三角函数题型总结-教师版

高三数学三角函数题型大全

一、求值化简型

1、公式运用

〖例〗(2004淄博高考模拟题)（1）已知tan α=3,求：αα22cos 4

1

sin 32+的值。 （2）已知tan α+sin α=m, tan α-sin α=n (),2

Z k k ∈≠

π

α, 求证：n

m n

m +-=

αcos . （1）解：24112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222++-=+-++--=+αααααα 24

112cos 812cos 3181)1cos 2(8131)sin 21(31cos 41sin 322222+

+-=+-++--=+αααααα 24

11

2cos 812cos 3181)12cos 2(8131++-=+-++ααα=++--=24

11sin cos sin cos 2452

22

2

αααα=++--=2411sin cos sin cos 245222

2αααα2411tan 1tan 122++-αα85= （2）证明：两式相加，得α

ααcos sin 2tan =+=n m 两式相减，得2sin n

m -=α

所以 n

m n

m n m +-=

+=ααsin 2cos 〖举一反三〗（2004.湖南理）（本小题满分12分）

1、已知1cot tan sin 2),2

,4(,41)24

sin(

)24

sin(2--+∈=

-⋅+αααπ

πααπ

απ

求的值. 解：由)24

cos()24sin(

)24sin(

)24sin(

απ

απαπ

απ

+⋅+=-⋅+

,4

1

4cos 21)42sin(21==+=ααπ

得 .214cos =α 又.12

5),2,4(π

αππα=∈所以

于是 α

αααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222

-+

-=-+-=--+ .32

5)3223()65cot 265(cos

)2cot 22(cos =---=+-=+-=ππαα 2、（2013年西城二模）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ

∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转

3

π

，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．

（Ⅰ）若3

1

1=

x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．

（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3

x π=+α．

因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3

=

α，

所以 sin 3

==

α． ………………3分

所以 21cos()cos 32x π=+

==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3

y π

=+α． 所以 111111

cos sin sin 2224S x y =

=⋅=ααα， ………………7分 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343

S x y πππ

==-+⋅+=-+ααα． ……………9分

依题意得 2sin 22sin(2)3

π

=-+αα，

整理得 cos20=α． ………………11分

因为

62ππ<<α， 所以 23

π

<<πα， 所以 22π=α， 即 4

π

=α． ………………13分

2、三角形中求值

〖例〗（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A . (I)求cosA 的值; (II)求c 的值.

【答案】解:(I)因为a =3,b =2

,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得

3sin sin 2A A

=.所以

2sin cos sin A A A =.故cos A =.

(II)由(I)知cos A =

,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以

21

cos 2cos 13

B A =-=.所以sin 3B ==.

在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin 9

C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C

c A

=

=.

【举一反三】

（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））设ABC ∆的内角,,A B C 的

对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B

(II)若31

sin sin 4

A C -=

,求C . 【答案】

③三角不等式

（2013年高考湖南卷（理））已知函数

2()sin()cos().()2sin 632

x

f x x x

g x ππ=-+-=.

(I)若α是第一象限角,且33

()f α=

求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.

【答案】解: (I)5

3

3sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(=

=⇒=++-=

ααf x x x x x x f . 5

1

cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且

(II)2

1

)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒

-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒+

+

∈+

⇒],3

22,2[]652,6

2[6

π

πππππ

ππ

二、图像和性质型 1、求范围