《自动控制原理》第5章 控制系统的频域分析 ：稳定裕度
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14
为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当
为在 30到 60 之间，而幅值裕度应大于 6dB
15
5.7 控制系统频域分析
（适用于最小相位系统）
16
时域响应指标：
1.8
1.6
超调
Step Response
1.4
Amplitude
1.2 1
0.8 0.6
0.4 响应开始
调节时间ts 响应结束
响应中间
24
% e 1 2
25
c n 4 4 1 - 2 2 arctan
ts c
3.5
n
n
4 4 1 - 2 2
2 4 4 1 - 2 2
3.5
7
2
4 4 1 - 2 2
4 4 1 - 2 2
7
t an
当一定时，ts与c成反比
26
中频段分析系统的动态性能、稳定性 中频段穿过0dB线，且保证一定的宽度
5.6 稳定裕度（适用于最小相位系统）
（相角裕度，幅值裕度） 一个系统不仅一个要系统稳定，而且有相当的稳定裕度。
1
系统临界稳定
j
-1
1
0
G(jω)
G(jω)曲线过(-1, j0)点时，
| G(j) |1
同时成立！
∠ G(jω) = -180o
2
一、相角裕度
1、定义
剪切频率（截止频率）
对数幅频特性L()过0dB线频率c
稳态误差ess
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
17
频域三频段：
L(ω)
80
中
60
40
频
40
60
20
0.1
φ(ω)
低 频
12
高 10 频 80
ω
0.1
180 270 360
12
10
Amplitude
Step Response 1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
时域：动态过程的开始部分。
28
二、根据闭环对数频率特性分析系统性能 自学部分
29
本章学习重点
理解频率特性的定义 熟练掌握串联开环系统的频率特性极坐标图和 Bode图的绘制 熟练掌握Nyquist 稳定判据 掌握根据开环对数频率特性分析闭环系统的动 态性能和稳态性能。
30
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Real Axis
无幅值裕度
12
解：
2）求相角值裕度 G(s)
100 s2 (0.5s 1)(s 1)
相角裕度 180 (c )
| G( j) |
100
2 1 0.25 2
1
12
估算 c 的范围 1,| G( j1) | 63.25
Step Response 1.8
1.6
1.4
低频段高，稳态性能好。1.2 1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
时域：动态过程的结束部分。
Hale Waihona Puke Baidu20
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
2、中频段分析系统的？
中频段：L(ω) 从20dB过渡到- 20dB 或L(ω) 从30dB过渡到- 15dB
21
以二阶系统为例
R(s)
2 n
s( s 2 ) n
C (s)
Go (s)
s(s
n2 2 n )
幅值 | Go ( j) |
n2
2
4
2 2 n
22
幅值 | Go ( j) | c
n2
1
c 2
4
2 2 n
c4 4 2n2c2 n4 0
(c )4 4 2 (c )2 1 0
n
n
(c )2 4 4 1 - 2 2 n
| G(j) |1
同时成立！
∠ G(jω) = -180o
7
二、幅值裕度 h（增益裕度）
1、定义
(x ) 180,x为系统的穿越频率
幅值A(x )增大h倍为单位1
幅值裕度h 1
A(x )
h 20lg( A(x )) L(x )dB
8
2、物理意义
对于闭环稳定的 系统，开环幅频 特性再增大h倍 系统处于临界稳 定状态。
c n 4 4 1 - 2 2
c : 反映响应速度
23
Go (s)
s(s
n2 2 n )
c n
4 4 1 - 2 2
180 （c）
180 - 90 - arctan c 2 n
90 - arctan
4 4 1 - 2 2 2
arctan
2
4 4 1 - 2 2 : 与 %有关
时域：动态过程的中间部分。
高阶系统：经验公式
0.16 0.4( 1 1) 35 90 sin
ts
(4
~
9)
1
c
阅读：218页例5-16
阅读：219页
27
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
3、高频段分析系统的？
高频段由时间常数很小的环节构成，通常 近似成一个惯性环节，反映对高频干扰信号的 抑制能力。
1 h
A( x )
-1
幅值裕度h 1
A(x )
9
L(ω) 最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
90
-20dB/dec
h
h 20lg( A(x )) L(x )dB
不稳定
ω
h>0:系统是稳定的。
ω
180
270
10
例1： 已知系统开环传递函数为：
G(s)
s2 (s
200 2)(s
1)
求幅值裕度和相角裕度。
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
1、低频段分析系统的？
低频斜率 系统型别
0dB/dec
0
-20dB/dec
Ⅰ
-40dB/dec
Ⅱ
阶跃输入稳态误差
1 K 1
0 0
19
低频段分析系统的稳态性能
斜率决定系统的型，ess 低频段高度决定开环增益K
相角裕度 180 (c )
| G(j) |1
3
稳定的系统： 0
-1
4
2、物理意义
对于闭环稳定的系统，开环相频特性再滞后
系统处于临界稳定状态。
-1
5
L(ω)
最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
-20dB/dec
90
180
270
不稳定
ω ω
6
系统临界稳定
j
-1
1
0
G(jω)
G(jω)曲线过(-1, j0)点时，
G(s)
100
s2 (0.5s 1)(s 1)
11
解： 1）求幅值裕度
G(s)
100 s2 (0.5s 1)(s 1)
幅值裕度
(x )
180,
幅值裕度h
1
A(x )
(x ) 180 arctan 0.5 arctan 180
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 100
2,| G( j2) | 7.907
用斜线法：(lgc ,0), (lg 2,20 lg 7.907) c 3.5rad / s
(c ) 180 arctan 0.5c arctanc 314 180 (c ) 134
13
例2：六版P212 例5-14 例3： 六版P213 例5-15
为了得到较满意的暂态响应，一般相角裕度应当
为在 30到 60 之间，而幅值裕度应大于 6dB
15
5.7 控制系统频域分析
（适用于最小相位系统）
16
时域响应指标：
1.8
1.6
