离散数学CH04_图论_路与连通性

4.3.2 有向图的连通性 定义4.3.9 在有向图G中，结点u到结点v存在一条路，则 称结点u到结点v可达。记为u→v。如果u到v可 达且v到u也可达，称结点u和结点v相互可达。 记为u↔v。 规定，G中任何结点v自己到自己可 达，即v↔v。
4.3 连通图
4.3.2 有向图的连通性 定义4.3.10 在简单有向图G中，对于任意两个结点u和v， ⑴如果结点u到结点v可达或结点v到结点u可达，则 称G为单向(侧)连通的。 ⑵如果结点u和结点v互相可达，则称G为强连通的。 ⑶如果略去方向得到的无向图是连通的，则称G为弱 连通的。
如何判断一个图中的割点（关节点）？
4.3 连通图
例 试验证下列结点集合是否为点割集
v1
v5
v2
v3
v7
v4
v6
{v 4 } {v 6 } {v1 , v3 }
{v4 , v5 }
4.3 连通图
例 v 试验证下列结点集合是否为点割集
1
v5
v2
v3
v7
v4
v6
v1
v5
v4
v3
v2
{v 4 } { v } 6 v7 {v1 , v3 }
(G ) = 1
(G ) = 2 (G) = 4
4.3 连通图
定理4.3.2
一个连通无向图G中的结点v是割点存在两个结点u
和w，使得联结u和w的每条路都经过v。 定理4.3.3 一个连通无向图G中的边e是割边,则存在两个结点u 和w，使得联结u与w的每条路都经过e。
4.3 连通图
4.3 连通图
4.3 连通图
定义4.3.4
设G=V,E是无向图， R是V上的连通关系，
V/R={ViVi是R的等价类，i=1,…,k }是V关于 R的商集，G[Vi]是Vi导出的子图，称G[Vi]( i=1,…, k)为G的连通分支。G的连通分支数记为 W(G)。
4.3 连通图
例
非连通图
d f g
4.3 连通图
定义4.3.5
设无向图G=(V,E,γ)是连通图，若有点集V1V，使图G
删除了V1的所有结点后，所得到的子图是不连通的，而 删除了V1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通的， 则称V1是G的一个点割集。若某个结点构成一个点割集 ，则称该结点为割点。
4.3 连通图
4.3 连通图
e=(u,v)仍是桥。此时再删除u或v，就必产生了一个不连
通图，故k(G)≤(G) 由⑴和⑵得k(G)≤(G)≤ (G)
4.3 连通图 例 请求出下图的(G), K(G), (G)
v1
v2
v5
v4
(G) = 2 K(G) = 2 (G ) = 2
4.3 连通图
画出一个<<的无向简单连通图
L2：v1e1v2e3v3
4.2 路和回路
定理4.2.1 在n阶图G中，若从结点vi到vj(vi≠vj)存在一条路， 则必存在长度小于等于n-1的路。
证明： 设L：vie1v1e2v2…ejvj 是G中一条从结点vi到vj长度为L的路，路上有L+1个结点。 若L≤n-1，则定理已证。
4.2 路和回路
例 试验证下列边集合是否为割集 v
1
4.3 连通图
v5
v7
v2
v3
v4
{( v1 , v2 ), (v3 , v4 )} {( v4 , v5 ), (v5 , v6 )}
v 7 {( v , v )} 6 7
v1
v6
v5
v2
v3
v4
v6
{( v5 , v6 ), (v6 , v7 )}
4.3 连通图
v1 e3
e2
v3 e7 v5
v1e2v3 e3v2 e3v3 e4v2 e6v5 e7v3 路 v5e8v4 e5v2 e6v5 e7v3 e4v2 简单路 v4e8v5 e6v2 e1v1 e2v3 初级路
e4
e6 e8
Fra Baidu bibliotek
v2e1v1 e2v3e7v5e6v2 圈（初级回路）
L1：v5e8v4e5v2e6v5e7v3
4.3 连通图
对资源的请求可能发生冲突。如程序A控制着资源r1， 请求资源r2；但程序B控制着资源r2，请求资源r1。这 种情况称为处于死锁状态。然而冲突的请求必须解决， 资源分配图有助发现和纠正死锁。 假设某一程序对一些资源的请求，在该程序运行完之前 必须都得到满足。在请求的时间里，被请求的资源是不 能利用的，程序控制着可利用的资源，但对不可利用的 资源则必须等待。
