离散数学CH04_图论_路与连通性

4.3 连通图
证明：
⑴如果G是不连通的，由点连通度和边连通度的定义有
k(G)=(G)=0， 所以 k(G)≤(G)≤ (G)
4.3 连通图
⑵如果G是连通图。 ①先证明(G)≤ (G) 如果G是平凡图，(G)=0≤(G)，即(G)≤ (G)，如果 G是非平凡图，设n=(G)=mindeg(v)|vV，则存在 G的一个结点v，它关联了n条边，而其它结点关联的边 数大于等于n，将v关联的这n条边删除，G成为不连通 的。从而这n条边或这n条边中的几条边组成一个边割集 ，即存在一个边割集的基数小于等于n，所以 min{|E 1| | E 1是G的边割集}≤n=min{deg(v) | vV }，即 (G)≤ (G)
的交替序列L：v0e1v1e2v2…envn叫做v0到vn的
路。其中vi-1与vi是ei的端点，i=1,…,n。
v0和vn分别叫做路L的始点和终点。
路L中边的条数叫做该路的长度。
4.2 路和回路
例如， L1：v5e8v4e5v2e6v5e7v3 是从v5到v3的路，v5 是始点，v3是终点，长度为4。 L2：v1e1v2e3v3 是从v1到v3的路，v1是始点， v3是终点，长度为2。
e=(u,v)仍是桥。此时再删除u或v，就必产生了一个不连
通图，故k(G)≤(G) 由⑴和⑵得k(G)≤(G)≤ (G)
4.3 连通图 例 请求出下图的(G), K(G), (G)
v1
v2
v5
v4
(G) = 2 K(G) = 2 (G ) = 2
4.3 连通图
画出一个<<的无向简单连通图
例 试验证下列边集合是否为割集 v
1
4.3 连通图
v5
v7
v2
v3
v4
{( v1 , v2 ), (v3 , v4 )} {( v4 , v5 ), (v5 , v6 )}
v 7 {( v , v )} 6 7
v1
v6
v5
v2
v3
v4
v6
{( v5 , v6 ), (v6 , v7 )}
4.3 连通图
{v4 , v5 }
v6

4.3 连通图
定义4.3.6 设无向图G=(V,E,γ)不是完全图， 定义k(G)=min{|V1|| V1是G的点割集}为G的 点连通度（或连通度）。 显然，k(G)是为了产生一个不连通图需要删除的 点的最少数目。
4.3 连通图
定义4.3.7 设无向图G=(V,E,γ)是连通图，若有边集E1E，使图G 删除了E1的所有边后，所得到的子图是不连通的，而删 除了E1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通的，则
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.2 设G=V,E是无向图，在图G的结点集V上建 立一个二元关系R： R={u,v | uV∧vV∧u和v连通} R叫做无向图G的结点集V上的连通关系。 因为R是自反的、对称的、传递的，所以R是V 上的等价关系。无向图G的结点集V上的连通关 系是等价关系。
4.2 路和回路
推论:在n阶图G中，若从结点vi到vj(vi≠vj)存 在路，则必存在长度小于等于n-1的初级路。
由定理4.2.1的证明过程知，本推论成立。
类似的可证明下列定理和推论。
4.2 路和回路
定理4.2.2 在n阶图G中，若存在结点vi到自身的回路， 则必存在vi到自身长度小于等于n的回路。 推论 在n阶图G中，若存在结点vi到自身的简单回 路，则必存在vi到自身长度小于等于n的初级 回路。
离散数学
Discrete Mathematics
第 4章 图 论
计算机与信息工程学院
内容提要
4.1 4.2 4.3
图的基本概念 路和回路 连通图
4.4
图的矩阵表示
内容提要
4.5 4.6 4.7
欧拉图和哈密顿图 树 二部图及匹配
4.8
平面图
4.2 路和回路
定义4.2.1 设G=V,E是图，G中的结点与边
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.1 在无向图G中，如果结点u和结点v之间存在 一条路，则称结点u和结点v连通。记为u～v 。规定，G中任意结点v和自身连通，即v～v 。 在无向图中，如果结点u和结点v连通，即u～ v，那么，结点v和结点u连通，即v～u。所以 ，无向图结点间的连通是对称的。
4.3 连通图
例
v1
强连通图
v4
v1
v2
v 4 v1
v3
v4
单向连通图
连通图
v2
v3 v 2
v3
4.3 连通图
下面给出简单有向图的一个应用——资源分配图。 在多道程序的计算机系统中，可以同时执行多个程序。 实际上，程序共享计算机系统中的资源，如磁带机、磁 盘设备、CPU、主存贮器和编译程序等。操作系统对这 些资源负责分配给各个程序。当一个程序要求使用某种 资源，它要发出请求，操作系统必须保证这一请求得到 满足。
4.3.2 有向图的连通性 定义4.3.9 在有向图G中，结点u到结点v存在一条路，则 称结点u到结点v可达。记为u→v。如果u到v可 达且v到u也可达，称结点u和结点v相互可达。 记为u↔v。 规定，G中任何结点v自己到自己可 达，即v↔v。
