西南交大研究生数值分析期末考试作业答案
西南交通大学数值分析题库
考试目标及考试大纲本题库的编纂目的旨在给出多套试题，每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平测试”原则，按照教学大纲和教学内容的要求，通过对每套试题的解答，可以客观公正的评定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。
通过它可以有效鉴别和分离不同层次的学习水平，从而可以对学生的学习成绩给出客观的综合评定结果。
本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容，同时突显对重点概念、重点内容和重要方法的考查。
考试内容包括以下部分：绪论与误差：绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。
非线性方程求解：方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken加速法、Ne w to n法与弦截法、牛顿局部收敛性、Ne w to n收敛的充分条件、单双点割线法（弦截法）、重根加速收敛法。
解线性方程组的直接法：高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle 和Crout三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky分解、改进的平方根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。
解线性方程组迭代法：向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算；方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计与迭代精度改善方法；雅可比（Jacobi）迭代法、Gauss-Seidel迭代法、迭代收敛与谱半径的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估计法；严格对角占优阵迭代收敛的有关结论；松弛法及其迭代判敛法。
插值法：插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理；Lagrange插值多项式；差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿（Newton）插值多项式；差分、差分表、等距节点插值公式；Hermite插值及其插值基函数、误差估计、插值龙格（Runge）现象；分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收敛性和稳定性；样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。
(完整word版)数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案
[][][]0010012001,,()()n n f x x x x x x -+--参考答案一． 填空(每空3分，共30分)1. 截断误差2. )2(--x x ，2)1(-x x ， 10 3. 14.)(2)(21k k k k k k x f x x f x x x '---=+ 5. 6，5，26，9二． 计算1. 构造重节点的差商表：所以，要求的Newton 插值为：3()5(1)2(1)(2)(1)(2)(3)N x x x x x x x =--+--+---3243x x =-+插值余项是：2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=--或：()[,1,2,3,4](1)(2)(3)(4)R x f x x x x x =----2.（1）解：()1f x =时，左10()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=-所以，172k =-3.解：改进的Euler 公式是：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩具体到本题中，求解的公式是：11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+⎧⎪=++++⎨⎪=⎩代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =222.276, 2.4832y y ==4．解：设3()25,f x x x =+-则2()32,f x x '=+ 牛顿迭代公式为：1()()k k k k f x x x f x +=-'322532k k k k x x x x +-=-+ 322532k k x x +=+将0 1.5x =代入上式，得1 1.34286x =，2 1.37012x =，3 1.32920x =,4 1.32827x =,5 1.32826x =4540.0000110x x --=<所以，方程的近似根5 1.32826x =5．