时间离散及求解方法

n1 (0) Q2h Q2h Q2h
n1 n1 h Qh,new Qh I 2hQ2h
重复以上步骤，直至最细网格
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(5) 低速预处理技术
Q F G H 0 x y z
(5) 低速预处理技术
一般可取：
M r2
时：
, M r2 M 2 , 1 ,
M
M 1
M 1
当
Mr M 1
3 1 2
当 M → 0 时：
2 2.6 3
1 U 2 U 3 U
＝
ˆn R i 1 n ˆ Ri n ˆ Ri 1
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
二维：
i， j
i， j ＋ 1
Qi 1, j
i＋1，j
Qi , j Qi 1, j
＝
i， j － 1
i－1，j
n ˆ Ri 1, j ˆn R i, j n ˆ R
i 1, j

i , j ,k
Vi , j ,k n1 n 1 ˆ n 1 ˆ n 1 Qi , j ,k Qi , j ,k ( Ri , j ,k Ri , j ,k ) 0 t 2


时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(1) 当地时间步长方法
ti , j CFL I J I ( Vi , j ni , j ci , j ) li , j ( Vi , j ni , j ci , j ) li ,Jj
M阶Runge-Kutta算法：
(0) n Qi , j ,k Qi , j ,k (1) (0) ti , j ,k ˆ (0) Qi , j ,k Qi , j ,k 1 Ri , j ,k Si , j , k (2) (0) ti , j ,k ˆ (1) Qi , j ,k Qi , j ,k 2 Ri , j ,k Si , j , k (m) Qi , j ,k n 1 Qi , j ,k (0) ti , j ,k ˆ ( m 1) Qi , j ,k m Ri , j ,k Si , j , k (m) Qi , j ,k
Q V
Q V



i , j ,k
n1 n n1 Vi , j ,k 3Qi , j ,k 4Qi , j ,k Qi , j ,k t 2
ˆ n1 0 R i , j ,k
Crank-Nicolson：
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
Q V t


i , j ,k
ˆ R i , j ,k 0
V n 1 n n 1 ˆ Q Q R i , j ,k i , j ,k i , j ,k 0 t V ˆ n 1 0 Qi , j ,k R i , j ,k t
4. 加速收敛技术
(4) 多重网格方法 B. 从细网格到粗网格的传递：
( 0) n1 2 h ˆ Q Q2h I h h
( 0) 2 h n 1 Pf 2h I h Rh R2h
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(4) 多重网格方法 C. 粗网格上流场解的更新： 在粗网格上求解：
d ˆ Q2 h V2 h R f dt
得：

2h
,
ˆ R
f 2h
ˆ P R 2h f 2h
n1 Q2 h
以及
ˆ n1 R 2h
重复B、C步，至最粗的网格
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(4) 多重网格方法 D. 细网格上流场解的更新：
(0) n Qi , j ,k Qi , j ,k (1) (0) ti , j ,k ˆ (0) Qi , j ,k Qi , j ,k 1 Ri , j ,k Si , j , k (2) (0) ti , j ,k ˆ (1) Qi , j ,k Qi , j ,k 2 Ri , j ,k Si , j , k (m) Qi , j ,k n 1 Qi , j ,k (0) ti , j ,k ˆ ( m 1) Qi , j ,k m Ri , j ,k Si , j , k (m) Qi , j ,k
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
A X B
(L D U ) X B
对称Gauss-Seidel 迭代：
X
( m 1)
1 ( B L X ( m1) U X ( m ) ) D 1 ( B L X ( m1) U X ( m 2) ) D
X ( m 2)
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
LU-SGS 算法：
A L D U
(L D)D1 (D U ) A
X B A
A X B
1
( L D) D ( D U ) X B
Y D ( B LY ) X Y D 1UX
时间离散及离散系统的求解方法
1. 显式时间离散及求解方法
Q V t


i , j ,k


ˆ ˆ F Fv n S 0

Q V t

i , j ,k
ˆ R i , j ,k 0
时间离散及离散系统的求解方法
1. 显式时间离散及求解方法
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(5) 低速预处理技术
进口马赫数＝0.001，二阶精度的Roe格式
2
Qi 1
Qi 1
ˆ n1 F i Qi
2
Qi
ˆ n1 F i
2
Qi 1
Qi 1
if
ˆ 1 A 1 Q A 1 Q F i i 1 i i i
2 2 2
ˆ n 1 R ˆ n A 1 Q A 1 Q A 1 Q A 1 Q R i i i i 1 i i 1 i i i i
2 2 2 2
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
பைடு நூலகம்
V ˆ n 1 0 Qi , j R i, j t V n ˆ Qi Ai Q A Q A Q A Q R i i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 2 2 2 t
Si , j
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(2) 残差光顺方法
ˆ * (1 2 ) R ˆ * R ˆ* R ˆ R i 1, j i, j i 1, j i, j ˆ ** (1 2 ) R ˆ ** R ˆ ** R ˆ* R i , j 1 i, j i , j 1 i, j
1
时间离散及离散系统的求解方法
3. 非定常计算的离散和求解方法
Q V t


i , j ,k
ˆ R i , j ,k 0
虚拟时间步方法：
Q V


i , j ,k
Q V t


i , j ,k
ˆ R i , j ,k 0
3点Euler后差：
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
以一维Euler方程为例：
n 1 n 1 n 1 ˆ ˆ ˆ Ri Fi 1 Fi 1
2 2
ˆ F
n1
ˆ n n F ˆ Q F Q
n
ˆ n 1 R ˆn R i i
ˆ n1 F i Qi
2
Qi
ˆ n1 F i
2
Qi 1
Qi 1
ˆ n1 F i Qi
2
Qi
ˆ n1 F i
2
Qi 1
Qi 1
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
ˆ n 1 R ˆn R i i
ˆ n1 F i Qi
2
Qi
ˆ n1 F i
V n ˆ A Qi 1 I Ai 1 Ai 1 Qi Ai Q R i 1 i 1 2 2 2 t
i 1 2
时间离散及离散系统的求解方法
2. 隐式时间离散及求解方法
一维：
i
i＋ 1
i－ 1
Qi 1 Qi Qi 1
1
预处理矩阵可以是：
1 diag1, 1, 1, 1, 1/ (M r )
对流通量Jacobi矩阵的特征值成为：
1 U 2 U 3 U

U

2
c 2
1 2
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(3) 网格序列方法
时间离散及离散系统的求解方法
4. 加速收敛技术
(4) 多重网格方法 A. 设流场的近似解为
n Qh
；
在细网格上求解：
d ˆ Qh Vh R h dt
得：
n1 Qh
以及
ˆ n1 R h
时间离散及离散系统的求解方法