超调
Step Response
1.4
Amplitude
1.2 1
0.8 0.6
0.4 响应开始
调节时间ts 响应结束
响应中间
24
% e 1 2
25
c n 4 4 1 - 2 2 arctan
ts c
3.5
n
n
4 4 1 - 2 2
2 4 4 1 - 2 2
3.5
7
2
4 4 1 - 2 2
4 4 1 - 2 2
7
t an
当一定时，ts与c成反比
26
中频段分析系统的动态性能、稳定性 中频段穿过0dB线，且保证一定的宽度
5.6 稳定裕度（适用于最小相位系统）
（相角裕度，幅值裕度） 一个系统不仅一个要系统稳定，而且有相当的稳定裕度。
1
系统临界稳定
j
-1
1
0
G(jω)
G(jω)曲线过(-1, j0)点时，
| G(j) |1
同时成立！
∠ G(jω) = -180o
2
一、相角裕度
1、定义
剪切频率（截止频率）
对数幅频特性L()过0dB线频率c
稳态误差ess
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
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频域三频段：
L(ω)
80
中
60
40
频
40
60
20
0.1
φ(ω)
低 频
12
高 10 频 80
ω
0.1
180 270 360
12
10
Amplitude
Step Response 1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
时域：动态过程的开始部分。
28
二、根据闭环对数频率特性分析系统性能 自学部分
29
本章学习重点
理解频率特性的定义 熟练掌握串联开环系统的频率特性极坐标图和 Bode图的绘制 熟练掌握Nyquist 稳定判据 掌握根据开环对数频率特性分析闭环系统的动 态性能和稳态性能。
30
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
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Real Axis
无幅值裕度
12
解：
2）求相角值裕度 G(s)
100 s2 (0.5s 1)(s 1)
相角裕度 180 (c )
| G( j) |
100
2 1 0.25 2
1
12
估算 c 的范围 1,| G( j1) | 63.25
Step Response 1.8
1.6
1.4
低频段高，稳态性能好。1.2 1
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
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Time (sec)
时域：动态过程的结束部分。
Hale Waihona Puke Baidu20
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
2、中频段分析系统的？
中频段：L(ω) 从20dB过渡到- 20dB 或L(ω) 从30dB过渡到- 15dB
21
以二阶系统为例
R(s)
2 n
s( s 2 ) n
C (s)
Go (s)
s(s
n2 2 n )
幅值 | Go ( j) |
n2
2
4
2 2 n
22
幅值 | Go ( j) | c
n2
1
c 2
4
2 2 n
c4 4 2n2c2 n4 0
(c )4 4 2 (c )2 1 0
n
n
(c )2 4 4 1 - 2 2 n
| G(j) |1
同时成立！
∠ G(jω) = -180o
7
二、幅值裕度 h（增益裕度）
1、定义
(x ) 180,x为系统的穿越频率
幅值A(x )增大h倍为单位1
幅值裕度h 1
A(x )
h 20lg( A(x )) L(x )dB
8
2、物理意义
对于闭环稳定的 系统，开环幅频 特性再增大h倍 系统处于临界稳 定状态。
c n 4 4 1 - 2 2
c : 反映响应速度
23
Go (s)
s(s
n2 2 n )
c n
4 4 1 - 2 2
180 （c）
180 - 90 - arctan c 2 n
90 - arctan
4 4 1 - 2 2 2
arctan
2
4 4 1 - 2 2 : 与 %有关
时域：动态过程的中间部分。
高阶系统：经验公式
0.16 0.4( 1 1) 35 90 sin
ts
(4
~
9)
1
c
阅读：218页例5-16
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一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
3、高频段分析系统的？
高频段由时间常数很小的环节构成，通常 近似成一个惯性环节，反映对高频干扰信号的 抑制能力。
1 h
A( x )
-1
幅值裕度h 1
A(x )
9
L(ω) 最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
90
-20dB/dec
h
h 20lg( A(x )) L(x )dB
不稳定
ω
h>0:系统是稳定的。
ω
180
270
10
例1： 已知系统开环传递函数为：
G(s)
s2 (s
200 2)(s
1)
求幅值裕度和相角裕度。
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
1、低频段分析系统的？
低频斜率 系统型别
0dB/dec
0
-20dB/dec
Ⅰ
-40dB/dec
Ⅱ
阶跃输入稳态误差
1 K 1
0 0
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低频段分析系统的稳态性能
斜率决定系统的型，ess 低频段高度决定开环增益K
相角裕度 180 (c )
| G(j) |1
3
稳定的系统： 0
-1
4
2、物理意义
对于闭环稳定的系统，开环相频特性再滞后
系统处于临界稳定状态。
-1
5
L(ω)
最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
-20dB/dec
90
180
270
不稳定
ω ω
6
系统临界稳定
j
-1
1
0
G(jω)
G(jω)曲线过(-1, j0)点时，
G(s)
100
s2 (0.5s 1)(s 1)
11
解： 1）求幅值裕度
G(s)
100 s2 (0.5s 1)(s 1)
幅值裕度
(x )
180,
幅值裕度h
1
A(x )
(x ) 180 arctan 0.5 arctan 180
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 100
2,| G( j2) | 7.907
用斜线法：(lgc ,0), (lg 2,20 lg 7.907) c 3.5rad / s
(c ) 180 arctan 0.5c arctanc 314 180 (c ) 134
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例2：六版P212 例5-14 例3： 六版P213 例5-15