解，Jacobi 迭代公式是：11231211131521333324k k k k k k k x x x x x x x ++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩Gauss-Seidel 迭代公式是：112311211131521333324k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩(2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A D L U =--，其中300020001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000021200,000100000L U --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵是：11030211()0020********J B D L U -⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭21033100100--⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪- ⎪⎝⎭Gauss-Seidel 迭代矩阵是：11300021()220000101000J B D L U ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20002112300006206000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭021********--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二． 证明证明：00x >且11()2k k kax x x +=+0k x ⇒> 所以有：111()222k k k k ka a x x x a x x +=+≥=即：数列k x 有下界；2111()()22k k k k k k kx a x x x x x x +=+≤+=所以，迭代序列k x 是单调递减的，由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列k x 极限存在。
数值分析期末考试和答案
数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案试题一：1. 简答题（共10分）a) 什么是数值分析？它的主要应用领域是什么？b) 请简要解释迭代法和直接法在数值计算中的区别。
2. 填空题（共10分）a) 欧拉方法是一种______型的数值解法。
b) 二分法是一种______法则。
c) 梯形法则是一种______型的数值积分方法。
3. 计算题（共80分）将以下函数进行数值求解：a) 通过使用二分法求解方程 f(x) = x^3 - 4x - 9 = 0 的近似解。
b) 利用欧拉方法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 2x + 1, y(0) = 1 在 x = 1 处的解。
c) 使用梯形法则计算积分∫[0, π/4] sin(x) dx 的近似值。
试题二：1. 简答题（共10分）a) 请解释什么是舍入误差，并描述它在数值计算中的影响。
b) 请解释牛顿插值多项式的概念及其应用。
2. 填空题（共10分）a) 数值稳定性通过______号检查。
b) 龙格－库塔法是一种______计算方法。
c) 零点的迭代法在本质上是将方程______转化为______方程。
3. 计算题（共80分）使用牛顿插值多项式进行以下计算：a) 已知插值节点 (-2, 1), (-1, 1), (0, 2), (1, 4)，求在 x = 0.5 处的插值多项式值。
b) 已知插值节点 (0, 1), (1, 2), (3, 7)，求插值多项式，并计算在 x = 2 处的值。
c) 使用 4 阶龙格－库塔法求解微分方程 dy/dx = x^2 + 1, y(0) = 1。
答案：试题一：1. a) 数值分析是研究使用数值方法解决数学问题的一门学科。
它的主要应用领域包括数值微积分、数值代数、插值和逼近、求解非线性方程、数值积分和数值解微分方程等。
b) 迭代法和直接法是数值计算中常用的两种方法。
迭代法通过反复迭代逼近解，直到满足所需精度为止；而直接法则通过一系列代数运算直接得到解。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
西南交大数值分析第二次大作业(可以运行)
数值分析第二次大作业1（1）用Lagrange插值法程序：function f=Lang(x,y,x0)syms t;f=0;n=length(x);for(i=1:n)l=y(i);for(j=1:i-1)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j=i+1:n)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));endf=f+l;simplify(f);if(i==n)if(nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendendx=[1,2,3,-4,5];y=[2,48,272,1182,2262]; t=[-1];disp('插值结果')yt=Lang(x,y,t)disp('插值多项式')yt=Lang(x,y)ezplot(yt,[-1,5]);运行结果：插值结果：Yt= 12.0000插值多项式：yt =4.0*t^4 - 2.0*t^3 + t^2 - 3.0*t + 2.0（2）构造arctan x在[1,6]基于等距节点的10次插值多项式程序：function f=New(x,y,x0)syms