圆锥曲线综合试题(全部大题目)含标准答案

1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线

22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的

交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||

PC PD PQ +=.

2.已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；

（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.

3.如图，椭圆134:2

21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线13

4:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相

等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.

4.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为

W .

（Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.

5.已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R)

（Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；

（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；

（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6.如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)若2

·

1cos PM PN MPN

-∠＝,求点P 的坐标.

7.已知F 为椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的右焦点，直线l

过

点F 且与双曲线

12

2

2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B .

（I ）若3

MON π∠=

，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。

（II ）若0OM MN ⋅=（O 为坐标原点），1

3

FA AN =

，求椭圆的离心率e 。 8.设曲线2

212:1x C y a

+=（a 为正常数）与22:2()C y x m =+在x 轴上方只有一个公共点P 。

（Ⅰ）求实数m 的取值范围（用a 表示）；

（Ⅱ）O 为原点，若1C 与x 轴的负半轴交于点A ，当1

02

a <<时，试求OAP ∆的面积的最

大值（用a 表示）。

1.（1）略

（2）为简化运算，设抛物线方程为2

00()2()x x p y y -=-，点Q ，C ，D 的坐标分别为

331122()()()x y x y x y ，，，，，，点(0,0)P ，直线y kx =，

200()2()x x p kx y -=-

220002()20x x pk x x py -+++=

一方面。要证112||||PC PD PQ +=

化斜为直后 只须证：

123

112x x x += 由于

00122

12122()

112x pk x x x x x x x pk

+++==+ 另一方面，由于(0,0)P 所以切点弦方程为：000()(2)x x x p y y --=-

所以 3x =0202x pk x pk +=+00

2312x pk

x x pk

+=+ 从而 123

112x x x += 即

112||||

PC PD PQ +=

2. （1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则),2

,(),0)(2

,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分

04

0),2,1(2=+-=⋅-=y x PF PM y PF 得由，因此，动点的轨迹方程为).0(42>=x x y (4)

分

x

y

O 22x py =

（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时， 则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y 得，不合题意， 故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y =kx +b (k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x OB OA 得…6分

由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(42122

21212-===>=y y x y x y x x y 故有上

又y 2=4x , y =kx +b 得ky 2

－4y +4b =0,……………………8分

所以)3216(1||),21(16.2,842

22

2

2++=+=∆-=-=k

k k AB k k b k b ……10分 因为.480)3216(196,304||642

22≤++≤≤≤k k k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是

]1,2

1

[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分

3.由题意得C 为AP 中点，设)0,2(),,(00-A y x C ，),2,22(00y x P +

把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得,12

4)22(312432

02

02

020⎪⎩⎪⎨

⎧=-+=+y x y x 解之得：)

0,2(),3,4(),23,1(,231

00B P C y x 又故⎪⎩

⎪⎨⎧==

故直线PD 的斜率为232403=--，直线PD 的方程为),2(23-=x y 联立)23,1(1

34

)2(232

2-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=+-=D y x x y 解得，故直线CD 的倾斜角为90° 4.解法一：

（Ⅰ）由|PM|－

|PN|=知动点 P 的轨迹是以,M N 为焦点的双曲线的右支，实

半轴长a =

又半焦距 c=2

，故虚半轴长b == W 的方程为22

122

x y -=

,x ≥（Ⅱ）设 A ，B 的坐标分别为11(,)x y , 22(,)x y

当 AB ⊥x 轴时,12,x x =从而12,y y =-从而22121211 2.OA OB x x y y x y ⋅=+=-=当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+,与W 的方程联立,消去y 得

2

2

2

(1)220.k x kmx m ----=故122

2,1km x x k +=-2122

2

,1m x x k +=-所以