双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1。

a b =；2。

离心率2=e ；3。

两渐近线互相垂直，分别为y=x ±； 4。

等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠； 八、共轭双曲线互为共轭双曲线。

λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证，如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）0m =时，b bk a a-<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a b ，abk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=2a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠。

4、若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=。

2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=。

3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=。

椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线。

椭圆参照选修2-1P41，双曲线参照选修2-1P55。

1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角形，122cot2PF F S b α∆=解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅22121212()242r r r r c r r -+-=221212(2)242a r r c r r +-=2212122()r r c a r r --=212122rr b r r -=∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-，∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．解：在12PF F ∆中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅22121212()242r r r r c r r +--=221212(2)242a r r c r r --=2212124()22a c r r r r --=212122b rr r r -=∴21212cos 2r r b r r α=-即21221cos b r r α=+，∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α．十四、(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OM b k k a⋅=图1证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-双曲线基础题1． 双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22． 设集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24－y 2＝1，Q ＝{(x ，y )|x －2y ＋1＝0}，记A ＝P ∩Q ，则集合A 中元素的个数是( )A ．3B ．1C ．2D ．43． 双曲线x 216－y 29＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．54．双曲线y 27－x 29＝1的共轭双曲线的离心率是________．能力提升5． 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.526． 设双曲线x 2a 2－y29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．17． 从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.348．双曲线y 26－x 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 6 B ．3 C ．4 D ．69． 如图K51－1，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝2AD ，设∠DAB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，以A 、B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C 、D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则e 1·e 2＝________.10． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．11． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，它的一个焦点为F (6,0)，则双曲线的方程为________．12．(13分)双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．难点突破13．(1)(6分) 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b，m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形(2)(6分) 已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2 B．4 C．6 D．8双曲线综合训练一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为该双曲线在第一象限的点，△PF 1F 2面积为1，且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线的左支上，点M 在双曲线的右准线上，且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。