t;if(length(x)==length(y))n=length(x);c(1:n)=0.0;elsedisp('xºÍyάÊý²»µÈ£¡');return;endf=y(1);y1=0;xx=linspace(x(1),x(n),(x(2)-x(1)));for(i=1:n-1)for(j=1:n-i)y1(j)=y(j+1)-y(j);endc(i)=y1(1);l=t;for(k=1:i-1)l=l*(t-k);end;f=f+c(i)*l/factorial(i);simplify(f);y=y1;if(i==n-1)if(nargin==3)f=subs(f,'t',(x0-x(1))/(x(2)-x(1)));elsef=collect(f);f=vpa(f,6);endendend>>x=[1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6];y=[atan(1),atan(1.5),atan(2),atan(2.5),atan(3),atan(3.5),atan(4),atan(4.5),atan(5),atan (5.5),atan(6)];disp('插值多项式')yt=New(x,y)ezplot(yt,[1,6]);hold onezplot('atan(t)',[1,6])grid on运行结果：插值多项式yt =1.34684*10^(-10)*t^10 - 6.61748*10^(-9)*t^9 + 1.28344*10^(-7)*t^8 - 0.00000104758*t^7 - 0.00000243837*t^6 + 0.000149168*t^5 - 0.00176296*t^4 + 0.0125826*t^3 - 0.0640379*t^2 + 0.250468*t + 0.7853982（1）用MATLAB自带spline函数用于进行三次样条插值程序：>>x=[-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5];y=[0.03846,0.05882,0.10000,0.20000,0.50000,1.00000,0.50000,0.20000,0.10000,0.0 5882,0.03846];xi=linspace(-5,5)yi=spline(x,y,xi);plot(x,y,'rp',xi,yi);hold on;syms xfx=1/(1+x^2);ezplot(fx);grid on运行结果：由图可知，三次样条插值多项式图像与原函数图像基本一致。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
西南交大2007--2008数值分析期末真题
一、 填空题（每空2分，共40分） 07~081、求方程3310x x --= 的在02x =附近的根，用迭代公式1k x += 具有局部收敛性；用迭代公式3113k k x x ++=（是，否） 具有局部收敛性。
2、函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是 ，另一函数不是三次样条函数的理由是 。
3、若用复化梯形求积公式计算积分10x I e dx =⎰ 区间[0,1]应分 _______ 等分，即要计算个_______ 点的函数值才能使截断误差不超过71102-⨯；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分_____ 等分，即要计算个 _____点的函数值。
4、设若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A ，=2||||A ，=∞||||A ；则矩阵A 的谱半径(A)= ，cond 1(A)=5、在方阵A 的LU 分解中, 方阵A 的所有顺序主子不为零,是方阵A 能进行LU 分解的______(充 分,必要)条件；严格行对角占优阵______(能,不能)进行LU 分解；非奇异矩阵_______(一定，不一 定)能进行LU 分解。
6、设f (x )=2x 4在[-1,1]上的不超过3次最佳一致逼近多项式P (x )= 。
7． 在以10((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C =?ò为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的一次多项式是8、能用乘幂法解n 阶矩阵A 的特征值中，能求出模最大特征值及对应的特征向量，那么矩阵A 应满足的特征值条件为 , 特征向量条件为 。
二、 计算题（共50分）1. (14分) 设方程组1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ (1)写出Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式,指出是否收敛并证明你的结论(2)如果(0)( 3.9,3.1,1.9)T x =-,分别用Jacobi 迭代格式及Gauss-seidel 迭代格式计算 (1)x2. (20分)用Householder 方法将1220014112A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦化为上Hessenberg 阵 要求 (1) 写出Householder 矩阵H(2) 对应的上Hessenberg 阵 21A HA H =3. (16分） 1)设{})(x P n 是[0,1]区间上带权x x =)(ρ的最高次项系数为1的正交多项式系，求)(2x P2）构造如下的Gauss 型求积公式100110()()()xf x dx A f x A f x ?ò三、证明题 （共10分）设()f x 在区间a b [,]上具有四阶连续导数，设3()H x 是满足3()H a =()f a ，3()()H b f b =， 3()H a '=()f a '，3()()H b f b ''= 的三次Hermite 插值多项式。
