数列极限习题

第一章 函数 极限与连续 第二节 数列的极限 习题作业

1 1、下列说法能否作为a 是数列{}n a 极限的定义？为什么？

(1) 对无穷多个0ε>，存在N N +∈，当n N >时，不等式n a a ε-<成立；

（2）对任给的m N +∈，存在N N +∈，当n N >时，不等式1n a a m

-<成立。 2、若把保序性中n n a b ≤的条件改为n n a b <，是否也能得到结论a b <？

3、命题lim lim n n n n a a a a →∞→∞

=⇔=是否正确？若正确请给予证明；若不正确请举出反例。 4、用数列极限的N ε-定义证明下列极限：

1lim sin 0.3

n n n π→∞= 5、求下列数列的极限：

（1）3(1)(2)(3)lim 21

n n n n n →∞++++； （2

）n ；

（3

）n （4）1lim(1).2

n n n →∞++ 6、判别下列数列的敛散性：

（1）2111;313131n n a =++++++ （2）2111(1)(1)(1).22

2n n a =--- 7、证明下列数列收敛，并求其极限：

设1101,1n x x +<<=

8、 证明数列!n n n a n =收敛，并求极限

9.设A a n n =∞→lim ，则A a n n =+∞→1lim ，从而有

1lim lim lim 11==∞

→+∞→+∞→n n n n n n n a a a a ，对吗，为什么？