否则，L＞n-1，此时，L+1＞n，即路L上的结点数L+1 大于图G中的结点数n，此路上必有相同结点。设vk和 vs相同。于是，此路两次通过同一个结点vk(vs)，所以 在L上存在vs到自身的回路Cks。在L上删除Cks上的一 切边和除vs以外的一切结点，得路L1： vie1v1…ekvs…ejvj。L1仍为从结点vi到vj的路，且长度 至少比L减少1。若路L1的长度小于等于n-1，则定理已 证。否则，重复上述过程。由于G有n个结点，经过有 限步后，必得到从vi到vj长度小于等于n-1的路。
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.1 在无向图G中，如果结点u和结点v之间存在 一条路，则称结点u和结点v连通。记为u～v 。规定，G中任意结点v和自身连通，即v～v 。 在无向图中，如果结点u和结点v连通，即u～ v，那么，结点v和结点u连通，即v～u。所以 ，无向图结点间的连通是对称的。
在简单图中没有平行边和环， 路L:v0e1v1e2v2…envn完全由它的结点序列 v0v1v2… vn确定。 所以，在简单图中的路可以用结点序列表示。
4.2 路和回路
定义4.2.2 设G=V,E是图，L是从 v0到vn的路。 若v0=vn，则称L为回路。
若L中所有边各异，则称L为简单路。
称E1是G的一个边割集。若某个边构成一个边割集，则
称该结点为割边或桥。
4.3 连通图
例 试验证下列边集合是否为割集
v1
v5
v2
v3
v7
{( v1 , v2 ), (v3 , v4 )} {( v4 , v5 ), (v5 , v6 )}
v4
v6
{( v6 , v7 )}
{( v5 , v6 ), (v6 , v7 )}
4.3 连通图
证明：
⑴如果G是不连通的，由点连通度和边连通度的定义有
k(G)=(G)=0， 所以 k(G)≤(G)≤ (G)
4.3 连通图
⑵如果G是连通图。 ①先证明(G)≤ (G) 如果G是平凡图，(G)=0≤(G)，即(G)≤ (G)，如果 G是非平凡图，设n=(G)=mindeg(v)|vV，则存在 G的一个结点v，它关联了n条边，而其它结点关联的边 数大于等于n，将v关联的这n条边删除，G成为不连通 的。从而这n条边或这n条边中的几条边组成一个边割集 ，即存在一个边割集的基数小于等于n，所以 min{|E 1| | E 1是G的边割集}≤n=min{deg(v) | vV }，即 (G)≤ (G)
4.3 连通图
【例】在一次国际会议中，由七人组成的小组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会 英语、阿拉伯语；b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会日语 、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f会日语、俄语；g会英语、法 语和德语。问：他们中间任何二人是否均可对话（必要时可通过别 人翻译）？
a b c e
离散数学
Discrete Mathematics
第 4章 图 论
计算机与信息工程学院
内容提要
4.1 4.2 4.3
图的基本概念 路和回路 连通图
4.4
图的矩阵表示
内容提要
4.5 4.6 4.7
欧拉图和哈密顿图 树 二部图及匹配
4.8
平面图
4.2 路和回路
定义4.2.1 设G=V,E是图，G中的结点与边
{v4 , v5 }
v6

4.3 连通图
定义4.3.6 设无向图G=(V,E,γ)不是完全图， 定义k(G)=min{|V1|| V1是G的点割集}为G的 点连通度（或连通度）。 显然，k(G)是为了产生一个不连通图需要删除的 点的最少数目。
4.3 连通图
定义4.3.7 设无向图G=(V,E,γ)是连通图，若有边集E1E，使图G 删除了E1的所有边后，所得到的子图是不连通的，而删 除了E1的任何真子集后，所得到的子图仍是连通的，则
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.3 若无向图G中的任何两个结点都是连通的，则 称G为连通图。规定，平凡图是连通图。
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.3 设G=V,E是图 ⑴V1V且V1≠Ø，E1是G中两个端点都在V1中 的边组成的集合，图G1=V1,E1叫做G的由 V1导出的子图，记为G[V1]。 ⑵E2E且E2≠ Ø ，V2是由E2中的边所关联的 结点组成的集合，图G2=V2,E2叫做G的由 E2导出的子图，记为G[E2]。
