三铰拱及无铰拱
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X3
2
此时将图（c）在对称轴位置截断， 对于两对称内力：X1、X2。 当附加竖向刚臂长度变化时，就 可能使： 即得：
21
（b ） （1）利用对称性
=
12
= 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
7
二、内力的计算
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。
(1) 由∑MK=0，得
M M FH y
0
a1 FP1 K C FHA A FVA x
a2
FP2 B FHB l/2 FVB
FQ
0
0 FQ sin 0 co s FQ
FP1 x
y
FH
A
FH K FH y M
FH co
a2
由三铰拱整体平衡 条件 Fx 0 ，可得 FHA = FHB = FH 取铰C左边隔离体， 由 M C 0 ，可得
l l FV A FP1 a1 FH f 0 2 2
a1 FP1 FHA y A FVA x
K C
f
FP2 B FVB FHB
x
qC+g f l/2
f
B
l/2
y
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
d2M 0 q ( x) 2 dx
d2 y q ( x) FH dx 2
这就是在竖向荷载作 用下拱的合理轴线的 微分方程
21
d2 y q ( x) FH dx 2
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应 该取正号，即 d 2 y q ( x) 2 FH dx 将q = qC+γ y代入上式，得
qC d2 y g y 2 H FH dx
y A ch
这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为
g
FH x B sh
g
FH
x
qC
g
22
y A ch
g
FH
x B sh
g
FH
x
qC
g
两个常数A和B，可由边界条件求出如下： 在x=0处，y=0，得 q
A
C
g
在x=0处， 因此
dy =0，得B=0。 dx
FHA
a2
a1 FP1 y K C f FP2
A
FVA
x
l/2
B
l/2 FVB
FHB
M
B
0
l
0 FV A FV A
FP1
0 FH A 0 A
FP2 K C
0 MC
M
A
0
0 VB
B l/2
0 FV B
FV B F
0 FV A
l/2
l
拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同
5
2、水平支座反力
s
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
8
小
拱结构
一、拱结构
在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力) 的曲线形结构，称为拱结构。
FP FHA FP FHB FHA=0 FP FP
FVA a) 拱结构
FVB
FVA b) 曲梁
FVB
1
隧道中的拱结构
2
二、拱结构的形式
1、基本形式 般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式
拱顶 拱身 拱 趾
11 X 1 1P 0 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
24
14
y
y´
X2
0
X2
y a
yHale Waihona Puke Baidu
Q2
x
X1 X1
y
1
x'
y x
y N2
y
X1 1
M1 1 N1 0 Q1 0
X2 1
y 12 ds EI
三、内力图的绘制
一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20…等 分），应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截 面的x、y和φ均不相同，可列表计算，见例4-1），然后 逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力 图须注明正负号。
10
【例4-1】已知拱轴线方程 拱的内力图。
y
4f x(l x) 2 l
合力FRD
如果三铰拱中，某截面D左边(或右边) 所有外力的合力FRD已经确定，则由 此合力便可分解为该截面形心上的三 个内力
M D FRD rD FQ D FRD sin D FN D FRD cos D
D
rD
D
MD
FND
D
FQD
rD为由截面形心到合力FRD的 垂直距离；aD为合力FRD与D 点拱轴切线之间的夹角。
x
M2 y
N2 cos( ) cos Q2 sin( ) sin
17
2、压力线的用途 (1)求任一拱截面的内力 (2)选择合理拱轴 由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
结
M M 0 FH y
0 FQ FQ cos FH sin 0 FN FQ sin FH cos
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
(2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。
12
(3)计算内力 以截面E为例，计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中，得yE = 3m， E tan y E = -0.5， F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此，有 q=10kN/m
P
C E
y
E yE B FH=60kN
D
f=4m
sin φ E = -0.447 cos φ E = 0.894
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。 q
y x A l/2
0
C
f
B l/2 ql/2 A x
q
B l ql/2
解:
q M x (l x ) 2
M 0 4 f x(l x) y l2 FH
0 MC ql 2 FH f 8f
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为 一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨 比的任一抛物线都是合理拱轴。
18
二、三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。 2 、合理拱轴的数解法 由
M M 0 FH y 0
得
M0 y FH
上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴 线y与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。
19
(1)满跨竖向均布荷载
C 4.9
17.9
E
q=10kN/m y A D
7.1
4
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
yE
B
FH=60kN
FQ图(kN)
FVA=70kN
4m
4m 4m l=16m
4m
FVB=50kN
16
三铰拱的压力线和合理拱轴
一、压力线
1、压力线的意义 拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱 各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱 内压力经过的路线。
qC g y ch x 1 g FH
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线 (3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
23
1 弹性中心法（对称无铰拱的计算）
EI=
（a） （c）
（b）与（c）具有完全等效关系。
X2
X1 X
20
(2)竖向连续分布荷载 【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱 所受的竖向分布荷载为q = qC+γ y。
qC
C A
解：将式 y M 0 / FH 对
x微分两次，得
d y 1 d M 2 FH dx dx 2
2 2 0
FVA=70kN 4m
4m
4m
4m
FVB=50kN
l=16m
得 2) 求φ
x y x 16
2
