三铰拱及无铰拱
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结构力学第4章 三铰拱
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
概述 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线
教学内容：﹡
﹡ ﹡
拱结构在工程中的应用实例 赵州桥
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克德尔桥)，约230年历史
1997年建成的重庆万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥，主拱圈 为钢管混凝土劲性骨架箱型混凝土结构，全长 856.12米，主跨420米，桥面宽 24米，为双向四车道，是世界最大跨径的混凝土拱桥。由重庆交通大学土木建 筑学院顾安邦教授主研完成,设计施工技术的研究成果获国家科技进步一等奖
甘肃灞陵桥，又名卧桥，在渭源县城南门外的清源河上，是一座古典纯木结 构伸臂曲拱型廊桥, 主跨：40米，始建于明洪武年间(公元1368-1398年)， 后被洪水冲毁。1919年仿兰州卧桥改建，被称为“渭水长虹”。
§4-1
一、梁与拱的关系 F
HA＝0 A
概
述
F
B
HA＝0 A
B
曲梁 F
拱：杆轴线为曲线，
两拱趾不在同一水平线上的拱因为简支梁的内力计算大家非常熟练所以在计算三铰拱平拱在竖向荷载作用下的内力时和同跨度同荷载的简支代梁对应起来以找出两者在支座反力计算内力计算方面的区别加以对比便于理解和记忆
基本要求：○ 了解拱结构的分类及特点。
结构力学 三铰拱
4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN
结构力学三铰拱宣讲
三铰位置拟定，合理拱轴唯一拟定
设计时只能根据主要荷载选择近似合理拱轴 一种合理轴线只相应一种荷载，荷载布置变化，合理拱轴 亦变化。
第四节 三铰拱旳合理轴线
a. 三铰拱在均匀水压力作用下，合理轴线为一圆弧
R FN const q
第四节 三铰拱旳合理轴线
b. 在填土重量作用下，三铰拱旳合理轴线是一悬链线
第三部分 三铰拱
学习内容
三铰拱旳构成特点及其优缺陷； 三铰拱旳反力和内力计算及内力图旳绘制； 三铰拱旳合理拱轴线。
学习目旳和要求
目旳：实际工程中拱旳形式越来越多，了解拱旳受力特征， 对指导设计和构造选型是非常必要旳。
要求：熟练掌握三铰拱旳反力和内力计算。 了解三铰拱旳内力图绘制旳环节。 掌握三铰拱合理拱轴旳形状及其特征。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱旳内力特点
绘弯矩图
36
40 48 40
M
0 K
FH y
MK
M
0 K
FH y
综合弯矩图是两种弯矩图叠加旳成果（注意是竖标旳叠加， 或称代数叠加），即两个曲线所夹部分，可见弯矩很小。三 铰拱弯矩下降旳原因完全是因为推力造成旳。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱旳内力特点
三铰拱在竖向荷载作用下旳弯矩由两部分构成，水平反力 产生负弯矩，能够抵消一部分正弯矩，与简支梁相比拱旳弯 矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力沿截面高度分布较均 匀。
FAx=FBx =FH • 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反
比，且总是正旳，故称内推力。扁拱旳水
FH= MC0 / f 平推力不小于陡拱。
• 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
2 竖向荷载作用下拱内力计算
截面旳外法线（即该处切线）与水平方向旳倾角φk要求左 半拱为正，右半拱为负。拱截面弯矩一般以内侧受拉为正，
设计时只能根据主要荷载选择近似合理拱轴 一种合理轴线只相应一种荷载，荷载布置变化，合理拱轴 亦变化。
第四节 三铰拱旳合理轴线
a. 三铰拱在均匀水压力作用下，合理轴线为一圆弧
R FN const q
第四节 三铰拱旳合理轴线
b. 在填土重量作用下，三铰拱旳合理轴线是一悬链线
第三部分 三铰拱
学习内容
三铰拱旳构成特点及其优缺陷； 三铰拱旳反力和内力计算及内力图旳绘制； 三铰拱旳合理拱轴线。
学习目旳和要求
目旳：实际工程中拱旳形式越来越多，了解拱旳受力特征， 对指导设计和构造选型是非常必要旳。
要求：熟练掌握三铰拱旳反力和内力计算。 了解三铰拱旳内力图绘制旳环节。 掌握三铰拱合理拱轴旳形状及其特征。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱旳内力特点
