《数值计算方法》课程教学大纲

《数值计算方法》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。

通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。

具体能力目标如下：具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；具有算法设计和理论分析能力；熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。

三、教学学时分配《数值计算方法》课程理论教学学时分配表《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表四、教学内容和教学要求第一章数值分析与科学计算引论（4学时）（一）教学要求1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。

（二）教学重点与难点教学重点：误差理论的基本概念教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播（三）教学内容第一节数值分析的对象、作用与特点1．数学科学与数值分析2．计算数学与科学计算3. 计算方法与计算机4. 数值问题与算法第二节数值计算的误差1．误差的来源与分类2．误差与有效数字3. 数值运算的误差估计第三节误差定性分析与避免误差危害1．算法的数值稳定2．病态问题与条件数3. 避免误差危害第四节数值计算中算法设计的技术1．多项式求值的秦九韶算法2．迭代法与开方求值本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。

其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%第二章插值法（12学时）（一）教学要求1.掌握插值多项式存在唯一性条件；2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。

（二）教学重点与难点教学重点：掌握Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式及三次样条插值教学难点：构造第一和第二边界条件下的三次样条插值（三）教学内容第一节引言1．插值问题的提出2．多项式插值第二节拉格朗日插值1．线性插值与抛物线插值2．拉格朗日插值多项式3. 插值余项与误差估计第三节均差与牛顿插值多项式1．插值多项式的逐次生成2．均差及其性质3. 牛顿插值多项式4. 差分形式的牛顿插值多项式第四节埃尔米特插值1．重节点均差与泰勒插值2．两个典型的埃尔米特插值第五节分段低次插值1．高次插值的病态性质2．分段线性插值第六节三次样条插值1．三次样条函数2．样条插值函数的建立3. 误差界与收敛性第七节工程案例分析1．黄河小浪底调水调沙问题本章习题要点：要求学生完成作业15-25题。

其中概念题10%，证明题10%，计算题50%，上机题30%第三章函数逼近与快速傅里叶变换（12学时）（一）教学要求1. 掌握函数逼近的有关概念；2．了解函数逼近的意义和推导过程；3．掌握求解最佳平方逼近函数的方法；4．掌握求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；5．掌握正交多项式特点及性质 , 会求连续函数的最佳一致多项式逼近；6．掌握曲线拟合的最小二乘法。

（二）教学重点与难点教学重点：数值逼近方法，最佳平方逼近，勒让德多项式与契比雪夫多项式教学难点：最小二乘原理（三）教学内容第一节函数逼近的基本概念1．函数逼近与函数空间2．范数与赋范线性空间3. 内积与内积空间4. 最佳逼近第二节正交多项式1．正交函数族与正交多项式2．勒让德多项式3. 切比雪夫多项式4. 切比雪夫多项式零点插值5. 其它正交多项式第三节最佳平方逼近1．最佳平方逼近及其计算2．用正交函数族作最佳平方逼近3. 切比雪夫级数第四节曲线拟合的最小二乘法1．最小二乘法及其计算2．用正交多项式作最小二乘拟合第五节工程案例分析1．材料学中混凝土泌水率的曲线拟合2. 用曲线拟合方法解决轧钢板型问题本章习题要点：要求学生完成作业16-22题。

其中概念题5%，证明题5%，计算题60%，上机题30%第四章数值积分与数值微分（10学时）（一）教学要求1.熟练掌握求积公式代数精确度的定义；2.能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精确度；3.理解插值型求积公式的原理和Newton-Cotes公式的构造，并熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度；4.熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，能使用这些公式计算积分近似值并估计误差，能根据精度要求确定积分区间的等分数；5.掌握两点和三点数值微分公式的用法。

（二）教学重点与难点教学重点：掌握求积公式代数精确度的定义、梯形公式和Simpson公式、复化梯形公式和复化Simpson公式教学难点：高斯求积公式（三）教学内容第一节数值积分概论1．数值积分的基本思想2．代数精度的概念3. 插值型的求积公式4. 求积公式的余项5. 求积公式的收敛性与稳定性第二节牛顿-柯特斯公式1．柯特斯系数与辛普森公式2．偶阶求积公式的代数精度3. 辛普森公式的余项第三节复合求积公式1．复合梯形公式2．复合辛普森求积公式第四节高斯求积公式1．一般理论2．高斯-勒让德求积公式3. 高斯-切比雪夫求积公式第五节数值微分1．中点方法与误差分析2．插值型的求导公式第六节工程案例分析1．吸收塔填料层高度的计算本章习题要点：要求学生完成作业20-25题。

