2020中考数学专题复习——全等三角形

中考数学专题复习——全等三角形
一、选择题
1. （2008年山东省潍坊市）如图, Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AD ⊥BC ,平分∠ABC ，交A D 于E ，EF ∥AC ，下列结论一定成立的是（ ）
A.AB =BF
B.AE =ED
C.AD =DC
D.∠ABE =∠DFE ，
A B
C
D
E
F
2
.(2008年成都市)如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )
(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF
3．（08绵阳市）如图，O 是边长为1的正△ABC 的中心，将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转180°，得△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1与△ABC 重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）．
A ．
33 B ．43 C ．63 D ．8
3
4.(2008 台湾)如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示❒ABC 、❒ACD 、 ❒EFG 、❒EGH 。

若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70︒，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50︒，则下列叙述何者正确？ ( )
(A)甲、乙全等，丙、丁全等 (B) 甲、乙全等，丙、丁不全等
(C) 甲、乙不全等，丙、丁全等 (D) 甲、乙不全等，丙、丁不全等
G 50︒ A
B
C
E F
70︒
50︒
70︒
50︒
70︒
50︒
70︒ 甲
乙 丙
丁
5.（2008年湖南省邵阳市）如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠
6.（2008年江苏省无锡市）如图，OAB △绕点O 逆时针旋转80o
到OCD △的位置，已知
45AOB ∠=o ，则AOD ∠等于（ ）
Ａ．55o
Ｂ．45o
Ｃ．40o
Ｄ．35o
二、填空题
1、（2008年山东省滨州市）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

Q
P
O B
E
D
C A
C
A
D
P B
图（四）
2. （2008年山东省滨州市）将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：
则a n =________________（用含n 的代数式表示）.
3..（2008年江苏省南通市）已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.
4．（08厦门市）如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，
4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180o 得到BDE △，则DE =
cm ，
ABC △的面积= cm 2．
5．（08莆田市）在正三角形，正四边形，正五边形和正六边形中不能单独密铺的是__________. 6..（2008佳木斯市3）如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．
A B
E
G C
D
O A
B
C
D
E
7. (2008山东济宁)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明
A O
B AOB '''∠=∠的依据是 ．
三、简答题
1、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OC
O
D
C
B
A
2、（2008年浙江省衢州市）如图，AB ∥CD
(1)用直尺和圆规作C ∠的平分线CP ，CP 交AB 于点E(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)中作出的线段CE 上取一点F ，连结AF 。

要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。

3.（2008浙江金华）如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC 与BD 相交于点。

， AB = DC ，AC = BD. (1)求证: ΔABC ≌ΔDCB ；(2) Δ0BC 的形状是 。

(直接写出结论，不需证明) 。

A
B
C D
D
O C
B
A
4.（2008山东威海）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．
求证：AF ⊥BE ．
（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置， 点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ． 问AF 与BE 是否垂直？并说明理由．
5. （2008年山东省临沂市）已知∠MAN ，AC 平分∠MAN 。

⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，求证：AB ＋AD ＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
图 1
A
C
E
A
C
E
图 2
⑶在图3中：
①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC;
②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明。

6.(2008年浙江省绍兴市)学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上， 且BM CN =，AM BN ，交于点Q ．求证：60BQM =o
∠．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出 了许多问题，如：
①若将题中“BM CN =”与“60BQM =o
∠”的位置交换，得到的是否仍是真命题？ ②若将题中的点M N ，分别移动到BC CA ，的延长线上，是否仍能得到60BQM =o
∠？ ③若将题中的条件“点M N ，分别在正三角形ABC 的BC CA ，边上”改为“点M N ，分别在正方形ABCD 的BC CD ，边上”，是否仍能得到60BQM =o
∠？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
7.(2008年天津市)已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ． （Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．
A
C
N
Q
M
B
A M
N D
B C A M N D
B C A M
N D B C
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
8.(2008年沈阳市)已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．
（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180o
，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．
9.(2008年乐山市)如图（10），AC ∥DE ， BC ∥EF ，AC ＝DE 求证：AF ＝BD
C
A
B
E F M
N 图②
C
A
B
E
F M N 图①
C E N
D A B
M
图① C A E
M B D N
图②
10．（2008年陕西省）已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，ACD B ∠=∠．
求证：ABC CDE △≌△．
11.（2008年江苏省无锡市）已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和2cm ，一个内角为40o
． （1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和4cm ，一个内角为40o
”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有
个．
友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
A
D
B
C E
A
F
A E
D
B
12.（2008年江苏省苏州市）如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠．
求证：（1）ABC ADC △≌△； （2）BO DO =．
13.(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．
求证： CG AE =；
14.(2008 重庆)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE
D
C
B
A O
1 2
3 4 图1
15.(2008 湖北 荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______； (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点
C 旋转的度数=______；
(3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．
．
16.(2008 四川 广安)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，连接AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．
（1）求证：CF =AD ；
（2）若AD =2，AB =8，当BC 为多少时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，为什么？
(2)
A C
B
E D E
A C
B E
D
l
(3) l D ’
F A C B
E
D
(4)
A C
B E D l E ’
C ’
17.(2008 河北)如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；
（2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
18.（2008 四川 泸州）如图4，E 是正方形ABCD 的边DC 上的一点，过点A 作FA ⊥AE 交CB 的延长线于点F ， 求证：DE=BF
A
E
B
C
F
D
A
（E ） B
C （F ） P
l
l
l
B F
C 图1
图2
图3
P
F
E
D C
B A
19.(2008 河南)复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 中内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连结BQ 、CP 则BQ ＝CP 。