绘弯矩图
36
40 48 40
M
0 K
FH y
MK
M
0 K
FH y
综合弯矩图是两种弯矩图叠加旳成果（注意是竖标旳叠加， 或称代数叠加），即两个曲线所夹部分，可见弯矩很小。三 铰拱弯矩下降旳原因完全是因为推力造成旳。
第三节 竖向荷载作用下三铰拱旳内力特点
三铰拱在竖向荷载作用下旳弯矩由两部分构成，水平反力 产生负弯矩，能够抵消一部分正弯矩，与简支梁相比拱旳弯 矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力沿截面高度分布较均 匀。
FAx=FBx =FH • 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反
比，且总是正旳，故称内推力。扁拱旳水
FH= MC0 / f 平推力不小于陡拱。
• 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
2 竖向荷载作用下拱内力计算
截面旳外法线（即该处切线）与水平方向旳倾角φk要求左 半拱为正，右半拱为负。拱截面弯矩一般以内侧受拉为正，
3.6 三铰拱
H f y 0
因事先M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
d y dx
2 2
qc+.f
y
f
y f y
y*
x
1 H
d M dx
2
2
2
对简支梁来说， d M
dx
2
e
qx
2
x
shx chx
e
x
chx shx
x
qc
y x A ch
第五章
3.6 三铰拱 (arch)
拱的实例
三铰拱的特点
P1
H
l
三铰拱的类型、基本参数
P2
f H
f
VB
VA
1 1 / 10
l
曲杆轴线形状：抛物线、圆弧、悬链线
1
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
曲梁
FP
三铰拱
2
拱的有关名称
1.5 k N m
tg
2
dy dx
x3
ห้องสมุดไป่ตู้
4f 2x 1 l l
x3
44 2 3 1 12 12
Q2 Q2 cos
2
H sin
2
1 1 2 3 0 .8 3 2
0 .6 6 7
7 .5 0 .5 5 5 0 .0 0 2 5 k N 0 .0 0 3 k N
美院4.6三铰拱的受力分析
拱顶
拱高
拱肋 拱趾 跨度
拱肋 拱趾
f/l——高跨比 f/ ——高跨比 ——
5、拱的共性
1.曲杆 1.曲杆 2.竖向荷载作用下有水平推力 2.竖向荷载作用下有水平推力 在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构称为拱。 在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构称为拱。 3.由于水平推力的存在，拱比同跨度、 3.由于水平推力的存在，拱比同跨度、同荷载的简支梁的 由于水平推力的存在 弯矩小； 弯矩小； 4.内力一般有M 许多情况下F 是主要内力。 4.内力一般有M、FQ、FN，许多情况下FN是主要内力。 内力一般有
15kN 16.图示三铰拱的水平推力为________。
12.5kN
17.5kN
12.图示三铰拱，水平推力H__________。
Pl 8f
P/4
3 P/4
F2
FBH
FAH
A
FAV
x
l1
1 ( Fa1 + F2a2 ) 1 l 1 FAV = ( Fb1 + F2b2 ) 1 l
0 FBV = FBV
0 FAV = FAV
∑ Fx = 0
FAH = FBH = FH
以AC为研究对象 AC为研究对象
∑ MC = 0
A F1
0 FAV
B
FH
0 FBV
x
A l1
4.6.3 三铰拱合理拱轴线的概念
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴 无弯矩状态 线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。 对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为： 对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
结构力学35三铰拱受力分析.
YB
无力Y关与A .拱荷轴载线与形跨M状度c0 一定时，水平推
等代梁请A 问P:1有水平C荷载,或P2 YA铰 不 论0 是 还Ca不1平是再拱正a顶2确,右部的边b,1或吗的?结b2
B
YB0
YB=YB0
YA=YA0
XA=XB =H
力与矢Y高A0 成反比.
