空间解析几何 PPT课件
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空间解析几何课件 2

xx
o
y yΒιβλιοθήκη 在平面 x=0 或 y=0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到。)
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内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
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思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F ( x, y , z ) 0
z
S
o
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何

(, 0,0) ,y轴上点的坐标为 (0, , 0) ,z轴上点的坐标为 (0,0, ) ;
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为:
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量(同向或反向
的两向量称为平行向量).
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为:
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量(同向或反向
的两向量称为平行向量).
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
高等数学-01空间解析几何(课件

向量的数量积
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中,力可以表示为向量,力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中,速度和加速度可以表示 为向量,通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积,是一个 向量运算,结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积,结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题,学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法,掌握其性质和应用,
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程,可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域,曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中,曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律,建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域,曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中,力可以表示为向量,力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中,速度和加速度可以表示 为向量,通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积,是一个 向量运算,结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积,结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题,学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法,掌握其性质和应用,
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程,可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域,曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中,曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律,建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域,曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
《空间解析几何简介》PPT课件

.
7
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7(补充) 空间解析几何简介
例2 作z = d (d为常数)的图形.
解 A x B y C zD 0
A0,B0,C 1.
z
d
o
x
y
.
8
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7(补充) 空间解析几何简介
例3 求球心在点
,半径为R的球面方程.
M0(x0, y0,z0)
.
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7(补充) 空间解析几何简介
例4 作 x2y2R2的 图 形 .
解
z
x2 y2 R2
o y
x
.
10
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7(补充) 空间解析几何简介
例5 作 zx2y2的 图 形 .
解
z
z x2 y2
x2 y2 0 zx2y2在xoy面的上方,
2. 空间曲面与方程
定义 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0, 不在曲面S上的点的坐标都不满足F(x,y,z)=0,则称方程 F(x,y,z)=0为曲面S的方程,而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图 形.
.
6
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7(补充) 空间解析几何简介
z
o x
y
.
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7(补充) 空间解析几何简介
(5) 抛物面 x2 y2 z(p、q同号)
2p 2q
z
z
o y
x
xo
《高数空间解析几何》PPT课件

类似地, 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线,平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线, 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面:
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周,求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题: (1)已知曲面的形状,建立这曲面的方程; (2)已知方程 F(x, y, z) =0,研究这方程的图形;
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面,称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
8
椭圆柱面:
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周,求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题: (1)已知曲面的形状,建立这曲面的方程; (2)已知方程 F(x, y, z) =0,研究这方程的图形;
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面,称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
空间解析几何演示

27. 作图练习
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
(马鞍面)
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
(马鞍面)
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
(马鞍面)
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
(马鞍面)
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
(马鞍面)
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
(马鞍面)
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
《空间解析几何》课件

了解空间解析几何在计算机图形 学中的应用,如3D建模、动画制 作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式,如x = x(u, v),y = y(u, v),z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式,如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式,如x = x(t),y = y(t),z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式,如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中,空间解析几何用于描述物理现象的空间关系,如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中,空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中,空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外,空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时,可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法,如向量运算、线性代数等, 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义,解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念?
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式,如x = x(u, v),y = y(u, v),z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式,如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式,如x = x(t),y = y(t),z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式,如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中,空间解析几何用于描述物理现象的空间关系,如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中,空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中,空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外,空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时,可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法,如向量运算、线性代数等, 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义,解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念?
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
最新文档-1空间解析几何15814-PPT精品文档

a
b
2
数量积的坐标表达式
a aa
a b a x b x a y b y a z b z
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
ab 0
a x b x a yb y a zb z 0
求|ab|.
4
解: ab 2(a b )(a b )
a a2abbb
a2 2 abco b s2
(2 )2223co 3 s3 2
4 17
ab 17
例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) ,B ( 3 , 4 , 5 ) C ( 2 ,, 4 , 7 ) ,求三
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作 cab (叉积)
b a
几何意义:右图三角形面积
cab
S=
1 2
ab
a b
性质
(1) aa0 (2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b
ax ay az bx by bz
运算律
直的单位向量.
解
c
ab
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 1j0 5k,
bx by bz 1 1 2
|c |120 5255
c0
|
c c |
2
j
5
15k.
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 |a| 2,|b|3,
高等数学《空间解析几何(第1章)》课件

