钢板有下列四种不同的规格（长⨯宽的尺寸如各选项所示，单位均为m ）。

若既要够用，又要所剩最小，则应选择钢板的规格是 （ ） A. 52⨯ B. 5.52⨯ C. 1.62⨯ D. 53⨯
答案：C
3．已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下列结论中正确的个数是 （ ） （1）]2
,
0()(π
=P N M （2） ],0()(π=P N M
（3）]2,
0()(π
=P N M （4） )2
,0()(π
=P N M A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案：D
4．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） A. 2
2R π B.
249R π C. 238R π D. 22
5
R π 答案：B 5．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ） A. π3 B. π4 C. π33 D. π6 答案：A 6．如图：四棱锥P —ABCD 的底面为正方形， P PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=1，设点C 到平面PAB 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离2d ，则有（ ）
A. 211d d <<
B. 121<<d d D C
C. 211d d <<
D. 112<<d d A B
答案：D
7．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是1ACB ∆的（ ） A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
答案：D
8．设正三棱锥P —ABC 的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，则这两部分体积之比为 （ ） A.
254 B. 2521 C. 214 D. 17
4 答案：C
9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是
π3
32
,那么该三棱柱的体积是 （ ） A. 396 B. 316 C. 324 D. 348 答案：D 10．在侧棱长为32的正三棱锥S —ABC 中，︒=∠=∠=∠40CSA BSC ASB ，过A 作截面AEF ，
则截面的最小周长为 （ ） A. 22 B.4 C.6 D.10
答案：C
11．设O 是正三棱锥P —ABC 底面ABC ∆的中心，过O 的动平面与P —ABC 的三条侧棱或其延长线
的交点分别记为Q,R,S ，则和式
PS
PR PQ 1
11++满足 （ ）
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等
D.是一个与平面QRS 为之无关的常量 答案：D
12．三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且三条侧棱长之和为3，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. 1
B.
61 C. 3
1
D.6 答案：B 二、填空题：
13．过正方体的每三个顶点都可确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成的角都相等的不
同平面的个数为__________________个 答案：8 14．在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则2
2
2
BC AC AB =+。

” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则___________”
答案：BCD ADB ACD ABC
S S S S
∆∆∆∆=++2222
15．下图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题（1）AB 与EF 所在直线平行；（2）AB 与CD 所在直线异面；（3）MN 与BF 所在直线成︒60角；（4）MN 与CD 所在直线互相垂直，其中正确命题的序号为_________________（将所有正确的都填入空格内）
E
答案：（2）、（4）
16．如图：在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于
地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：
A C
B
G
B
C
A G
①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH 的面积不变；③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜如图所示时，BE BF ⋅是定值，其中所有正确命题的序号是_____________
答案：①③④ 17．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离为_________________
答案：3 三、解答题：
18．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，b BC =，c AA =1，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的
余弦值。

答案：
2
2
2
2
2
2
2c
b c b a b c +⋅++-
19．如图所示：四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥面ABCD ，
（1）平面PAD ⊥平面ABCD 所成的二面角为︒60，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于︒90。

答案：（1）3
3
3a V ABCD P =
-，（2）略
20．如图：已知平行六面体''''D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，且BCD CD C CB C ∠=∠=∠11，（1）证明：BD CC ⊥1；（2）当
1
CC CD
的值为多少时，能使⊥C A 1平面C 1BD ？请给出证明。

O
答案：（1）略，（2）
11
=CC CD
21．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1=2，AB=3，AD=a ,求：
（1）异面直线B 1C 与BD 1所成的角；（2）当a 为何值时，使B 1C ⊥BD 1？ 答案：（1）4
134arccos
2
2
2+⋅+-a a a ，（2）2=a
22．如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，在直线CC 1上找一点N ，使MN ⊥AB 1. 答案：4
1
=
CN
1
A
23．如图：正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直，点M 在AC 上
移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ，)20(<
<a 。

（1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小；
（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角的大小。

A
D
答案：（1）)20(2
1
)22(2<<+-
=a a MN （2）22=
a （3）)3
1
arccos(
-
24．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱AA 1上存在动点P ，已知AB=2，AA 1=3，求截面PBC 与PB 1C 1所
成二面角的最值。

答案：34arctan max =θ，3
min π
θ=
25．如图所示：平面EAD ⊥平面ABCD ，ADE ∆是等边三角形，ABCD 是矩形，F 是AB 的中点，
G 是AD 的中点，EC 与平面ABCD 成︒30的角。

（1）求证：EG ⊥平面ABCD ；
（2）当AD=2时，求二面角E —FC —G 的度数；
（3）当AD 的长是多少时，D 点到平面EFC 的距离为2，请说明理由。

答案：（1）略，（2）︒45，（3）6=
AD
C 1
1
A
B
26．如图所示：斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，︒=∠90ACB ，BC=2，B 1在底面ABC 上的射影D 恰是
BC 中点，侧棱与底面成︒60角，侧面A 1ABB 1与侧面B 1BCC 1成︒30角，。

求该柱体的侧面积和体积。

答案：3
27．如图：长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AD ，,2=AB 点E 在棱AB 上移动。

（1）证明：D A E D 11⊥；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小为
4
π。

D 1 C 1
A 1
B 1 D C
A E B
答案：（1）略（2）
3
1
（3）32-
28．如图：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，侧棱ABCD PA 底面⊥，AB =
1BC =，2PA =，E 为PD 的中点。

（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
（2）在侧面PAB 内找一点N ，使PAC NE 平面⊥,并求出N 点到AB 和AP 的距离。

P
E
D C
A B
答案：（1）
1473（2）1、6
3
29．如图：在直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE =，F 为CE 上
的点，且ACE BF 平面⊥。

（1）求证：BCE AE 平面⊥； （2）求二面角E AC B --的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离。

D C
F
A B
E
答案：（1）略（2）36arcsin
（3）3
3
2 30．如图：在斜三棱柱111C B A ABC -中，AC A AB A 11∠=∠，a B A A A AC AB ===11,，侧
面B 1BCC 1与底面ABC 所成的二面角为︒120，E 、F 分别是棱B 1C 1、A 1A 的中点。

（1）求A 1A 与底面ABC 所成的角； （2）证明FC B //11平面E A ；
（3）求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的体积。

C 1 E A 1 B 1
F
C
A B
答案：（1）︒60（2）略（3）327
3
4a π。