H
1 f
[YA
l 2
P1 (
l 2
a1)]
M
0 c
[YA0
l 2
l P1( 2
a1)]
H= MC0 / f
二、三铰拱的数解法 y P1 K C
----内力计算 P2
载及A 三三个x铰铰拱y的的位内f 置力有不关但，与B而荷 XB X A
XA且与拱轴l/线2 的形状l/有2x 关。
YA
QK M K P1
NK
P1
M
0 K
YA 由于推力的l 存在，拱Y的B
抛物线
作业：
YA0
QK0
弯矩比相应简支梁的弯矩要
小。 P1
A
KC
P2
B
三铰拱在竖向荷载作用
MK
M
0 K
Hy
QK Q 0Kcos H sin
下轴向a1受压。 b1
NK Q 0Ksin H cos
YA0
a2
b2 YB0
三、三铰拱的合理拱轴线
(reasonable axis of arch)
第二章 静定结构受力分析
§2-3 三铰拱受力分析
拱 (arch)
一、概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
第3章 三铰拱
1 1 2 1 M qlx qx ql x x 2 ql x x 8f l 2
M = M0 －Hy = 0 可见，拱内无弯矩。
(3) 任一截面的剪力
dy 4 f 8 f 4f 2 x 由于 y 2 l x x dx l l l dy 4f 8f sin tg cos cos 2 x cos dx l l Q Q 0 cos H sin
1 ql 2 ql x x y 2 8f
令 M＝ 0，
1 ql 2 ql x x y0 2 8f
得合理拱轴方程： 4f y 2 l x x l
可见，合理拱轴方程是二次抛物线，与前 例所给的拱轴方程完全一致。 要使拱处于无弯矩状态，只有在恒载作用 情况下才有可能做到。工程实际中的结构，往 往同时受恒载和活载的共同作用，而活载是时 而出现，时而消失的(如人群、风雪荷载等)， 或是移动的(如吊车、车辆荷载等)，这就很难 使拱内完全不出现弯矩。 设计中以正常使用情况下经常出现的荷载 为依据，选择一个拱轴，使之弯矩尽量减少。
例中，已知二次抛物线拱在全跨受竖向均布 荷载作用下，各截面均无弯矩。现假设拱轴方程y 为未知，但三个铰的位置已定，铰C在拱顶处， 如图示。 现按照上述方法，求其合理拱轴方程。
由平衡条件可求出三铰拱的反力。 任一截面的弯矩为：
2 1 1 ql M M 0 Hy ( qlx qx2 ) y 2 2 8f
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
M = M0 －Hy = 0 可见，拱内无弯矩。
(3) 任一截面的剪力
dy 4 f 8 f 4f 2 x 由于 y 2 l x x dx l l l dy 4f 8f sin tg cos cos 2 x cos dx l l Q Q 0 cos H sin
1 ql 2 ql x x y 2 8f
令 M＝ 0，
1 ql 2 ql x x y0 2 8f
得合理拱轴方程： 4f y 2 l x x l
可见，合理拱轴方程是二次抛物线，与前 例所给的拱轴方程完全一致。 要使拱处于无弯矩状态，只有在恒载作用 情况下才有可能做到。工程实际中的结构，往 往同时受恒载和活载的共同作用，而活载是时 而出现，时而消失的(如人群、风雪荷载等)， 或是移动的(如吊车、车辆荷载等)，这就很难 使拱内完全不出现弯矩。 设计中以正常使用情况下经常出现的荷载 为依据，选择一个拱轴，使之弯矩尽量减少。
例中，已知二次抛物线拱在全跨受竖向均布 荷载作用下，各截面均无弯矩。现假设拱轴方程y 为未知，但三个铰的位置已定，铰C在拱顶处， 如图示。 现按照上述方法，求其合理拱轴方程。
由平衡条件可求出三铰拱的反力。 任一截面的弯矩为：
2 1 1 ql M M 0 Hy ( qlx qx2 ) y 2 2 8f
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
4 第四章 三铰拱
无铰拱
凡在竖向荷载作用下会产生水平反力的 结构都可称为拱式结构或 推力结构。
P
FAH
FBH
推力结构
VA VB
3)拱结构的应用：主要用于拱坝、屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点：
a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度 b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
相应简支 梁的弯矩
（2）弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩， 为此取Ak为隔离体：
Mk FAV xk FP1 xk a1 FH yk （3）剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样以Ak为隔离体： 0 FSk FYACos k HSin k FP1Cosk FYA FP1 Cos k HSin k
三铰刚架 例：
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大
拱各部分的名称：
拱顶
拱顶
拱轴线 拱高 f 起拱线 拱趾 跨度 l
f
L
L—跨度（拱趾之间的水平距离） f—矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离）