”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABC ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP 。

之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 外，原题中其它条件不变，发现“BQ ＝CP ” 仍然成立，请你就图②给出证明。

20．（2008湖北黄石）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥． 求证：AD CF =．
A
B C
D E
21．(2008北京)已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．
求证：AC CD =．
22．(2008安徽)已知：点O 到ABC △的两边AB AC ，所在直线的距离相等，且OB OC =． （1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =； （2）如图2，若点O 在ABC △的内部，求证：AB AC =； （3）若点O 在ABC △的外部，AB AC =成立吗？请画图表示．
23.(2008泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ⊥
A
A
B
B
C C E F D
O
A C
E
D
B
图1
图2
C
24.（2008山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC V 和DEF V 。

将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF V 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O 。

（1）当DEF V 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量关系是 。

（2）当DEF V 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由。

（3）在图③中，连接BO ，AD,探索BO 与AD 之间有怎样的位置关系，并证明。

25.（2008浙江湖州） 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及延长线上的点，
CF ∥BE ，
（1）求证：△BDE ≌△CDF
（2）请连结BF 、CE ，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由。

26.（2008四川达州市）（6分）含30o
角的直角三角板ABC （30B ∠=o
）绕直角顶点C 沿逆时针方向旋转角α（90α∠<o
），再沿A ∠的对边翻折得到A B C ''△，AB 与B C '交于点M ，A B ''与BC 交于点N ，A B ''与AB 相交于点E ． （1）求证：ACM A CN '△≌△．
（2）当30α∠=o
时，找出ME 与MB '的数量关系，并加以说明．
27.(2008黑龙江哈尔滨)已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．
求证：OA ＝OD ．
28.（2008福建省泉州市）已知：如图，E 、C 两点在线段BF 上，BE=CF ，AB=DE ， AC=DF,求证:ABC DEF ∆≅∆
29.(2008山东济宁)如图，在Rt ABC △中，90B ∠=o
，BC AB >．
（1）在BC 边上找一点P ，使BP BA =，分别过点B P ，作AC 的垂线BD PE ，，垂足为D E ，．
（2）在四条线段AD BD DE PE ，，，中，某些线段之间存在一定的数量关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含有其中的2条或3条线段），并说明等式成立的理由．
30.（2008湖北宜昌市）.如图，在△ABC 和△ABD 中，BC=BD ，设点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点.
（1）请你在图中作出点E 和点F ；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接AE 、AF.若∠ABC=∠ABD ，请你证明△ABE ≌△ABF.
31.（2008桂林市）
已知：△ＡＢＣ为等边三角形，Ｄ为ＡＣ上任意一点，连结ＢＤ
（１）在ＢＤ左下方，以ＢＤ为一边作等边三角形ＢＤＥ（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（２）连结ＡＥ，求证：ＣＤ＝ＡＥ
32.（2008广东肇庆市）
如图4， E 、F 、G 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点. （1） 图中有多少个三角形？
（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.
全等三角形答案
一.选择题
1.A
2.D
3.C
4.B
5.B
6.D 二.填空题
1. （1）（2）（3）（5）
2. 3n+1
3. 120
4. 2，18
5. 正五边形
6.C D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠
7. 全等三角形的对应角相等 三.解答题
1. 证明：连结AB
在△ADB 与△ACB 中AD BC AB BA AC BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△ACB ∴OC=OD.
2. 解：(1)作图略； (2)取点F 和画AF 正确(如图)；
添加的条件可以是：F 是CE 的中点；
AF ⊥CE ；∠CAF=∠EAF 等。