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
x tan y 1 8
16m
0 FV B
代入各x值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面， 求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
l/2
l FP1
l/2
FP2
0 FH A 0
A
K C
0 MC
B
0 FV B
M FH f 0
0 C
0 FV A
l/2
l/2
0 MC FH f
l
6
小 结
(1) 三铰拱支座反力计算公式为 0 FV A FV A
0 FV B FV B 0 MC FH f
(2) 支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情 况有关，而与拱轴线形式无关。 (3) 推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f → 0，则f → ∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可 变体系。
，试作图示三铰
q=10kN/m
FP=40kN C E E yE B FH=60kN
解： (1) 计算支座反力
FH=60kN
y A
D
f=4m
x
FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN
l=16m
40 4 10 8 12 FV A F 70 kN （） 16 10 8 4 40 12 0 FV B FV 50 kN （） B 16 0 MC 50 8 40 4 FH 60 kN （推力） f 4
14
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
15
(4)作内力图
5 20 67 60.6 60 60.6
58.1 D
A C E B 76
D A
C
E
15
20
15
5
B
78
91.9
78 77.8
M图(kN· m)
FN图(kN)
FP=40kN C E f=4m x E
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
13
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
9
小
结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。 (5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
拱 趾
起拱线
拱高f
跨度l
二铰拱
三铰拱
无铰拱
3
2、带拉杆的拱结构
拉杆 拉杆
拉杆
三、拱结构的力学特性
拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷 载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪 力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将 增大。因此，拱结构主要承受压力。
4
三铰拱的内力计算
一、支座反力的计算 1、竖向支座反力
0 VA
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
16m
0 FV B
11
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
q=10kN/m FP=40kN C E
1) 求y
FH=60kN
y
A
E
yE B
D x
f=4m
FH=60k
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
3）轴力计算
FNE左 F NE右
0 FN E左 sin E FH cos E
(10)(0.447) (60)(0.894) 58.11 kN
0 FN E右 sin E FH cos E
(50)(0.447) (60)(0.894) 75.99 kN
2
此时将图（c）在对称轴位置截断， 对于两对称内力：X1、X2。 当附加竖向刚臂长度变化时，就 可能使： 即得：
21
（b ） （1）利用对称性
=
12
= 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
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二、内力的计算
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。
(1) 由∑MK=0，得
M M FH y
0
a1 FP1 K C FHA A FVA x
a2
FP2 B FHB l/2 FVB
FQ
0
0 FQ sin 0 co s FQ
FP1 x
y
FH
A
FH K FH y M
FH co
a2
由三铰拱整体平衡 条件 Fx 0 ，可得 FHA = FHB = FH 取铰C左边隔离体， 由 M C 0 ，可得
l l FV A FP1 a1 FH f 0 2 2
a1 FP1 FHA y A FVA x
K C
f
FP2 B FVB FHB
x
qC+g f l/2
f
B
l/2
y
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
d2M 0 q ( x) 2 dx
d2 y q ( x) FH dx 2
这就是在竖向荷载作 用下拱的合理轴线的 微分方程
21
d2 y q ( x) FH dx 2
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应 该取正号，即 d 2 y q ( x) 2 FH dx 将q = qC+γ y代入上式，得
qC d2 y g y 2 H FH dx
y A ch
这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为
g
FH x B sh
g
FH
x
qC
g
22
y A ch
g
FH
x B sh
g
FH
x
qC
g
两个常数A和B，可由边界条件求出如下： 在x=0处，y=0，得 q
A
C
g
在x=0处， 因此
dy =0，得B=0。 dx
FHA
a2
a1 FP1 y K C f FP2
A
FVA
x
l/2
B
l/2 FVB
FHB
M
B
0
l
0 FV A FV A
FP1
0 FH A 0 A
FP2 K C
0 MC
M
A
0
0 VB
B l/2
0 FV B
FV B F
0 FV A
l/2
l
拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同
5
2、水平支座反力
s
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
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小
拱结构
一、拱结构
在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力) 的曲线形结构，称为拱结构。
FP FHA FP FHB FHA=0 FP FP
FVA a) 拱结构
FVB
FVA b) 曲梁
FVB
1
隧道中的拱结构
2
二、拱结构的形式
1、基本形式 般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式
拱顶 拱身 拱 趾
11 X 1 1P 0 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
24
14
y
y´
X2
0
X2
y a
yHale Waihona Puke Baidu
Q2
x
X1 X1
y
1
x'
y x
y N2
y
X1 1
M1 1 N1 0 Q1 0
X2 1
y 12 ds EI
三、内力图的绘制
一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20…等 分），应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截 面的x、y和φ均不相同，可列表计算，见例4-1），然后 逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力 图须注明正负号。
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【例4-1】已知拱轴线方程 拱的内力图。