f/L——高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这 个值控制在1—1/10 ）
位于河北赵县，又名安济桥，由石工李春主持设计建造，完成 于公元605年左右。 该桥为空腹敞肩式坦拱桥，桥长64.4m，净跨37.02m，桥宽 9m，净矢高7.23m，桥面纵坡6.5%。 拱由28圈拱石平行砌筑，每圈有拱石43块；为加强拱石间的结 合，拱石各面均凿有相当细密的斜纹。另外，还在拱石之间设置X 形锚铁和铁锚杆。 在拱圈两肩各设两个跨度不等的腹拱，既减轻了桥身自重，又 节省了材料，还便于排洪。 该桥构思巧妙，造型美观，施工精度高，工艺精致，历1300多 年而无恙，举世闻名，不愧为桥梁文物宝库中的精品。 赵州桥被列为“全国重点文物保护单位”。在90年代初，赵州 桥被美国土木工程师学会选为“国际历史土木工程里程碑”。
下篇 结构力学部分 第15章 三铰拱
(a) Î޽¹°
(b) Á½½Â¹°
(c) Èý½Â¹°
图15-1
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第一节 三铰拱的受力特点
拱和梁的主要区别是拱在竖向荷载作用下会产生水 平反力。这种水平反力指向内侧，故又称为推力。由于 推力的存在，拱的弯矩与跨度、荷载相同的梁相比较要 小的多，且主要承受压力，因此更能发挥材料的作用， 并能利用抗拉性能较差而抗压性能较强的材料如砖、石、 混凝土等来建造，这是拱的主要优点。而拱的主要缺点 也正在于支座要承受水平推力，因而要求比梁要具有更 为坚固的基础或支承结构（墙、柱、墩、台等）。可见， 推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
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三、内力图的绘制
绘制内力图的一般步骤为： （1）求反力：同简支梁反力的求解。 （2）分段：凡外力不连续点均应作为分段点； 同时，为了绘制内力图将拱轴线沿水平方向等分。 （3）定点：将分段点各截面上的内力值用截面 法求出，并在内力图上用竖标绘出。 （4）连线：根据各段的内力图形状，将其控制 点以直线或曲线相连绘出内力图。
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一、支座反力的计算
a1 a2 F1 A l/2 l F1 FAx FAy a1 F1 FAx FAy A C FCy l/2 (a) FCx A
f
b1 b2 C f l/2 F2 B F1 A l/2 l F2 B FBx FBy F1 A
0 FAy
a1 a2 C
b1 b2 F2 B l/2
40kN
(b)
FAx FAy
A
B
FBx FBy
5 (c) 7.5 10 7.5 10 9 2.5 _ 2.5 5 46 (e) 9 39 33.5 30.3 30 + 30.3 29 + _
三铰拱及无铰拱
0 VA
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
16m
0 FV B
11
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
q=10kN/m FP=40kN C E
1) 求y
FH=60kN
y
A
E
yE B
D x
f=4m
FH=60k
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
x
qC+g f l/2
f
B
l/2
y
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
d2M 0 q ( x) 2 dx
d2 y q ( x) FH dx 2
这就是在竖向荷载作 用下拱的合理轴线的 微分方程
21
d2 y q ( x) FH dx 2
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应 该取正号，即 d 2 y q ( x) 2 FH dx 将q = qC+γ y代入上式，得
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
13
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
16m
0 FV B
11
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
q=10kN/m FP=40kN C E
1) 求y
FH=60kN
y
A
E
yE B
D x
f=4m
FH=60k
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
x
qC+g f l/2
f
B
l/2
y
用q(x)表示沿水平线单 位长度的荷载值，则
d2M 0 q ( x) 2 dx
d2 y q ( x) FH dx 2
这就是在竖向荷载作 用下拱的合理轴线的 微分方程
21
d2 y q ( x) FH dx 2
式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应 该取正号，即 d 2 y q ( x) 2 FH dx 将q = qC+γ y代入上式，得
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
13
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