(选一个即可)
3. (1)证明：在ΔABC 和ΔDCB 中
C A
B
D
E
P F
AB DC BC CB AC BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴ΔABC ≌ΔDCB(SSS) (2)等腰三角形。

4. 证明：（1）证明：方法一：在△ACD 和△BCE 中， AC ＝BC ，
∠DCA ＝∠ECB ＝90°， DC ＝EC ，
∴ △ACD ≌△BCE （SAS ）． ………………2分 ∴ ∠DAC ＝∠EBC ． ………………………3分 ∵ ∠ADC ＝∠BDF ，
∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90°． ∴ ∠BFD =90°．
∴ AF ⊥BE ． …………………………………5分
方法二：∵ AC ＝BC ，DC ＝EC ， ∴
BC
CE
AC CD =
．即tan ∠DAC ＝tan ∠EBC ． ∴ ∠DAC ＝∠EBC ．（下略）…………………3分 （2）AF ⊥BE ． …………………………………6分 ∵ ∠ABC ＝∠DEC ＝30°，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴ BC EC AC DC
=＝tan 60°． ……………………7分
∴ △DCA ∽△ECB ． …………………………8分 ∴ ∠DAC ＝∠EBC ． …………………………9分 ∵ ∠ADC ＝∠BDF ，
∴ ∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC =90°． ∴ ∠BFD =90°．
∴ AF ⊥BE ． ……………………………………………………………………10分 5. 解:⑴证明:∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°， ∴∠CAB ＝∠CAD ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，
∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°，…………1分
∴AB ＝AD ＝2
1
AC ，……………………2分
∴AB ＋AD ＝AC 。

……………………3分 ⑵成立。

……………………………r …4分
证法一：如图，过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F 。

∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF.
∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ADC ＋∠CDE ＝180°,
A
C E
A
F
B C E D
E A M
N
D
B C
F G
∴∠CDE ＝∠ABC,………………………………………………………………5分 ∵∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CED ≌△CFB,∴ED ＝FB,……………………6分 ∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE,由⑴知AF ＋AE ＝AC,
∴AB ＋AD ＝AC ……………………………………………………………………7分 证法二：如图，在AN 上截取AG ＝AC ，连接CG.
∵∠CAB ＝60°,AG ＝AC,∴∠AGC ＝60°,CG ＝AC ＝AG,…………5分 ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°,∠ABC ＋∠CBG ＝180°,
∴∠CBG ＝∠ADC,∴△CBG ≌△CDA,……………………………………6分 ∴BG ＝AD,
∴AB ＋AD ＝AB ＋BG ＝AG ＝AC ，…………………………………………7分 ⑶①3;………………………………………………………………………8分 ②2
cos
2α.………………………………………………………………………9分
证明：由⑵知，ED ＝BF,AE ＝AF ， 在Rt △AFC 中，AC AF CAF =∠cos ,即AC
AF
=2cos α, ∴2
cos
α
AC AF =,………………………………………………………………10分
∴AB ＋AD ＝AF ＋BF ＋AE －ED ＝AF ＋AE ＝22
cos
α
AC AF =，…………11分
6. 解：（1）证明：BM NC =Q ，ABM BCN ∠=∠，AB BC =， ABM BCN ∴△≌△， BAM CBN ∴∠=∠，
60BQM BAQ ABQ MBQ ABQ ∴∠=∠+∠=∠+∠=o ．
（2）①是；②是；③否． ②的证明：如图，
120ACM BAN ∠=∠=o Q ，CM AN =，AC AB =，
ACM BAN ∴△≌△， AMC BNA ∴∠=∠，
NQA NBC BMQ ∴∠=∠+∠18060120NBC BNA =∠+∠=-=o
o
o
， 60BQM ∴∠=o ．
③的证明：如图，
BM CN =Q ，AB BC =， Rt Rt ABM BCN ∴△≌△，
AMB BNC ∴∠=∠．又90NBM BNC ∠+∠=o ，
90QBM QMB ∴∠+∠=o
，
90BQM ∴∠=o ，即60BQM ∠≠o ．
A
C Q
M
B
（第②题图）
N D N
C
B
(第③题图)
M
7. （Ⅰ）证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，
则△DCM ≌△ACM ． ············································································· 1分 有CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =． ··································· 2分 由DCM DCM ECF DCN ∠-︒=∠-∠=∠45，
ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，
得BCN DCN ∠=∠． ······················································································ 3分 又CN CN =，
∴△CDN ≌△CBN ． ··············································································· 4分 有BN DN =，B CDN ∠=∠．
∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． ···················································· 5分 ∴在Rt △MDN 中，由勾股定理，
得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． ················································ 6分 （Ⅱ）关系式222BN AM MN +=仍然成立． ···················································· 7分 证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△GCM ，连GN ， 则△GCM ≌△ACM ． ············································· 8分 有CA CG =，AM GM =，
ACM GCM ∠=∠，CAM CGM ∠=∠．
又由CB CA =，得 CB CG =．
由︒+∠=∠+∠=∠45GCM ECF GCM GCN ，
ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90．
得BCN GCN ∠=∠． ··················································································· 9分 又CN CN =， ∴△CGN ≌△CBN ．
有BN GN =，ο45=∠=∠B CGN ，︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CGM ， ∴οοο9045135=-=∠-∠=∠CGN CGM MGN ． ∴在Rt △MGN 中，由勾股定理，
得222GN GM MN +=．即222BN AM MN +=． ················································ 10分 8. 证明：（1）①BAC DAE ∠=∠Q BAE CAD ∴∠=∠
AB AC =Q ，AD AE =
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E F
M
N G
ABE ACD ∴△≌△
BE CD ∴= ·
································································································· 3分 ②由ABE ACD △≌△得ABE ACD ∠=∠，BE CD =
M N Q ，分别是BE CD ，的中点，BM CN ∴= ·
················································ 4分 又AB AC =Q ABM ACN ∴△≌△
AM AN ∴=，即AMN △为等腰三角形 ·
··························································· 6分 （2）（1）中的两个结论仍然成立． ·································································· 8分
（3）在图②中正确画出线段PD
由（1）同理可证ABM ACN △≌△ CAN BAM ∴∠=∠ BAC MAN ∴∠=∠ 又BAC DAE ∠=∠Q
MAN DAE BAC ∴∠=∠=∠
AMN ∴△，ADE △和ABC △都是顶角相等的等腰三角形 ·
································ 10分 PBD AMN ∴∠=∠，PDB ADE ANM ∠=∠=∠ PBD AMN ∴△∽△ 12分
9. 证明：Q AC ∥DE ， BC ∥EF ∴,CAB EDF ABC DFE ∠=∠∠=∠，又
Q AC=DE ∴ABC DFE ≅V V , ∴AB=DF ∴AF=BD 10. 证明：AC DE Q ∥，
ACD D ∴∠=∠，BCA E ∠=∠．、） 又ACD B ∠=∠Q ， B D ∴∠=∠． 又AC CE =Q ， ABC CDE ∴△≌△． （6分
11.
解：（1）如图1； （2）如图2； （3）4． （8分）
12.证明：（1）在ABC △和ADC △中
1234AC AC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
2cm 40° 2cm
1cm 40°
图1
图2
ABC ADC ∴△≌△．
（2）ABC ADC Q △≌△，AB AD ∴=．又12∠=∠Q ，BO DO ∴=．
13. 证明： Θ四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形
,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=o
,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△，
AE CG ∴=
14. 证明：（1）CF Q 平分BCD ∠，BCF DCF ∴∠=∠．
在BFC △和DFC △中，
BC DC BCF DCF FC FC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，
． BFC DFC ∴△≌△． （2）连结BD ．
BFC DFC Q △≌△， BF DF ∴=，
FBD FDB ∴∠=∠．
DF AB Q ∥，ABD FDB ∴∠=∠． ABD FBD ∴∠=∠．
AD BC Q ∥，BDA DBC ∴∠=∠． BC DC =Q ，DBC BDC ∴∠=∠． BDA BDC ∴∠=∠．
又BD 是公共边，∴BAD BED △≌△． AD DE ∴=．
15. 解：(1) 3-3；
(2)30°；
(3)证明：在△AEF 和△D ′BF 中，
∵AE =AC -EC , D’ B =D’ C -BC ， 又AC =D’ C ,EC =BC ，∴AE =D’ B ．
又 ∠AEF =∠D’ BF =180°-60°=120°，∠A =∠CD’E =30°，
∴△AEF ≌△D’ BF ．∴AF =FD’ 16. （1）证明：∵A D ∥BC ∴∠F ＝∠DAE 又∵∠FEC ＝∠AED CE ＝DE
∴△FE C ≌△AED ∴CF ＝AD
（2）当BC ＝6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上 其理由是：
∵BC ＝6 ，AD ＝2 ，AB ＝8
∴AB ＝BC ＋AD
又∵CF ＝AD ，BC ＋CF ＝BF ∴AB ＝BF
∴点B 在AF 的垂直平分线上。