y
4f x(l x) 2 l
合力FRD
如果三铰拱中，某截面D左边(或右边) 所有外力的合力FRD已经确定，则由 此合力便可分解为该截面形心上的三 个内力
M D FRD rD FQ D FRD sin D FN D FRD cos D
D
rD
D
MD
FND
D
FQD
rD为由截面形心到合力FRD的 垂直距离；aD为合力FRD与D 点拱轴切线之间的夹角。
x
M2 y
N2 cos( ) cos Q2 sin( ) sin
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2、压力线的用途 (1)求任一拱截面的内力 (2)选择合理拱轴 由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
结
M M 0 FH y
0 FQ FQ cos FH sin 0 FN FQ sin FH cos
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
(2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。
12
(3)计算内力 以截面E为例，计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中，得yE = 3m， E tan y E = -0.5， F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此，有 q=10kN/m
P
C E
y
E yE B FH=60kN
D
f=4m
sin φ E = -0.447 cos φ E = 0.894
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。 q
y x A l/2
0
C
f
B l/2 ql/2 A x
q
B l ql/2
解:
q M x (l x ) 2
M 0 4 f x(l x) y l2 FH
0 MC ql 2 FH f 8f
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为 一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨 比的任一抛物线都是合理拱轴。
18
二、三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。 2 、合理拱轴的数解法 由
M M 0 FH y 0
得
M0 y FH
上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴 线y与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。
19
(1)满跨竖向均布荷载
C 4.9
17.9
E
q=10kN/m y A D
7.1
4
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
yE
B
FH=60kN
FQ图(kN)
FVA=70kN
4m
4m 4m l=16m
4m
FVB=50kN
16
三铰拱的压力线和合理拱轴
一、压力线
1、压力线的意义 拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱 各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱 内压力经过的路线。
qC g y ch x 1 g FH
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线 (3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
23
1 弹性中心法（对称无铰拱的计算）
EI=
（a） （c）
（b）与（c）具有完全等效关系。
X2
X1 X
20
(2)竖向连续分布荷载 【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱 所受的竖向分布荷载为q = qC+γ y。
qC
C A
解：将式 y M 0 / FH 对
x微分两次，得
d y 1 d M 2 FH dx dx 2
2 2 0
FVA=70kN 4m
4m
4m
4m
FVB=50kN
l=16m
得 2) 求φ
x y x 16
2
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
x tan y 1 8
16m
0 FV B
代入各x值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面， 求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
l/2
l FP1
l/2
FP2
0 FH A 0
A
K C
0 MC
B
0 FV B
M FH f 0
0 C
0 FV A
l/2
l/2
0 MC FH f
l
6
小 结
(1) 三铰拱支座反力计算公式为 0 FV A FV A
0 FV B FV B 0 MC FH f
(2) 支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情 况有关，而与拱轴线形式无关。 (3) 推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f → 0，则f → ∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可 变体系。
，试作图示三铰
q=10kN/m
FP=40kN C E E yE B FH=60kN
解： (1) 计算支座反力
FH=60kN
y A
D
f=4m
x
FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN
l=16m
40 4 10 8 12 FV A F 70 kN （） 16 10 8 4 40 12 0 FV B FV 50 kN （） B 16 0 MC 50 8 40 4 FH 60 kN （推力） f 4
14
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
15
(4)作内力图
5 20 67 60.6 60 60.6
58.1 D
A C E B 76
D A
C
E
15
20
15
5
B
78
91.9
78 77.8
M图(kN· m)
FN图(kN)
FP=40kN C E f=4m x E
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
13
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
9
小
结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。 (5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
拱 趾
起拱线
拱高f
跨度l
二铰拱
三铰拱
无铰拱
3
2、带拉杆的拱结构
拉杆 拉杆
拉杆
三、拱结构的力学特性
拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷 载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪 力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将 增大。因此，拱结构主要承受压力。
4
三铰拱的内力计算
一、支座反力的计算 1、竖向支座反力
0 VA
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
16m
0 FV B
11
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
q=10kN/m FP=40kN C E
1) 求y
FH=60kN
y
A
E
yE B
D x
f=4m
FH=60k
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
3）轴力计算
FNE左 F NE右
0 FN E左 sin E FH cos E
(10)(0.447) (60)(0.894) 58.11 kN
0 FN E右 sin E FH cos E
(50)(0.447) (60)(0.894) 75.99 kN