结构力学——三铰拱
FAy A
F0 Ay
a1 P1
a2 C
f
l1 l
P1
C
X 0
b1 P2
x l2
P2
b2 F l Pb Pb 0
Ay
11
22
FAy
P1 b1
l
P2b2
B FBx
FBy
Pibi l
F0 Ay
mA 0
FBy
Piai l
F0 By
B
mc 0
F0 By
FAy FP1
FAy0
FSK0 MK0
由 Fn 0
FNK FSK0sin FHcos
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1
F S
0
FN 0
0
cos sin
拱结构的优点：选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混 凝土材料，节省用料，重量轻，可用于大跨、大空间结构。
拱结构的缺点：由于推力的存在，所以对基础的要求较高； 拱轴的曲线形状不便于施工（有时为减轻拱对基础的压力， 常使用拉杆布置）
第四节 三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线，被称为
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷载
),求其合理拱轴线形状。 q
f l
q
x
ql2/8
M
0 C
1 ql 2 8
FH
1 8f
ql 2
M 0 1 qlx 1 qx2 1 qx(l x)
F0 Ay
a1 P1
a2 C
f
l1 l
P1
C
X 0
b1 P2
x l2
P2
b2 F l Pb Pb 0
Ay
11
22
FAy
P1 b1
l
P2b2
B FBx
FBy
Pibi l
F0 Ay
mA 0
FBy
Piai l
F0 By
B
mc 0
F0 By
FAy FP1
FAy0
FSK0 MK0
由 Fn 0
FNK FSK0sin FHcos
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1
F S
0
FN 0
0
cos sin
拱结构的优点：选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混 凝土材料，节省用料，重量轻，可用于大跨、大空间结构。
拱结构的缺点：由于推力的存在，所以对基础的要求较高； 拱轴的曲线形状不便于施工（有时为减轻拱对基础的压力， 常使用拉杆布置）
第四节 三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线，被称为
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷载
),求其合理拱轴线形状。 q
f l
q
x
ql2/8
M
0 C
1 ql 2 8
FH
1 8f
ql 2
M 0 1 qlx 1 qx2 1 qx(l x)
3-3三铰拱(结构力学第3章)
证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用 于圆弧上的径向均布荷载q 可以用两 个垂直方向上等值的均布荷载等效替 代。
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
Fx 0, FxA FxB FH
0 FyA FyA 0 FyB FyB
0 MC 0, MC FH f 0
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯矩方程为：
MC ql 2 1 水平推力： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
6 2634 x6 12m 4f y6 2 x 6 ( l x 6 ) 3 m l
dy tan 6 dx
x x6
②求截面6的内力：
4f 2 (l 2 x6 ) 0.5 l
0 M6 M6 FH y6 8kN m L FQ6 (FP FyB )cos6 FH sin6 7.15kN R FQ6 FyB cos6 FH sin6 7.15kN L FN 6 (FP FyB )sin6 FH cos 6 23.24kN R FN 6 FyB sin6 FH cos6 30.40kN
恰好等于沿竖向和水平方向的两种 均布荷载 q 作用于微段时产生的竖 向分力和水平分力。
qRd cos 竖向分力： dFy qRd sin
水平分力： dFx
例3-9 试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线 方向均布压力作用下的合理拱轴线。
Fx 0, FxA FxB FH
0 FyA FyA 0 FyB FyB
0 MC 0, MC FH f 0
0 MC (推力计算公式 ) FH f
相当梁
⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有 关，而与拱轴的形状无关。 ⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁 反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比) 愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。 0 MC FH f
3-3-3 合理拱轴线 在给定的荷载作用下，能使拱体所有截面上弯矩为零的拱轴 线称为合理拱轴线。 0 弯矩： MK MK FH yK 令：