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。
n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。
( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。
( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个算法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 雅可比方法D. 追赶法答案：B2. 线性代数中，矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目D. 矩阵对角线上元素的乘积答案：C3. 在数值分析中，插值法主要用于：A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 通过已知数据点估计未知数据点的值D. 优化问题答案：C4. 以下哪个方法不是数值积分的方法？A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 高斯消元法D. 龙贝格积分答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性方程组的解的存在性和唯一性可以通过矩阵的________来确定。
答案：秩2. 牛顿迭代法中，迭代公式为 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中 f'(x_n) 表示函数 f(x) 在 x_n 处的________。
答案：导数3. 在数值积分中，如果积分区间被划分得越细，那么数值积分的误差通常会________。
答案：减小4. 用泰勒级数展开函数 f(x) 时，如果 x0 是展开点，那么 f(x) 可以表示为 f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + ________。
答案：更高阶项三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述数值稳定性的概念及其在数值分析中的重要性。
答案：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对初始数据微小扰动的敏感程度。
一个数值稳定的算法能够保证在有限精度的计算下，算法的结果不会因为数值误差而产生较大的偏差。
在数值分析中，数值稳定性是算法设计的重要考虑因素，它直接影响到算法的可靠性和准确性。
2. 描述一下在数值分析中，如何使用龙贝格积分法来提高数值积分的精度。
答案：龙贝格积分法是一种基于梯形规则的数值积分方法，它通过递归地增加梯形规则的子区间数量来提高积分的精度。
数值分析习题(含标准答案)
数值分析习题（含标准答案）
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列哪个选项不属于数值分析的研究范畴？
A. 数值微分
B. 数值积分
C. 数值逼近
D. 数据库管理
答案：D
2. 在数值分析中，求解线性方程组常用的方法有？
A. 高斯消元法
B. 迭代法
C. 拉格朗日乘数法
D. 上述所有方法
答案：D
3. 下列哪种方法适用于求解非线性方程组？
A. 牛顿法
B. 梯度下降法
C. 高斯消元法
D. 上述所有方法
答案：D
4. 在数值积分中，下列哪种方法具有最高的精度？
A. 梯形法则
B. 辛普森法则
C. 高斯求积法
D. 上述所有方法
答案：C
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 数值分析的主要目的是通过有限步骤的运算，对数学问题进行近似求解。
2. 在数值微分中，常用的差分公式有前向差分、后向差分和中心差分。
3. 数值逼近的主要方法包括插值法和逼近法。
4. 在数值积分中，常用的方法有梯形法则、辛普森法则和高斯求积法。
三、解答题（每题10分，共30分）
1. 已知函数 f(x) = e^x，求其在 x = 0.5 处的导数。
答案：f'(0.5) ≈ 1.6487
2. 求解线性方程组 2x + 3y = 5，4x y = 1。
答案：x ≈ 0.625，y ≈ 1.25
3. 已知函数 f(x) = x^3 3x^2 + 4，求其在区间 [0, 2] 上的积分。
答案：f(x) 在区间 [0, 2] 上的积分≈ 3.6667。
数值分析期末试题及答案
数值分析期末考试试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分 评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案()101x L x -=-()212x L x -=⨯-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
(西南交大)数值分析题库-方程组
例5-10 求矩阵Q 的||Q ||1，||Q ||2，||Q ||∞与Cond 2(Q)，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1111111111111111Q 分析 这实际上是基本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。
