如何用面积法解决几何题目

AB2 +BC 262 + 82D

巧用面积法解决数学中的几何题目

面积法就是运用几何图形的面积公式及面积关系,达到解题目的

一种方法,它不仅在代数中有着广泛的应用,同时,在几何解题中也是不

可或缺的,利用这种方法解决某些几何问题时,往往能收到意想不到的

效果.下面列举几例,仅供参考

例如：已知△ABC 中，∠C=900，AC=6cm,BC=8cm.求AB 边上

的高CD 的长。A

解：在△ABC 中，∠C=900

∴AC2+BC2=AB2

∴AB= = =10

△ABC 的面积不变

C B

∴ 1 AC •BC =1 AB •CD

2 2

即 1 ⨯6 ⨯8=1 10 •CD

2 2

∴CD=2.4(cm)

例如：求证；等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的

高。

已知：△ABC 中，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB。求证：

CH=DE+DF

证明：作DG⊥CH，垂足为G。

∵ 四边形HEDG 有三个角是直角

∴ 四边形HEDG 是矩形

∴HG=DE，DG‖AB

A

D

l 1

B

E

l 2

C

F

H E G F

∴∠GDC=∠Ｂ A

∵ ＡＢ＝ＡＣ

∴ ∠Ｂ＝∠ＡＣＢ

∴∠ＧＤＣ＝∠ＡＣＢ

∴ ＲtΔＧＤＣ≌ＲtΔＦＣＤ B

C

D

∴ＧＣ＝ＦＤ

∴ＣＨ＝ＤＥ＋ＤＦ

A

若用面积法：

证明：连结ＡＤ，则有ＳΔＡＢＣ＝ＳΔＡＢＤ＋ＳΔＡＣＤ

∴ 1

AB • CH = 1

AB • DE + 1

AC • DF

H 2

2

2

E F ∵ＡＢ＝ＡＣ B

C

D

∴ＣＨ＝ＤＥ＋ＤＦ

例如：如图直线 l 1、l 2、l 3 互相平行，且分别截直线 a 、b 于 A 、B 、 C 与 D 、E 、F ， 求证： AB = DE

CD

EF

分析：这题是平行线等分线段成比例定理

的证明题目，在教科书是教学生利用三角形 相似和平行四边形的性质来求证的。如果

用三角形的面积法来转换，对于学生来说

l 3

应该比较直观。

证明：连接 AE 、BD 、CE 、BF ，则△EAB 和 △EBC 有同高，所以

=

S △EAB

AB

S △EBC

=CD

同理可得：

S △DBE

DE

S △EBF

EF

而△EAB 和△DBE 同底等高，△EBC 和△EBF 同底等高,则有

S △EAB =S △DBE ,S △EBC =S △EBF

所以

AB DE

BC EF