初中数学竞赛第二十五讲辅助圆(含答案)

合集下载

初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题

初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。

辅助圆问题

辅助圆问题1.点A、B、C均在半径为R的⊙O上．问题探究(1)如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；(2)如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sin A；问题解决(3)假设定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN ＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，假设是，求出P A的长度；假设不是，请说明理由．第1题图(1)解：∵点A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，又∵OB ＝OC ＝1，∴BC ＝ 2 ；(2)证明：如解图①，作直径CE ，连接EB ，那么∠E ＝∠A ，CE ＝2R ，∴∠EBC ＝90°，∴sin A ＝sin E ＝BC EC ＝BC 2R ，∴BC ＝2R ·sin A;图① 图②第1题解图 (3)解：如解图②，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，在Rt △APC 中，CK ＝12AP ＝AK ＝PK ，同理可得：BK ＝AK ＝PK ，∴CK ＝BK ＝AK ＝PK ，∴点A 、B 、P 、C 都在以K 为圆心，以AK 长为半径的⊙K上，由(2)可知sin 60°＝BC AP ，∴AP ＝2sin60°＝433为定值，故线段BC 在整个滑动过程中，P 、A 两点之间的距离是定值，P A 的长度为433.2. 问题探究(1)如图①，四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，∠B ＝∠D ＝90°，求：①对角线BD 长度的最大值；②四边形ABCD 的最大面积；(用含有a ，b 的代数式表示)问题解决(2)如图②，四边形ABCD 是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB ＝20 cm ，BC ＝30 cm ，∠B ＝120°，∠A ＋∠C ＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．(结果保存根号)第2题图解：(1)①∵∠B ＝∠D ＝90°，∴四边形ABCD 是圆内接四边形，AC 为圆的直径， ∴BD 的最大值为AC ，此时BD ＝AC ＝a 2＋b 2；②连接AC ，那么AC 2＝AB 2＋BC 2＝a 2＋b 2＝AD 2＋CD 2，S △ACD ＝12AD ·CD ≤14(AD 2＋CD 2)＝14(a 2＋b 2)．又∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12ab ，∴四边形ABCD 的最大面积为14(a 2＋b 2)＋12ab ＝14(a ＋b )2；(2)如解图，连接AC ，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，∵AB ＝20，∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°， ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·sin 60°＝103，EB ＝AB ·cos 60°＝10，S △ABC ＝12AE ·BC ＝150 3.∵BC ＝30，∴EC ＝EB ＋BC ＝40，AC ＝AE 2＋EC 2＝1019， ∵∠ABC ＝120°，∠BAD ＋∠BCD ＝195°，∴∠D ＝45°，那么△ACD中，D为定角，对边AC为定边，∴点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交⊙O于点D′，交AC于点F，FD′即为所求最大值，第2题解图连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC，∴△AOF为等腰直角三角形，AO＝OD′＝2·(AC2)＝538，OF＝AF＝AC2＝519，D′F＝OD′＋OF＝538＋519，S△ACD′＝12AC·D′F＝12×1019×(538＋519)＝475＋4752，∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝1503＋475＋475 2.3.问题探究(1)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，作高AD ，那么△ABC 的面积为________；(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在对角线AC 上，且CP ＝CB ，求△PBC 的面积；问题解决(3)如图③，△ABC 是一块商业用地，其中∠B ＝90°，AB ＝ 30米，BC ＝ 40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC 扩充为四边形ABCD ，使∠D ＝ 90°，是否存在面积最大的四边形ABCD ？