解答 （1）由定义，显然||Q ||1=4 （2）因Q T Q=4I ，故24)(||||max 2===Q Q Q T λ（3）由定义显知4||||=∞Q （4）因Q T Q=4I ，故T Q Q 411=-，从而T T QQ Q Q 161)()(11=--==---)]()[(||||11max 21Q Q Q T λ21)41()161(max max ==I QQ T λλ 所以1212||||||||)(Cond 2122=⋅=⋅=-Q Q Q 例5-12 设有方程组AX=b ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3231 21 ,220122101b A已知它有解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0 3121 X . 如果右端有小扰动61021||||-∞⨯=b δ，试估计由此引起的解的相对误差。
分析 本题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出Cond ∞(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。
解答 容易求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1125.1121111A ，从而Cond ∞(A)=22.5由公式∞∞∞∞∞⋅≤||||||||)(||||||||b b A Cond X X δδ有56106875.13/210215.22|||||||--∞∞⨯=⨯⨯≤bX X δ例5-13 试证明矩阵A 的谱半径与范数有如下关系||||)(A A ≤ρ其中||A||为A 的任何一种算子范数。
分析 由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。
证明 由特征值定义，对任一特征值λ有 AX=λX （X ≠0，特征向量） 取范数有 ||AX||=|λ| ⋅ ||X||由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||≤||A|| ⋅ ||X|| 从而|λ| ⋅ ||X||≤||A|| ⋅ ||X|| 由于X ≠0，故|λ|≤||A||，从而 ρ(A) ≤ ||A||例5-18 设A,B 为n 阶矩阵，试证Cond(AB) ≤ Cond(A) ⋅ Cond(B)分析 由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
序言随着科技的进步和经济的迅猛发展，计算机这一工具在人们的生活和工作中越来越重要，数值分析作为工程计算和科学计算连接计算机的一门基础课程日益受到人们的重视，数值分析这门课在我们整个研究生课程的学习中具有很重要的意义，对我们以后的工作学习有很重要的作用。
Matlab是与一个非常优秀的的计算机语言，集数学计算，仿真和函数绘图等于一体，是一款功能强大的数学软件，是科研机构进行数学建模分析、研究必要的工具。
本上机实习的所有内容都是采用Matlab7.0这个软件开发平台。
使用Matlab7.0语言所编写的程序，与Visual C++、Basic和Pascal程序相比，具有速度快、操作简单、修改方便、界面友好、功能强大等优势。
用C++自编程序解决问题针对性好,可以得到想要的各种结论,而用数学软件计算则有一定的局限性,因为数学软件的算法是封装的,甚至我们不知道命令的具体算法,另外数学软件的命令只能解决通用的计算问题,对需要特定结论的计算问题,比如得到迭代次数, 光用数学软件的命令便不能得到,而用C++编程则有很强的适应性,可以精细控制计算细节,得到一些想要的结论,但是对于常规的计算问题,比如拟合和插值以及解方程(组),如果只要结果,那么用软件计算比较有优势,所以对实际问题综合使用计算方法比较好.由于使用能力所限，有一些疏忽，恳请老师指正，在此感谢老师这个学期对我们的悉心教导。
第一题写出对一般的线性方程组通用的Gauss消元, Gauss-Seidel迭代程序。
并以下面的线性方程组为例进行计算，讨论所得到的计算结果是否与理论一致。
（1）6213100 1422200 3144345x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭或（2）10.80.835 0.810.820 0.80.81110x⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭或（3）134 716x⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭本题的思路为编写Gauss－Seidel迭带的函数，在matlab中运行，查看其收敛与否与收敛速度，然后验证迭代收敛的条件。
（1）在matlab命令界面输入命令代码，并通过函数计算求得收敛的速度与迭代结果如下，假设迭代超过或达到10E6，迭代不收敛。
表1-a 对于右端项为b1的迭代结果表1-b 对于右端项为b2的迭代结果通过附录的谱半径脚本程序计算两种迭代的迭代矩阵满足谱半径分别为0.5427、0.3.536，均小于1条件（2）同(1)得到表2-a 对于右端项为b1的迭代结果通过附录的谱半径脚本程序计算两种迭代的迭代矩阵满足谱半径分别为1.6、0.7155，后者小于1。
（3）同(1)得到表3-a 对于右端项为b1的迭代结果通过附录的谱半径脚本程序计算两种迭代的迭代矩阵满足谱半径分别为4.5826、21，均远大于1。
2.结论与分析(1).Jacobi迭代收敛的条件矩阵B=I-inv(D)*A的谱半径小于1成立，其中D=diag(diag(A));I为同阶的单位矩阵；Gauss－Seidel迭代收敛的条件B=inv(D-L)*U的谱半径小于1 成立，其中D=diag(diag(A)); U=triu(A,1); L=tril(A,-1)。
(2).两种迭代右端项都对迭代没有影响,只影响迭代的速度。
(3).两种迭代收敛时，Gauss－Seidel迭代速度要比Jacobi快。