17. 解：（1）AB AP =；AB AP ⊥． （2）BQ AP =；BQ AP ⊥．
证明：①由已知，得EF FP =，EF FP ⊥，45EPF ∴∠=o
． 又AC BC ⊥Q ，45CQP CPQ ∴∠=∠=o
．CQ CP ∴=． 在Rt BCQ △和Rt ACP △中，
BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=o ，CQ CP =，
Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△，BQ AP ∴=．
②如图2，延长BQ 交AP 于点M ．
Rt Rt BCQ ACP Q △≌△，12∴∠=∠．
在Rt BCQ △中，1390∠+∠=o
，又34∠=∠，
241390∴∠+∠=∠+∠=o ． 90QMA ∴∠=o ．BQ AP ∴⊥．
（3）成立．
证明：①如图3，45EPF ∠=o Q ，45CPQ ∴∠=o
． 又AC BC ⊥Q ，45CQP CPQ ∴∠=∠=o
．CQ CP ∴=． 在Rt BCQ △和Rt ACP △中，
BC AC =，90BCQ ACP ∠=∠=o ，CQ CP =，
Rt Rt BCQ ACP ∴△≌△．BQ AP ∴=．
②如图4，延长QB 交AP 于点N ，则PBN CBQ ∠=∠．
Rt Rt BCQ ACP Q △≌△，BQC APC ∴∠=∠．
在Rt BCQ △中，90BQC CBQ ∠+∠=o
，
l
A
B F
C Q 图2
M
1
2 3
4 E
P l
A
B
Q
P E
F 图4
N C
90APC PBN ∴∠+∠=o ．90PNB ∴∠=o ． QB AP ∴⊥．
18. 证明：0
90FAE BAD ∠=∠=Q
FAE BAE BAD BAE
FAB EAD
∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠
FAB EAD
AB AD ABF ADE DE BF FBA EDA Rt ∠=∠⎫⎪
=⇒≅⇒=⎬⎪∠=∠=∠⎭
V V 19. 证明：∵∠QAP ＝∠BAC
∴∠QAP ＋∠PAB ＝∠PAB ＋∠BAC 即∠QAB ＝∠PAC 在△ABQ 和△ACP 中 AQ ＝AP
∠QAB ＝∠PAC AB ＝AC
20. 证明：AB CF Q ∥，A ECF ∴∠=∠（2分）
又AED CEF ∠=∠Q ，AE CE =， AED CEF ∴△≌△．（5分）
AD CF ∴=． （6分）
21. 证明：AB ED Q ∥，B E ∴∠=∠．
在ABC △和CED △中，AB CE B E BC ED =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩，，，ABC CED
∴△≌△．AC CD ∴=．
22.
[证]（1）过点O 分别作OE AB ⊥，OF AC ⊥，E F ，分别是垂足，由题意知，OE OF =，
OB OC =，Rt Rt OEB OFC ∴△≌△，B C ∴∠=∠，从而AB AC =．
（2）过点O 分别作OE AB ⊥，OF AC ⊥，E F ，分别是垂足， 由题意知，OE OF =．在Rt OEB △和Rt OFC △中，
OE OF =Q ，OB OC =，Rt Rt OEB OFC ∴△≌△．OBE OCF ∴∠=∠，
又由OB OC =知OBC OCB ∠=∠，ABC ACD ∴∠=∠，AB AC ∴=． 解：（3）不一定成立．
23. （1）解：图2中△ABE ≌C △A CD
证明如下：
∵△ABC 与AED 均为等腰直角三角形
∴AB=AC ,AE=AD, ∠BAC=∠EAD=90°………………3分 ∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE
即∠BAE=∠CAD ………………4分 ∴△ABE ≌△A CD ………………6分 (2)证明：由（1）△ABE ≌△A CD 知 ∠ACD=∠ABE=45°………………7分 又∠ACB=45°
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90° ∴DC ⊥BE ………………9分
24. （1）AFD DCA ∠=∠（或相等）
（2）AFD DCA ∠=∠（或成立），理由如下 方法一：由ABC DEF ≅V V ，得
(),,,AB DE BC EF BF EC ABC DEF BAC EDF ===∠=∠∠=∠或
,ABC FBC DEF CBF ABF DEC ∴∠-∠=∠-∠∴∠=∠
在ABF V 和DEC V 中 AFD DCA ∠=∠
AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
,,,,ABF DEC BAF EDC
BAC BAF EDF EDC FAC CDF AOD FAC AFD CDF DCA AFD DCA
∴≅∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠V V Q
方法二、连接AD ，同方法一，ABF DEC ≅V V ，所以AF=DC 。

