行列式解法小结 数学毕业论文

行列式的解法小结

摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，

并指明了这几种方法的使用条件。

关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式

行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分必要的。由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n 阶行列式的计算问题。

1 升阶法

在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。

例1计算n 阶行列式 2

2

1

222

1212121

n

n n n n

n a c a a a a a a a c a a a a a a a c D +++=

，其中0≠c

解 2

212221

212121

210001n n n n n n n a c a a a a a a a c a a a a a a a c a a a D +++= c

a c a c a a a a n

n

0000001212

1---= 将最后一个行列式的第j 列的11--j a c 倍加到第一列（)13,2+=n j ，就可以

变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+∑=-n

i i

c c c a

c

1

21,,,,

故 ∑=++=n

i i

n n

n a

c c D 1

21

例2 计算n 阶行列式n n

n

n

n n

n n n

n

n x x x x x x x x x x x x D

2

12

22212222121111---=

解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令

n

n

n

n n

n n n

n n n n n

n n n n

n y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D

2

111

121122

222122

222

121

11

11

--------= 按第1+n 列展开，则得到一个关于y 的多项式，1-n y 的系数为

n n n

n D D -=-++1)

1(。另一方面∏∏≤≤≤=+--=

n

i j n

i i j i n x y x x D 11

1)(*)(

显然，1+n D 中1-n y 的系数为[]∏≤≤≤+++--n

i j n j i

x x x x x

121)()(

所以∑∏=≤≤≤-=n

i n

i j j i

i n x x

x D 11)(*

2利用递推关系法

所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

例3计算n 阶行列式 a

c

c

b a

c b b a D n

=

，其中0,≠≠bc c b

解 将n D 的第一行视为,0,0,)(c c c c a +++- 据行列式的性质，得

a

c

c

b a

c b b c a c

b a b b

c a a c

c

b a

c b b c

c a D n

+-=+++-=

000

11)()(---+-=n n n b a c D c a D )1(

于b 与c 的对称性，不难得到11)()(---+-=n n n c a b D b a D )2( 联立（1），(2）解之，得[]

n n n b a c c a b c b D )()()(1----=-

例4计算n 阶行列式 b

a a

b b

a b a ab

b a ab b a D n +++++=

0000

010

01000

解将n D 按第一行展开，得()b

a a

b b a b a ab ab D b a D n n +++-+=-10

000000011

于是得到一个递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ，变形得

)(111----=-n n n n bD D a bD D

易知 )()(4333221------=-=-n n n n n n bD D a bD D a bD D

[]

n n n a b a b ab b a a bD D a =+--+=-==--)()()(22122

所以1-+=n n n bD a D ，据此关系式在递推，有