假设存在，求出四边形ABCD 的最大面积；假设不存在，请说明理由．第3题图解：(1)12；【解法提示】如解图①，在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD ＝12BC＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×4＝12.图① 图②第3题解图(2)如解图②，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为E ，那么PE ∥AB ， ∴△CPE ∽△CAB ，∴CP CA ＝PE AB ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴45＝PE 3，∴PE ＝125，∴S △PBC ＝12BC ·PE ＝12×4×125＝245；(3)存在．如解图③，作△ABC 的外接圆⊙O ，第3题解图③∵∠ABC ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，又∵∠ADC ＝90°，∴点D 在⊙O 上，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝30，BC ＝40，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝302＋402＝50，连接OD ，那么OD ＝12AC ＝25，过点D 作DN ⊥AC ，垂足为N ，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×30×40＝600，∴只要S △ACD 最大，那么S 四边形ABCD 最大，又∵S △ACD ＝12AC ·DN ，而DN ≤DO ＝25，∴当DN ＝25时，S △ACD 最大，即12×50×25＝625，∴四边形ABCD 的最大面积为：600＋625＝1225(平方米)．4. 问题探究(1)如图①，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ＝a ，∠BAC ＝120°，那么△ABC 的面积为________(用含a 的代数式表示)；(2)如图②，△AOD 与△BOC 为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O 重合，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝a .假设△AOD 与△BOC 不重合，连接AB 、CD ，求四边形ABCD 面积的最大值；问题解决(3)如图③，点O 为电视台所在位置，现要在距离电视台5 km 的地方修建四个电视信号中转站，分别记为A 、B 、C 、D .假设要使OB 与OC 夹角为150°，OA 与OD 夹角为90°(∠AOD 与∠BOC 不重合且点O 、A 、B 、C 、D 在同一平面内)，那么符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．第4题图解：(1)34a 2；【解法提示】如解图①，过点B 作AC 的垂线交CA 的延长线于点D ，第4题解图① 在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝a ，那么BD ＝32a ， ∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12a ·32a ＝34a 2.(2)如解图②，分别过点A 、D 作BO 、CO 的垂线交BO 的延长线于点E ，交CO 于点F ，第4题解图②∵△AOD 与△BOC 均为等腰直角三角形，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝a ，∴S △AOD ＝12a 2，S △BOC ＝12a 2，令∠AOB ＝α，∠COD ＝β，那么S △AOB ＝12a ·a sin α，S △COD ＝12a ·a sin β，∴S △AOB ＋S △COD ＝12a 2(sin α＋sin β)，∵∠AOB ＋∠COD ＝180°，∴α＝90°，β＝90°，即∠AOB ＝90°，∠COD ＝90°时，△AOB 与△COD 面积最大，即此时四边形ABCD 面积最大，此时，S △AOB ＝12a 2，S △COD ＝12a 2，∴S 四边形ABCD 最大＝12a 2＋12a 2＋12a 2＋12a 2＝2a 2；(3)有最大值，理由如下：∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝5 km ，那么A 、B 、C 、D 四点在以O 为圆心，5 km 为半径的圆上，如解图③，将△DOC 绕O 点顺时针旋转150°至△D ′OB 位置．连接AD ′，设OB 与AD ′交于点E ，第4题解图③∵△AOD 与△BOC 面积是定值，∴求S 四边形ABD ′O 最大即可．∠AOD ′＝360°－150°－90°＝120°，过O 作OM ⊥AD ′于点M ，过B 作BN ⊥AD ′于点N ，在△OAM 中，∠AOM ＝60°，∴OM ＝52，AM ＝532，AD ′＝53，令∠MEO ＝∠NEB ＝α，∴S 四边形ABD ′O ＝S △AOD ′＋S △ABD ′＝12AD ′·OM ＋12AD ′·BN ＝12AD′·[OE·sinα＋(5－OE)·sinα]＝12AD′·5sinα＝12×53×5sinα＝2523sinα，当α＝90°时，sinα＝1，此时四边形ABD′O面积最大，∴S四边形ABD′O max＝2532，即四边形ABCD的最大面积为12×5×5＋12×5×5×12＋2532＝75＋5034.。