(4).右端项对迭代速度有影响,值相对过大会降低收敛速度.(5).若迭代格式不能收敛,那么可以换用Gauss消去法计算.或直接用软件算.(6).在用谱半径方法判断迭代格式收敛性时,若特征值为复数,则算复数的模.第二题给定初值问题'2020)1,0,(x y y y ≤≤-==（精确解为20xy e -=），用Ru n ge-Kutt a 4阶算法按步长0.05,0.1,0.2h =求解，分析其中遇到的现象及问题。
1.Runge-Kutta 4阶算法的思路Runge-Kutta 法的基本思想：是通过(,)f x y 某些点的函数值的适当线性组合替换Eular 法中的(,)k k f x y ，可能使得方法的精确度更高。
由于有了这种思想，因此标准的Runge-Kutta 的算法如下(h 为求解步长)：1(,)k k K hf x y =如果k y 是某种方法第k 步的近似值，()k y x 是其准确值，其绝对误差为k e ，即有：()k k k e y x y =-。
假定第k 步之后的计算不再有舍入误差，只是由第k 步的舍入误差k δ引起的扰动m δ，都有m kδδ<，则称此方法是绝对稳定的。
数值解的稳定性一般与步长h 以及(,)f x y 有关。
2. 试验结果与分析从结果上看，迭代的刚开始的误差较大，但随着迭代次数的增加，整体截断误差在逐步减小，当h=0.1时，说明迭代具有很好的稳定性。
可以看到当x k =1时，结果已经逼近真值，即说明收敛。
（2）而当h=0.2时，结果列表如下：对比真值数据可知，选用h=0.2时，迭代不收敛，而且随着迭代次数的增加累积的误差在不断放大，说明h=0.2时不具有稳定性。
我们知道采用标准四阶rungekutta 法的绝对稳定区间为：（-2.78,0）当h=0.1时，h λ=-2，在绝对稳定区间内，当h=0.2时，h λ=-4，此时不在稳定区间之内。
总 结首先，通过本次上机实习使我们对数值分析的书本上的知识有了更进一步的理解，使我们把书本上学习到的知道与实际中的应用初步地结合起来，为我们以后把数值分析应用我们学术方向上打下了一定的基础。
通过本次上机实习巩固了所学的知识，培养思考问题的能力，锻炼了matlab 和c 语言程序的使用。
在编程过程中经常发现一些错误和问题，在修改的过程中提高自己，也体会了数值分析给计算带来的方便之处。
通过matlab 与C++的对比知道了两者各有各自的优点，matlab 编程的方便与程序编写的方便简单，而c 语言能帮助我们更好地理解。
附 录附录1 高斯赛德迭代程序，包括函数和命令行需要运行的代码 function [x,k]=g_s(A,b,x0) n=length(A);for k=1:1e6x=x0;for i=1:n% 每次迭代循环c(i)=0;for j=1:nif i~=jc(i)=c(i)+A(i,j)*x0(j);endendx0(i)=-1/A(i,i)*(c(i)-b(i));endif norm(x-x0)<=1.0e-6breakendendvpa(x,6) % 结果6位有效数字显示(1) 第一小题A1=[6,2,-1];A2=[1,4,-2]; A3=[-3,1,4];A=[A1;A2;A3];b1=[-3,2,4];b2=[100,-200,345];x0=[1 1 1];[x1,k1]=g_s(A,b1,x0);[x2,k2]=g_s(A,b2,x0);D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B=inv(D-L)*U; p=max(abs(eig(B)));（2）第二小题A1=[1,0.8,0.8];A2=[0.8,1,0.8]; A3=[0.8,0.8,1];A=[A1;A2;A3];b1=[3,2,1];b2=[5,0,-10];x0=[1 1 1];[x1,k1]=g_s(A,b1,x0);[x2,k2]=g_s(A,b2,x0);D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B=inv(D-L)*U;p=max(abs(eig(B)));（3）第三小题A1=[1,3];A2=[-7,1];A=[A1;A2];b1=[4,6];x0=[1 1];[x1,k1]=g_s(A,b1,x0);D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1);B=inv(D-L)*U;p=max(abs(eig(B)));附录2 Runge-Kutta 4阶算法求解常微分方程需要运行的代码h=[0.1，0.2]k=1for xk=0.1:0.1:1for i=1:1:4hj=h(i)yk=1for xkp=hj:hj:xkk1=hj*(-20*yk);format long k1;k2=hj*(-20*(yk+k1*0.5)); k3=hj*(-20*(yk+k2*0.5)); k4=hj*(-20*(yk+k3)); ykm=yk+(k1+2*k2+2*k3+k4)*(0.16666666666667);yk=ykm;endyk=yk;yeal=exp(-20*xkp) ;ck=abs(yk-yeal);ykeal(k)=yeal;ckk(k)=ck;yxk(k)=yk;xkk(k)=xk;k=k+1;endendD=[yxk' ykeal' ckk'];for i=1:1:10for j=1:1:3Ah1(i,j)=D(4*i-3,j);Ah2(i,j)=D(4*i-2,j);Ah3(i,j)=D(4*i-1,j);Ah4(i,j)=D(4*i,j);EndAxk(i)=xkk(4*i-3);EndCh1=[Axk' Ah1]Ch2=[Axk' Ah2]Cheng=[Ch1(1,[2 3 4]); Ch2(1,[2 3 4])]。