其中概念题5%，证明题5%，计算题50%，上机题40%第五章解线性方程组的直接方法（12学时）（一）教学要求1．掌握解线性方程组的 Gauss 消元法、列主元法、 LU 分解，掌握线性变换的概念及运算，会求给定线性变换在一组基下的矩阵；2．理解上述方法的构造过程和特点；3．掌握全主元消元法、平方根法；4．掌握解特殊线性方程组的追赶法；5. 掌握向量范数、矩阵范数的基本概论与性质，学会用范数来分析方程组的性态及稳定性；6．掌握直接解法的误差分析及病态方程组概念。

（二）教学重点与难点教学重点：列主元消去法和矩阵的三角分解法教学难点：各种算法的原理与基本思想、误差分析（三）教学内容第一节高斯消去法1．高斯消去法2．矩阵的三角分解3. 列主元消去法第二节矩阵的三角分解法1．直接三角分解法2．平方根法3. 追赶法第三节向量和矩阵的范数1．向量范数2．矩阵范数第四节误差分析1．矩阵的条件数2．迭代改善法第五节案例分析1．小行星轨道方程计算问题本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。

其中概念题15%，证明题5%，计算题50%，上机题30%第六章解线性方程组的迭代法（6学时）（一）教学要求1．熟练掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法的计算分量形式、矩阵形式和它们的迭代矩阵表示式；2．理解迭代法收敛的充要条件；3．会用迭代阵的谱半径判断迭代的收敛性；4．掌握迭代法的渐近收敛速度的定义和计算。

（二）教学重点与难点教学重点：Jacobi迭代法，G－S迭代法教学难点：Jacobi迭代法和G－S迭代法的构造和收敛性分析（三）教学内容第一节迭代法的基本概念1．向量序列与矩阵序列的极限2．迭代法及其收敛性第二节 Jacobi迭代法和G－S迭代法1．Jacobi迭代法2．G－S迭代法3. Jacobi迭代法和G－S迭代法的收敛性第三节案例分析1．回归问题本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。

其中概念题5%，证明题15%，计算题50%，上机题30%第七章非线性方程与方程组的数值解（6学时）（一）教学要求1. 熟练掌握解非线性方程的简单迭代法的构造和收敛性判别方法；2. 掌握迭代法的收敛阶的概念；3.了解并掌握Newton迭代法及其变形：至少具有平方收敛速度的Newton迭代法的构造，Newton迭代法的变形（简化Newton法，弦截法）；4. 掌握求非线性方程根的二分法；5.了解非线性方程迭代法的加速：Aitken加速，Steffensen迭代法，会使用迭代法的加速技术。

（二）教学重点与难点教学重点：方程求根的迭代法中迭代格式的构造及其敛散性教学难点：如何分析判断迭代格式的敛散性（三）教学内容第一节方程求根与二分法1．引言2．二分法第二节不动点迭代法及其收敛性1．不动点与不动点迭代法2．不动点的存在性与迭代法的收敛性3. 局部收敛性与收敛阶第三节迭代收敛的加速方法1．埃特金加速收敛方法2．Steffensen迭代法第四节牛顿法1．牛顿法及其收敛性2．牛顿法应用举例3. 简化牛顿法与牛顿下山法第五节案例分析1．养老保险问题本章习题要点：要求学生完成作业8-12题。

其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%五、教学方法或手段1、教学方法：讲授法、启发式、讨论式、案例式、探究式等。

2、教学手段：传统讲授、多媒体、移动课堂和MOOC等网络教学手段相结合。

六、考核方式及评价要求本课程教学严格按照理论课程教学大纲、实验课程教学大纲课程教学进程安排进行日常教学，采取课堂讲授、课堂讨论、课外自主实践等多种形式完成教学任务。

课程总评成绩由以下三部分构成，各部分分数分布情况如下：1. 平时成绩（20%）：课堂测试、作业撰写、小论文、期中考试、出勤率等。

2. 实验成绩（20%）：实验报告撰写、综合性实验设计等。

3. 期末理论考试（60%）：闭卷七、教材及教学主要参考书推荐教材：《数值分析》，李庆扬，王能超，易大义主编，清华大学出版社，2013年7月第五版。

参考书目：《数值计算方法》，黄云清等主编，科学出版社，2009年1月第1版。

《数值计算方法》，林成森主编，科学出版社，2012年5月第2版。

《数值计算方法》，唐旭清等主编，科学出版社，2015年6月第1版。