部编数学九年级上册专题24定点定长构造辅助圆(解析版)含答案

专题24 定点定长构造辅助圆1．如图，已知AB AC AD==，2CBD BDCÐ=Ð，44BACÐ=°，则CADÐ的度数为( )A．68°B．88°C．90°D．112°【解答】解：如图，AB AC AD==Q，\点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；2CBD BDCÐ=ÐQ，2CAD CBDÐ=Ð，2BAC BDCÐ=Ð，2CAD BAC\Ð=Ð，而44BACÐ=°，88CAD\Ð=°，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，AB AC AD==，50BACÐ=°则BDCÐ的大小是( )A．30°B．75°C．15°D．25°【解答】解：由AB AC AD==，50BACÐ=°，则可添加辅助圆，\有1252BDC BACÐ=Ð=°，故选：D．3．如图，在矩形ABCD 中，已知3AB =，4BC =，点P 是BC 边上一动点（点P 不与B ，C 重合），连接AP ，作点B 关于直线AP 的对称点M ，则线段MC 的最小值为( )A ．2B ．52C ．3D 【解答】解：连接AM ，Q 点B 和M 关于AP 对称，3AB AM \==，M \在以A 圆心，3为半径的圆上，\当A ，M ，C 三点共线时，CM 最短，5AC ==Q ，3AM AB ==，532CM \=-=，故选：A ．4．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE AB ^，2AF AE =，FC 交BD 于O ，则DOC Ð的度数为( )A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．54°【解答】解：如图，连接DF 、BF ．FE AB ^Q ，AE EB =，FA FB \=，2AF AE =Q ，AF AB FB \==，AFB \D 是等边三角形，AF AD AB ==Q ，\点A 是DBF D 的外接圆的圆心，1302FDB FAB \Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是正方形，AD BC \=，90DAB ABC Ð=Ð=°，45ADB DBC Ð=Ð=°，FAD FBC \Ð=Ð，FAD FBC \D @D ，15ADF FCB \Ð=Ð=°，60DOC OBC OCB \Ð=Ð+Ð=°．解法二：连接BF ．易知15FCB Ð=°，451560DOC OBC FCB Ð=Ð+Ð=°+°=°故选：A ．5．如图，已知等边ABC D 的边长为8，以AB 为直径的圆交BC 于点F ．以C 为圆心，CF 长为半径作图，D 是C e 上一动点，E 为BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为( )A ．B ．C ．2D ．12【解答】解：点D 在C e 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则AE 过F ，连接CD ，ABC D Q 是等边三角形，AB 是直径，EF BC \^，F \是BC 的中点，E Q 为BD 的中点，EF \为BCD D 的中位线，//CD EF \，CD BC \^，8BC =，4CD =，故BD ===，故选：B ．二．填空题（共6小题）6．如图，点A ，B 的坐标分别为(4,0)A ，(0,4)B ，C 为坐标平面内一点，2BC =，点M 为线段AC的中点，连接OM ，OM 的最大值为 1+　．【解答】解：C Q 为坐标平面内一点，2BC =，\点C 的运动轨迹是在半径为2的B e 上，如图，取4OD OA ==，连接OD ，Q 点M 为线段AC 的中点，OM \是ACD D 的中位线，12OM CD \=，OM \最大值时，CD 取最大值，此时D 、B 、C 三点共线，此时在Rt OBD D 中，BD ==，2CD \=+，OM \的最大值是1+．故答案为：1+．7．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，且3CAD BAC Ð=Ð，若42DBC Ð=°，则CAD Ð=　84°　，BDC Ð= ．【解答】解：AB AC AD ==Q ，\点B ，C ，D 在以A 为圆心的圆上，42DBC Ð=°Q ，284CAD DBC \Ð=Ð=°，3CAD BAC Ð=ÐQ ，1283BAC CAD \Ð=Ð=°，12BDC BAC Ð=ÐQ ，128142BDC \Ð=´°=°．故答案为：84°，14°．8．如图所示，AB AC AD ==，18DBC Ð=°，则CAD Ð=　36°　．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \、C 、D 三点在以点A 为圆心，以AB 为半径的圆上．18DBC Ð=°Q ，236CAD DBC \Ð=Ð=°．故答案为：36°．9．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，80EAF Ð=°，30CBD Ð=°，则ABC Ð=　40°　，ADC Ð= ．【解答】解：连接AC，AEQ、AF分别是BC、CD的中垂线，\==，AB AC ADB\、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，Q，Ð=°CBD30\Ð=Ð=°，DAC DBC260=，Q，CF DFAF CD^DAF\Ð=°，30\Ð=°，ADC60又803050Q，EACÐ=°-°=°\Ð=Ð=°-°=°．