②再证k(G)≤(G)
设(G)=1，G有一条割边，此边的任一端点是割点， k(G)=1。所以k(G)≤(G)成立。
4.3 连通图
设(G)≥2，则可删除某(G)条边，使G成为不连通的，
而删除其中的(G)–1条边，它仍然是连通的且有一个
桥，设该桥为e=(u,v)。对这(G)–1条边选取一个不同 于u，也不同于v的端点，把这些端点删除，则必至少删 除了这(G)–1条边。若这样产生的图是不连通的，则 k(G)≤(G)–1≤(G)。若这样产生的图是连通的，则
的交替序列L：v0e1v1e2v2…envn叫做v0到vn的
路。其中vi-1与vi是ei的端点，i=1,…,n。
v0和vn分别叫做路L的始点和终点。
路L中边的条数叫做该路的长度。
4.2 路和回路
例如， L1：v5e8v4e5v2e6v5e7v3 是从v5到v3的路，v5 是始点，v3是终点，长度为4。 L2：v1e1v2e3v3 是从v1到v3的路，v1是始点， v3是终点，长度为2。
4.2 路和回路
推论:在n阶图G中，若从结点vi到vj(vi≠vj)存 在路，则必存在长度小于等于n-1的初级路。
由定理4.2.1的证明过程知，本推论成立。
类似的可证明下列定理和推论。
4.2 路和回路
定理4.2.2 在n阶图G中，若存在结点vi到自身的回路， 则必存在vi到自身长度小于等于n的回路。 推论 在n阶图G中，若存在结点vi到自身的简单回 路，则必存在vi到自身长度小于等于n的初级 回路。
若此时又有v0=vn，则称L为简单回路。 若L中所有结点各异，则称L为基本路。 若此时又有v0=vn，则称L为基本回路。 若L既是简单路，又是基本路，则称L为初级路。 若此时又有v0=vn，则称L为初级回路,又称圈。
4.2 路和回路
在图中，L1是一条简单路。L2是一条简单路、基本路、初级路。
e1
v2 e5 v4
定义4.3.8
设无向图G=(V,E,γ)不是完全图， 定义λ(G)=min{|E1|| E1是G的边割集}为G的 边连通度。
显然， λ(G)是为了产生一个不连通图需要删除 的边的最少数目。
4.3 连通图
下面是由惠特尼(H.Whitney)于1932年得到的 关于结点连通度、边连通度和最小度的不等式联 系的定理： 定理4.3.1： 对任一无向图G=(V,E,γ)， k(G)≤λ(G)≤δ(G)
4.3 连通图
4.3.1无向连通图 定义4.3.2 设G=V,E是无向图，在图G的结点集V上建 立一个二元关系R： R={u,v | uV∧vV∧u和v连通} R叫做无向图G的结点集V上的连通关系。 因为R是自反的、对称的、传递的，所以R是V 上的等价关系。无向图G的结点集V上的连通关 系是等价关系。
三个连通分支
非连通图
两个连通分支
4.3 连通图
定义4.3.4 每一个连通分支中任何两个结点是连通的，而 位于不同连通分支中的任何两个结点是不连通 的。即每一个连通分支都是原图的最大的连通 子图。 显然，G是连通图，当且仅当W(G) =1。
4.3 连通图
【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二顶点 必连通。 证明: 用反证法来证明。 设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通分支 ，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一个奇度 数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理推论矛盾 ，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则二顶点必连 通。
4.3 连通图
例
v1
强连通图
v4
v1
v2
v 4 v1
v3
v4
单向连通图
连通图
v2
v3 v 2
v3
4.3 连通图
下面给出简单有向图的一个应用——资源分配图。 在多道程序的计算机系统中，可以同时执行多个程序。 实际上，程序共享计算机系统中的资源，如磁带机、磁 盘设备、CPU、主存贮器和编译程序等。操作系统对这 些资源负责分配给各个程序。当一个程序要求使用某种 资源，它要发出请求，操作系统必须保证这一请求得到 满足。