M M 0 FH y 0 M0 y 得： FH
例3-7 求图示三铰拱的合理拱轴线。 解：相应简支梁的弯矩方程为：
MC ql 2 1 水平推力： FH f 8 f M0 4 f x l x 合理拱轴线： y 2 FH l
6 2634 x6 12m 4f y6 2 x 6 ( l x 6 ) 3 m l
dy tan 6 dx
x x6
②求截面6的内力：
4f 2 (l 2 x6 ) 0.5 l
0 M6 M6 FH y6 8kN m L FQ6 (FP FyB )cos6 FH sin6 7.15kN R FQ6 FyB cos6 FH sin6 7.15kN L FN 6 (FP FyB )sin6 FH cos 6 23.24kN R FN 6 FyB sin6 FH cos6 30.40kN
结构力学(第二章)-三铰拱课件
稳定性分析对于结构的整体稳定性和安全性具有 重要意义。
03
三铰拱的设计与优化
设计原则与步骤
确定设计要求
明确三铰拱的设计目标，如承载能力、稳定性、 经济性等。
截面设计
根据计算出的内力和弯矩，设计三铰拱的截面尺 寸和形状。
结构分析
对三铰拱进行受力分析，计算出各截面的内力和 弯矩。
稳定性分析
对三铰拱进行稳定性分析，确保其在承载过程中 不会发生失稳。
3D打印技术
3D打印技术能够实现复杂结构的快速 、精确制造，为三铰拱的原型制作和 试验提供便利。
未来发展方向与趋势
跨学科融合
结构力学与材料科学、计算机科 学、人工智能等学科的交叉融合，
将推动三铰拱在理论和实践上的 创新。
绿色与可持续发展
在未来的发展中，三铰拱的设计和 建造将更加注重环保和可持续发展， 如采用可再生材料和节能技术。
智能化与自动化
随着智能化和自动化技术的发展， 三铰拱的设计、建造和监测将趋向 于智能化和自动化，提高效率和安 全性。
THANK YOU
感谢聆听
案例分析与实践
案例一
某桥梁的三铰拱设计，通过优 化设计，提高了桥梁的承载能 力和稳定性。
案例二
某工业厂房的三铰拱设计，采 用轻量化设计，降低了结构的 自重。
案例三
某大型场馆的三铰拱设计，通 过参数优化，实现了结构的优 化和美观。
04
三铰拱的施工与维护
施工工艺与要点
01
02
03
04
施工准备
确保施工场地安全，检查施工 材料质量，制定施工计划和安
100%
建筑工程
在建筑工程中，三铰拱可用于大 型工业厂房、仓库、展览馆等建 筑的屋盖结构。
03
三铰拱的设计与优化
设计原则与步骤
确定设计要求
明确三铰拱的设计目标，如承载能力、稳定性、 经济性等。
截面设计
根据计算出的内力和弯矩，设计三铰拱的截面尺 寸和形状。
结构分析
对三铰拱进行受力分析，计算出各截面的内力和 弯矩。
稳定性分析
对三铰拱进行稳定性分析，确保其在承载过程中 不会发生失稳。
3D打印技术
3D打印技术能够实现复杂结构的快速 、精确制造，为三铰拱的原型制作和 试验提供便利。
未来发展方向与趋势
跨学科融合
结构力学与材料科学、计算机科 学、人工智能等学科的交叉融合，
将推动三铰拱在理论和实践上的 创新。
绿色与可持续发展
在未来的发展中，三铰拱的设计和 建造将更加注重环保和可持续发展， 如采用可再生材料和节能技术。
智能化与自动化
随着智能化和自动化技术的发展， 三铰拱的设计、建造和监测将趋向 于智能化和自动化，提高效率和安 全性。
THANK YOU
感谢聆听
案例分析与实践
案例一
某桥梁的三铰拱设计，通过优 化设计，提高了桥梁的承载能 力和稳定性。
案例二
某工业厂房的三铰拱设计，采 用轻量化设计，降低了结构的 自重。
案例三
某大型场馆的三铰拱设计，通 过参数优化，实现了结构的优 化和美观。
04
三铰拱的施工与维护
施工工艺与要点
01
02
03
04
施工准备
确保施工场地安全，检查施工 材料质量，制定施工计划和安
100%
建筑工程
在建筑工程中，三铰拱可用于大 型工业厂房、仓库、展览馆等建 筑的屋盖结构。
5 三铰拱
sinϕ D = −0.555 cosϕ D = 0.832
3kN/m 10kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y ( x ) = 2 x (l − x ) 10.5kN l A B
16kN
6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3m
3m 10kN
D
10.5kN 12kN
qx (l − x ) 4 f y(x ) = 2 2 = 2 x(l − x ) ql l 8f
二、内力的计算
P V k Mk Nk
y a1 P1 k
a2
b2
ϕk
yk
b1 C P2
H VA
0 0 V= V 1 k A −P
A HA VA
xk l1 l P1
f
l2
x
B HB VB
M k0 =VA0 xk − P 1 ( xk − a1 )
M k = VA xk − P 1 ( xk − a1 ) − Hyk =V x − P 1 ( xk − a1 ) − Hyk
0 N D右 =−VD 右 sin ϕ D − H cos ϕ D =− ( −12 ) × ( −0.555 ) − 10.5 × 0.832 =−15.4kN
4m
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
5.3 三铰拱的合理轴线 一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩等于零，只 有轴力的拱轴线。 二、合理拱轴线的确定
xD = 9m