905040ABC ACE故答案为：40°，60°．10．如图，AB AC ADÐ是BDCÐ的k倍，那么DBCÐ的　k　倍．Ð是CAB==，如果DAC【解答】解：AB AC AD==Q，\点B、C、D在以A为圆心的圆上，12BDC CAB \Ð=Ð，12DBC DAC Ð=Ð，DAC k CAB Ð=ÐQ ，222k k DBC CAB BDC k BDC \Ð=Ð=´Ð=Ð，故答案为：k11．如图，矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，P 是直线AB 上的一个动点，2AE =，APE D 沿PE翻折形成FPE D ，连接PF 、EF ，则FC 的最小值是 2　，点F 到线段BC 的最短距离是．【解答】解：连接CE ，作EG BC ^于G ，2AE EF ==Q ，\点F 在以E 为圆心，AE 为半径的圆上运动，在Rt CDE D 中，由勾股定理得，CE ===，FC \的最小值为22CE -=，90DAB ABC BGE Ð=Ð=Ð=°Q ，\四边形ABGE 是矩形，4EG AB \==，\点F 到线段BC 的最短距离是2，故答案为：2-，2．三．解答题（共9小题）12．如图，在ABC D 中，AB AC =，过点B 作BD BC ^，BD BC =，连接AD 交BC 于点F ．E 是CD 的中点，连接AE 交BC 于G ．（1）若AB BD =，求ADC Ð的度数；（2）若4BC BF =，且4AB =，求四边形ABDC 的面积．【解答】解：（1）如图1中，AB AC =Q ，BD BC =，AB BD =，AB BC AC \==，ABC \D 是等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC BD ==Q ，A \、C 、D 三点在B e 上，1302ADC ABC \Ð=Ð=°．（2）如图2中，连接BE ．90DBC Ð=°Q ，DE EC =，BE EC DE \==，AB AC =Q ，AE \垂直平分BC ，BG CG \=，设BG CG a ==，则2BC BD a ==，14BF BC =Q ，BF FG \=，//BD AG Q ，BFD GFA \D D ∽，\1BF BD FG AG==，2BD AG a \==，在Rt ABG D 中，222AB AG BG =+Q ，22164a a \=+，2165a \=，21111642222422225ABCD S BC AG BC BD a a a a a \=××+××=´´+´´==四边形．13．如图，AB AC AD ==，2CBD BDC Ð=Ð，40BAC Ð=°，求CAD Ð的度数．【解答】解：AB AC AD ==Q ，B \，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，2CAD CBD \Ð=Ð，2BAC BDC Ð=Ð，2CBD BDC Ð=ÐQ ，40BAC Ð=°，280CAD BAC \Ð=Ð=°．14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC ==，请利用圆规画出过A 、B ．C 三点的圆．若70AOB Ð=°，则ACB Ð=　35°　．如图，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．（2）已知，如图2．点P 为AC 边的中点，将AC 沿BA 方向平移2个单位长度，点A 、P 、C 的对应点分别为点D 、E 、F ，求四边形BDFC 的面积和BEA Ð的大小．（3）如图3，将AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF ，是否存在这样的a ，使得直线DF 上有一点Q ，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大？若存在，求出四边形BADF 面积的最大值及平移距离a ，若不存在，说明理由．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB Ð=°Q ，35ACB \Ð=°，故答案为35°．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，30BCA Ð=°，2AB =．4AC \=，60BAC Ð=°，BC =．P Q 为Rt ABC D 斜边AC 中点，122BP AC \==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，\四边形ABPE 为菱形，60BAC Ð=°Q ，30BEA \Ð=°，//CF BD Q ，且90ABC Ð=°，\四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC \=+´=´´=，（3）如图所示，当AC 边沿BC 方向平移2个单位至DF 时，满足45BQA Ð=°且此时四边形BADF 的面积最大，此时直角梯形ABFD 的最大面积为，11()22)2422S BF AQ AB =´+´=´+´=+15．在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，BE AC ^，EG 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，求证：BG BF =．