个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共__面__向__量___; 7、两向量_模__相__等__且__方__向,相我同们称这两个向量相等; 8、两个模相等、__方__向__相__反____的向量互为逆向量; 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点,则终点
构成__半__径__为__1_的__球_; 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向,
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律:
(1)结合律:
(
a)
(
a)
(
)a
(2)分配律: ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ,b 平行(共线)条件是什么?
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
构成__半__径__为__1_的__球_; 面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向,
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律:
(1)结合律:
(
a)
(
a)
(
)a
(2)分配律: ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ,b 平行(共线)条件是什么?
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点 的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.
空间解析几何精ppt课件

记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 , 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a=b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
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在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 , 或 作 0 . M 1
.
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a=b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
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s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s
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f ( x 2 z 2 , y ) 0
(1)球面
x 2 y 2 z 2 R2
(2)圆锥面
(3)旋转双曲面
2
x y z
2 2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
2. 柱面 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成 的曲面称为柱面. 这条定曲线叫柱面的准 线,动直线叫柱面的母线. 柱面方程的特征:
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程; (2) 坐标满足方程的点都在曲面 S 上
那么,方程 F ( x, y, z ) 0 就叫做曲面 S 的方程,而
曲面 S 就叫做方程的图形.
1. 旋转曲面
定义:以一条平面曲线绕其平 面上的条定直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面的轴.
C
L
只含 x , y而缺 z的方程F ( x, y ) 0,
在空间直角坐标系中表示 母线平行于 z轴的柱面,其 准线为 xOy 平面上曲线 C .
z
M
z
y
z
C o
o x
y
x
o
M1
y
x
l
(1)
2
圆柱面
2 2
(2)
抛物柱面
(3)
椭圆柱面
x y R
x 2 py ( p 0)
2
x2 y2 2 1 2 a b
ab
a b0
a x bx a y b y a z bz 0
(五)向量积
(叉积、外积)
c a b b
向量 a 与 b 的向量积为一个向量, 记为
c ab
向量 c 的长度为
| c || a || b | sin
a
其中 为 a 与 b 的夹角 ;
c 的方向既垂直 于
横轴 x
两点间距离公式
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点,它们距离为
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
(二)曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程
F ( x, y, z ) 0 有下述关系:
第一章 空间解析几何
第一部分 主要内容
第二部分 典型例题
第一部分 主要内容
一、向量代数 二、空间解析几何
一、向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积
向量积
(一)向量的坐标表示
z
az
a
ay
ax a a x i a y j az k x 向量的坐标表示为 a {a x , a y , a z }
3. 空间曲线在坐标面上的投影
F ( x , y , z ) 0 设空间曲线的一般方程: G ( x , y , z ) 0
(四)数量积
(点积、内积)
其中 为 a 与 b 的夹角.
a b | a || b | cos
数量积的坐标表达式
a b a x bx a y by az bz
a aa
利用内积表示向量的长度
利用内积求两向量的夹角的公式
cos
ab a b
a x bx a y by az bz a x 2 a y 2 az 2 bx 2 by 2 bz 2
(三)向量模(长度)的坐标表示
2 2 2 | a | a x a y a z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az
ay a x a y az
2 2 2
2
2
2
cos
az a x a y az
2 2 2
( cos2 cos2 cos2 1 )
A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z2 )
如果向量
y
其中 a x , a y , az 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影 . 已知空间两点 则向量
AB { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1}
(二)向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式 设
k az bz
a x a y az bx b y bz
ab 0
二、空间解析几何
空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
柱面
直线
对称式方程
平面
点法式方程
二次曲面 一般方程
(一)空间直角坐标系
z 竖轴
空间的点
定点
o
y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z2
(三)空间曲线 1. 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
2. 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
3. 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
(1)椭球面
(2)椭圆抛物面
2
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
x2 y2 z 2 p 2q
(p
与 q 同号)
z
z
o x
(4)单叶双曲面
y
x
y
(5)双叶双曲面
(6)圆锥面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
a , 又垂直于b , 指向符合右手系.
向量积的坐标表达式
a b (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
i a b ax bx
a 与 b 平行
j ay by
M ( x, y, z )
z
C
M1 (0, y1 , z1 )
o
y
x
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点:
f ( x, y) 0 设有平面曲线 L : z 0
(1 ) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x, y 2 z 2 ) 0
(2 ) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
a {a x , a y , az },
b {bx , by , bz }
a b {a x bx , a y by , az bz } a b {a x bx , a y by , az bz } a {a x , a y , a z }