4f yD x(l − x) 2 6m 3m 3m l 16kN 4× 4 3kN/m = × 9(12 − 9)＝3m 10kN 2 12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ dy 4 f D l x tan ϕ ( 2 ) = = − D dx l 2 16kN 4× 4 12－2 × 9 )＝－0.667 2 ( 12
2-3 三铰拱图文课件
YB
平推力与矢高成反比.
等代梁 A
P1
C
P2
请问:有水平荷载,或铰C不
B
再顶部a1,或
不b1是平拱,
YA右0 边的结论还a2 是正确的吗b?2 YB0
YB=YB0 XA=XB =H
YA=YA0
YA0
H
1 f
[YA
l 2
P1
(
l 2
a1)]
M
0 c
[YA0
l 2
l P1( 2
a1)]
H= MC0 / f
3.拱的分类 静定拱
三铰拱 拉杆
超静定拱
拉杆拱
超静定拱
两铰拱
无铰拱 斜拱
高差h
拱 (arch) 一、概述
4.拱的有关名称
顶铰
拱肋 拱趾铰
拱肋 拱趾铰 跨度
矢高
二、三铰拱的数解法 ----支反力计算
P1
C
P2
A XA
YA
f
l/2
l/2
l
B
XB
三铰拱的竖向反力与其 等代H梁的反力相等;水平
反荷力载Y与A与拱跨轴度线一形定状时无，关M水c0.
二、三铰拱的数解法 ----内力计算
y P1
K
C
P2
QK M K P1
载及A三个铰x的三位铰y 置拱有的关内f ，力而不但与荷 B
且与拱轴线的形状有关。 XA
x
XB X A YA
NK
P1
M
0 K
l/2
l/2
YA
由于推力的l 存在，拱的 YB
YA0
QK0
弯矩比相应简支梁的弯矩要
小。 P1 A
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s
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
8
小
FVA=70kN 4m
4m
4m
4m
FVB=50kN
l=16m
得 2) 求φ
x y x 16
2
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
x tan y 1 8
16m
0 FV B
代入各x值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面， 求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
17
2、压力线的用途 (1)求任一拱截面的内力 (2)选择合理拱轴 由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
12
(3)计算内力 以截面E为例，计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中，得yE = 3m， E tan y E = -0.5， F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此，有 q=10kN/m
P
C E
y
E yE B FH=60kN
D
f=4m
sin φ E = -0.447 cos φ E = 0.894
14
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
15
(4)作内力图
5 20 67 60.6 60 60.6
58.1 D
A C E B 76
D A
C
E
15
20
15
5
B
78
91.9
78 77.8
M图(kN· m)
FN图(kN)
FP=40kN C E f=4m x E
C 4.9
17.9
E
q=10kN/m y A D
7.1
4
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
yE
B
FH=60kN
FQ图(kN)
FVA=70kN
4m
4m 4m l=16m
4m
FVB=50kN
16
三铰拱的压力线和合理拱轴
一、压力线
1、压力线的意义 拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱 各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱 内压力经过的路线。
X3
2
此时将图（c）在对称轴位置截断， 对于两对称内力：X1、X2。 当附加竖向刚臂长度变化时，就 可能使： 即得：
21
（b ） （1）利用对称性
=
12
= 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
3）轴力计算
FNE左 F NE右
0 FN E左 sin E FH cos E
(10)(0.447) (60)(0.894) 58.11 kN
0 FN E右 sin E FH cos E
(50)(0.447) (60)(0.894) 75.99 kN
l/2
l FP1
l/2
FP2
0 FH A 0
A
K C
0 MC
B
0 FV B
M FH f 0
0 C
0 FV A
l/2
l/2
0 MC FH f
l
6
小 结
(1) 三铰拱支座反力计算公式为 0 FV A FV A
0 FV B FV B 0 MC FH f
ห้องสมุดไป่ตู้