【解答】解：连接GF ，取GF 中点O ，连接BO ，EO ，BE AC ^Q ，90AEB BEC \Ð=Ð=°，EG Q 、EF 分别平分AEB Ð和CEB Ð，45GEB FEB \Ð=Ð=°，90GEF \Ð=°，在Rt GBFD中，BO，EO分别是斜边的中线，D和Rt GEF==，BO GO FO\==，EO GO FO\===，BO EO GO FO\、B、F、E四点在以O为圆心，BO为半径的圆上，G\Ð=Ð=°，45BGF BEF\D是等腰直角三角形，GBF\=．GB FB16．如图，在ABCÐ=°，连接BDCBD=，DE垂直平分AC，且30D中，AB AC=；（1）求证：AB ADD是等腰三角形，求ABC（2）设AD交BC于点P，若ABPÐ的度数．【解答】解：（1）证明：作BDCD的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，则有30Ð=Ð=°．DBC DFCDEQ垂直平分AC，\=，AF FC\Ð=Ð=°，30AFE CFE\Ð=°，60AFCAFC\D是等边三角形，\=．AF AC=Q，AB AC\==，AF AC AB\点A为所作圆的圆心，AB AD\=．=，（2）①若PA PB则ABC BAPÐ=Ð．Q，AB AC=\Ð=Ð．ABC ACBQ，260Ð=Ð=°DAC DBC\Ð=Ð+Ð=°+Ð，APB PAC ACB ACB60\Ð=°+Ð．APB ABC60Q，Ð+Ð+Ð=°ABC BAP APB180\Ð+°=°，ABC360180解得：40Ð=°ABC=，②若BA BP同理可得：20ABCÐ=°．=，③AB AP此时P与C重合，则D与E重合，不符合题意，故舍去．综上所述：当ABPD是等腰三角形时，ABCÐ的度数为40°或20°．17．【阅读】辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．性质：如图①，若90Ð=Ð=°，则点D在经过A，B，C三点的圆上．ACB ADB【问题解决】运用上述材料中的信息解决以下问题：（1）如图②，已知DA DB DC==．求证：2ADB ACBÐ=Ð．（2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得90Ð=°．（要求：ACB要有画图痕迹，不用写画法）（3）如图④，在四边形ABCD中，90^，点F在CA的延长线上，连接DF，CADÐ=°，CB DBÐ=Ð．ADF ABD求证：DF是ACDD外接圆的切线．【解答】解：（1）如图②，由DA DB DC==，可知点A，B，C在以D为圆心，DA为半径的圆上．所以，2Ð=Ð．ADB ACB（2）如图③，点1C ，2C 就是所要求作的点．（3）如图④，取CD 的中点O 为圆心，CD 为直径作圆O ，则O e 是ACD D 的外接圆；由90DAC DBC Ð=Ð=°，可得点B 在ACD D 的外接圆上．ACD ABD \Ð=Ð．ADF ABD Ð=ÐQ ，ACD ADF \Ð=Ð．90ACD ADC Ð+Ð=°Q ，90ADF ADC \Ð+Ð=°．90CDF \Ð=°．即CD DF ^．DF \是ACD D 外接圆的切线．18．在Rt ABC D 中，90A Ð=°，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，记直线1BD 与1CE 的交点为P ．（1）如图1，当90a =°时，线段1BD 的长等于　线段1CE 的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当135a =°时，求证：11BD CE =，且11BD CE ^；（3）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【解答】（1）解：90A Ð=°Q ，4AC AB ==，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，2AE AD \==，Q 等腰Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △11AD E ，设旋转角为(0180)a a <°…，\当90a =°时，12AE =，190E AE Ð=°，1BD \==1E C ==故答案为：，；（2）证明：当135a =°时，如图2，Rt Q △11AD E 是由Rt ADE D 绕点A 逆时针旋转135°得到，11AD AE \=，11135D AB E AC Ð=Ð=°，在△1D AB 和△1E AC 中Q 1111AD AE D AB E AC AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，\△1D AB @△1()E AC SAS ，11BD CE \=，且11D BA E CA Ð=Ð，记直线1BD 与AC 交于点F ，BFA CFP \Ð=Ð，90CPF FAB \Ð=Ð=°，11BD CE \^；（3）解：如图3，作PG AB^，交AB 所在直线于点G ，1D Q ，1E 在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当1BD 所在直线与A e 相切时，直线1BD 与1CE 的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形11AD PE 是正方形，12PD =，则1BD ==故30ABP Ð=°，则2PB =+，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：1PG =．