由,ABC DEF FD CA ≅=V V 得。

可证,AFD DCA AFD DCA ≅∠=∠V V 。

（3）如图，BO AD ⊥
方法一：由,ABC DEF ≅V V 点B 与点E 重合，得,BAC BDF BA BD ∠=∠=， 所以点B 在AD 的垂直平分线上， 且BAD BDA ∠=∠
OAD BAD BAC ODA BDA BDF OAD ODA
∠=∠-∠∠=∠-∠∴∠=∠Q 所以OA=OD ，点O 在AD 的垂直平分线上，故BO AD ⊥。

方法二：延长BO 交AD 于点G 。

同方法一OA=OD ，可证,ABO DBO ABG DBG ≅≅V V V V 则0
90,AGB DGB BO AD ∠=∠=∴⊥。

25. 证明：（1）∵CF ∥BE ∴EBD ＝FCD
又∵∠BDE ＝∠CDF ，BD ＝CD ∴△BDE ≌△CDF
（2）四边形BECF 是平行四边形 由△BDE ≌△CDF 得ED ＝FD ∵BD ＝CD
∴四边形BECF 是平行四边形
26. （1） 证明：∵∠A=∠A ′ AC ＝A ′C ∠ACM ＝∠A ′CN ＝900－∠MCN
∴ACM A CN '△≌△
（2）在Rt △ABC 中 ∵30B ∠=o
，∴∠A ＝900－300＝600 又∵30
α∠=o ，∴∠MCN ＝300，
∴∠ACM ＝900－∠MCN ＝600
∴∠EMB ′＝∠AMC ＝∠A ＝∠MCA ＝600 ∵∠B ′＝∠B ＝300
所以三角形MEB ′是Rt △MEB ′且∠B ′＝300 所以MB ′＝2ME
27. 证明：BE CF =Q ，BE EF EF CF ∴+=+，
BF CE ∴= ·
································································································· 1分 在ABF △与DCE △中AB DC
B C BF CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
ABF DCE ∴△≌△ ·
··································· 2分 AF DE ∴= AFB DEC ∠=∠ OF OE ∴= ·
······················································ 1分 AF OF DE OE ∴-=- OA OD ∴= 1分 28. 证明：BE CF =Q BE EC CF EC +=+
E
B
M
A C
A '
N
B '
BC EF ∴=
∴在ABC ∆和DEF ∆中
AB DE BC EF AC DF =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
()ABC DEF SSS ∴∆≅∆
29. 解：（1）如右图； （2）BD DE =．
理由：过P 作PF BD ⊥于F ，四边形DFPE 为矩形，PF DE =．
90ABD DBC ∠+∠=o Q ，90A ABD ∠+∠=o ，
A DBC ∴∠=∠．
在ABD △和BPF △中，
ADB BFP AB BP A FBP ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，，
， ABD BPF ∴△≌△． BD PF ∴=． BD DE ∴=．
30. 解：（1）略.
（2）证明：∵BC=BD ，点E 是BC 的中点，点F 是BD 的中点， ∴BE=BF.又∠ABC=∠ABD ，AB=AB ，∴△ABE ≌△ABF. 31. （１）如图：
（２）证明BCD EAD △≌△即可.
32. 解：（1）图中共有5个三角形； ···································· （2分）
（2）△CGF ≌△GAE ． ········································ （3分） ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠=A ∠C ． ················· （4分）
∵ E 、F 、G 是边AB 、BC 、AC 的中点， ∴AE =AG =CG =CF =
2
1
AB ． ··························································· （6分） ∴ △CGF ≌△GAE ． ······························································· （7分）。