(2) 支座反力与l和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情 况有关，而与拱轴线形式无关。 (3) 推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f → 0，则f → ∞，这时，三铰在一直线上，成为几何可 变体系。
20
(2)竖向连续分布荷载 【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试 求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱 所受的竖向分布荷载为q = qC+γ y。
qC
C A
解：将式 y M 0 / FH 对
x微分两次，得
d y 1 d M 2 FH dx dx 2
2 2 0
，试作图示三铰
q=10kN/m
FP=40kN C E E yE B FH=60kN
解： (1) 计算支座反力
FH=60kN
y A
D
f=4m
x
FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN
l=16m
40 4 10 8 12 FV A F 70 kN （） 16 10 8 4 40 12 0 FV B FV 50 kN （） B 16 0 MC 50 8 40 4 FH 60 kN （推力） f 4
FH=60kN
A
x
4m 4m 4m l=16m 4m
FVA=70kN
FVB=50kN
将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值 1）弯矩计算
0 ME ME FH y E 200 60 3 20 kN m
13
2）剪力计算
0 FQ E左 FQE 左 cos E FH sin E (10)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN F 0 F Q E右 QE 右 cos E FH sin E (50)(0.894) (60)(0.447) 17.88 kN
11 X 1 1P 0 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
24
14
y
y´
X2
0
X2
y a
y
Q2
x
X1 X1
y
1
x'
y x
y N2
y
X1 1
M1 1 N1 0 Q1 0
X2 1
y 12 ds EI
拱 趾
起拱线
拱高f
跨度l
二铰拱
三铰拱
无铰拱
3
2、带拉杆的拱结构
拉杆 拉杆
拉杆
三、拱结构的力学特性
拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷 载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪 力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将 增大。因此，拱结构主要承受压力。
4
三铰拱的内力计算
一、支座反力的计算 1、竖向支座反力
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。 q
y x A l/2
0
C
f
B l/2 ql/2 A x
q
B l ql/2
解:
q M x (l x ) 2
M 0 4 f x(l x) y l2 FH
0 MC ql 2 FH f 8f
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为 一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨 比的任一抛物线都是合理拱轴。
qC g y ch x 1 g FH
在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线 (3)均匀径向荷载作(推导略) 三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线。
23
1 弹性中心法（对称无铰拱的计算）
EI=
（a） （c）
（b）与（c）具有完全等效关系。
X2
X1 X
0 VA
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
16m
0 FV B
11
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
q=10kN/m FP=40kN C E
1) 求y
FH=60kN
y
A
E
yE B
D x
f=4m
FH=60k
将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
拱结构
一、拱结构
在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力) 的曲线形结构，称为拱结构。
FP FHA FP FHB FHA=0 FP FP
FVA a) 拱结构
FVB
FVA b) 曲梁
FVB
1
隧道中的拱结构
2
二、拱结构的形式
1、基本形式 般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式
拱顶 拱身 拱 趾
7
二、内力的计算
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。
(1) 由∑MK=0，得
M M FH y
0
a1 FP1 K C FHA A FVA x
a2
FP2 B FHB l/2 FVB
FQ
0
0 FQ sin 0 co s FQ
FP1 x