19．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为BC 边上的动点，将FCE D 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，求点P 到边AB 距离的最小值．【解答】解：如图，延长FP 交AB 于M ，2FP CF ==Q ，\点P 在以F 为圆心，CF 为半径的圆上运动，当FP AB ^时，点P 到AB 的距离最小，A A Ð=ÐQ ，90AMF C Ð=Ð=°，AMF ACB \D D ∽，\AF FM AB BC=，2CF =Q ，6AC =，8BC =，4AF \=，10AB ==，\4108FM =，3.2FM \=，2PF CF ==Q ，1.2PM \=，\点P 到边AB 距离的最小值为1.2．20．如图，ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，过点C 任作一条直线CD ，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE ，直线AE 交直线CD 于点F ．（1）小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，AEB Ð的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上．AEB \Ð=ACB = °．（2）若2BE =，求CF 的长．（3）线段AE 最大值为；若取BC 的中点M ，则线段MF 的最小值为．【解答】解：（1）AC BC EC ==Q ，A \、B 、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，1452AEB ACB \Ð=Ð=°，故答案为：12，45；（2）由折叠可知，CD 垂直平分BE ，BE CD \^，设CD 、BE 交于点G ，则112GE BG BE ===，90FGE \Ð=°，45AEB Ð=°Q ，1FG GE \==，在Rt CEG D 中，由勾股定理得，CG ==1CF CG FG \=-=-；（3）A Q ，B ，E ，三点在以C 为圆心，以AC 为半径的圆上，\当AE 经过圆心C 时，线段AE 的最大值为28AC =，在Rt ABC D 中，4AC BC ==，90ACB Ð=°，AB \==122BM CM BC ===，45ABC BAC Ð=Ð=°，连接BF ，取AB 的中点O ，连接OF ，如图，CD Q 垂直平分BE ，45AEB Ð=°，BF EF \=，45EBF AEB \Ð=Ð=°，90EFB \Ð=°，90AFB \Ð=°，12OF AB OA OB \====，\点F 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上，90ACB Ð=°Q ，\点C 在O e 上，\当OF 经过点M 时，MF 最短，此时OF BC ^，tan 212OM BM ABC \=×Ð=´=，2MF OF OM \=-=-，即线段MF 的最小值为2，故答案为：8；2．。

贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座第二十五讲整体的方法人教新课标版

我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题．解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用．例题求解【例1】若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式y x z y x 3200020002000+++的值为．(安庆市竞赛题)思路点拨原式=yx z y x 3)(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改造．【例2】若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手．【例3】已知219941+=x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值．思路点拨直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值．【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值．(山东省竞赛题)思路点拨将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行．【例5】已知4×4的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数?思路点拔若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键．注由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧．从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握．学历训练1．如果012=-+x x ，则3223++x x = ． ( “希望杯”邀请赛试题) 2．已知2311222--=-x x ，那么)1()1111(2x x x x x +-÷+--= ． (2001年武汉市中考题)3．