4.3 连通图
4.3.2 有向图的连通性 定义4.3.10 在简单有向图G中，对于任意两个结点u和v， ⑴如果结点u到结点v可达或结点v到结点u可达，则 称G为单向(侧)连通的。 ⑵如果结点u和结点v互相可达，则称G为强连通的。 ⑶如果略去方向得到的无向图是连通的，则称G为弱 连通的。
4.3 连通图
对资源的请求可能发生冲突。如程序A控制着资源r1， 请求资源r2；但程序B控制着资源r2，请求资源r1。这 种情况称为处于死锁状态。然而冲突的请求必须解决， 资源分配图有助发现和纠正死锁。 假设某一程序对一些资源的请求，在该程序运行完之前 必须都得到满足。在请求的时间里，被请求的资源是不 能利用的，程序控制着可利用的资源，但对不可利用的 资源则必须等待。
如何判断一个图中的割点（关节点）？
4.3 连通图
例 试验证下列结点集合是否为点割集
v1
v5
v2
v3
v7
v4
v6
{v 4 } {v 6 } {v1 , v3 }
{v4 , v5 }
4.3 连通图
例 v 试验证下列结点集合是否为点割集
1
v5
v2
v3
v7
v4
v6
v1
v5{v 4 } { v } 6 v7 {v1 , v3 }
d f g
4.3 连通图
定义4.3.5
设无向图G=(V,E,γ)是连通图，若有点集V1V，使图G
删除了V1的所有结点后，所得到的子图是不连通的，而 删除了V1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通的， 则称V1是G的一个点割集。若某个结点构成一个点割集 ，则称该结点为割点。
4.3 连通图
4.3 连通图
在简单图中没有平行边和环， 路L:v0e1v1e2v2…envn完全由它的结点序列 v0v1v2… vn确定。 所以，在简单图中的路可以用结点序列表示。
4.2 路和回路
定义4.2.2 设G=V,E是图，L是从 v0到vn的路。 若v0=vn，则称L为回路。
若L中所有边各异，则称L为简单路。
三个连通分支
非连通图
两个连通分支
4.3 连通图
定义4.3.4 每一个连通分支中任何两个结点是连通的，而 位于不同连通分支中的任何两个结点是不连通 的。即每一个连通分支都是原图的最大的连通 子图。 显然，G是连通图，当且仅当W(G) =1。
4.3 连通图
【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二顶点 必连通。 证明: 用反证法来证明。 设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通分支 ，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一个奇度 数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理推论矛盾 ，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则二顶点必连 通。
定义4.3.8
设无向图G=(V,E,γ)不是完全图， 定义λ(G)=min{|E1|| E1是G的边割集}为G的 边连通度。
显然， λ(G)是为了产生一个不连通图需要删除 的边的最少数目。
4.3 连通图
下面是由惠特尼(H.Whitney)于1932年得到的 关于结点连通度、边连通度和最小度的不等式联 系的定理： 定理4.3.1： 对任一无向图G=(V,E,γ)， k(G)≤λ(G)≤δ(G)
称E1是G的一个边割集。若某个边构成一个边割集，则
称该结点为割边或桥。
4.3 连通图
例 试验证下列边集合是否为割集
v1
v5
v2
v3
v7
{( v1 , v2 ), (v3 , v4 )} {( v4 , v5 ), (v5 , v6 )}
v4
v6
{( v6 , v7 )}
{( v5 , v6 ), (v6 , v7 )}
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.3 若无向图G中的任何两个结点都是连通的，则 称G为连通图。规定，平凡图是连通图。
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.3 设G=V,E是图 ⑴V1V且V1≠Ø，E1是G中两个端点都在V1中 的边组成的集合，图G1=V1,E1叫做G的由 V1导出的子图，记为G[V1]。 ⑵E2E且E2≠ Ø ，V2是由E2中的边所关联的 结点组成的集合，图G2=V2,E2叫做G的由 E2导出的子图，记为G[E2]。
v1 e3
e2
v3 e7 v5
v1e2v3 e3v2 e3v3 e4v2 e6v5 e7v3 路 v5e8v4 e5v2 e6v5 e7v3 e4v2 简单路 v4e8v5 e6v2 e1v1 e2v3 初级路