已知x 是实数，且满足222322=--+x x x x ，那么x x 22+的值是．(河南省竞赛题)4．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE 且AB=DE ，BC ∥EF 且BC=EF ，AF ∥CD 且AF=CD ，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD=3，则该六边形ABCDEF 的面积是．5．已知251-=a ，251+=b ，则722++b a 的值为( )A ．3 D ．4 C ． 5 D ．6 (2003年杭州市中考题)6．买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )A ．20元B ．25元C ．30元D ．35元(江苏省竞赛题)7．已知a 1，a 2，…a 2002均为正数，且满足M=( a 1+ a 2+…+ a 2001)( a 2+ a 3+…+ a 2001－a 2002)，N ＝(a 1+ a 2+…+ a 2001－a 2002) (a 2+ a 3+…+ a 2001)，则M 与N 之间的关系是( )A ．M>NB ．M<NC ．M ＝ND ．无法确定(2002年绍兴市竞赛题)8．已知5=-b a ，且10=-b c ，则ac bc ab c b a ---++222等于( )A ．105 D ．100 C ．75 D ．50(北京市竞赛题)9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P ，求户的最大值．(江苏省竞赛题)10．如图，CD ∥AF ，∠CDE=∠BAF ，AB ⊥BC ，∠C=124°，∠E=80°，求∠F 的度数．11．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于．( “希望杯”邀请赛试题)12．已知32=+xy x ，22-=+y xy ，则2232y xy x --2= ． (湖北省数学竞赛题) 13．若22+=x ，22-=y ，则66y x +的值是．14．正数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x x x x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x x x x x x ，则x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6z 的值为． (上海市竞赛题)15．已知实数x ，y 满足xy+x+y= 9，2022=+xy y x z ，则22y x +的值为( )A ．6B ．17C ．1D ．6或1716．如图，在四边形ABCD 中，AB=4－2，BC ＝1，CD=3，∠B=135°，∠C ＝90°，则∠D 等于( )A ．60°B ．67．5°C ．75°D ．无法确定 (重庆市竞赛题)17．若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1111--+--b a a b 的值为( ) A －20 B ．2 C ．2或－20 D ．2或2018．设 a 、b 、c 为实数，322π+-=b a x ，622π+-=c b y ，222π+-=a c z ，则x 、y 、z 中至少有一个( )A ．大于零B ．等于零C ．不大于零D ．小于零(全国初中数学竞赛题)19．如图，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5－3，CD=6，求AD 的长．20．如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M ，求M 的最小值并完成你的填图．21．求系数a 、b 、c 间的关系式，使方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222b ax cx a cx bx c bx ax 有实数解．22．有三种物品，每件的价格分别为2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件?(河南省竞赛题)。

新-81.辅助圆

1/45
PDF pdfFactory Pro

∴ ∠CBD = 1 ∠CAD = 38° ， ∠BAC = 2∠BDC = 26° ． 2
【答案】 38° ，26° ．
3. 【中】 P 点在 △ABC 内， PA = PB ， ∠APB = 2∠ACB ， AC 与 BP 交于点 D ，且 PB = 4 ， PD = 3 ，则 AD ⋅ DC = _____________．【解析】 P 是 △ABC 的外心，利用相交弦定理得结果．【答案】7
4. 【中】已知如图，平面直角坐标系中， A、B 在 x 轴上， A(2，0) ， B(8，0) ，点 C 为
y 轴上一动点，当 ∠ACB 最大时， C 点坐标为________．
y
C
OA
Bx
【解析】分别以 O1 (5，4) ， O2 (5，− 4) 为圆心，5 为半径做圆，两圆均与 y 轴相切，
切点为 C1、C2 ，显然对于 y 轴上除两切点外的任意一点 C ，均有 ∠ACB < ∠AC1B 、
E B
A
C
D
F
A．点 P 一定在射线 BE 上 B．点 P 一定在线段 AB 上 C．点 P 可以在射线 AF 上，也可以在线段 AB 上 D．点 P 可以在射线 BE 上，也可以在线段 AB 上
【解析】取 BC 中点 O 及点 O 关于 AC 的对称点 O′ ，分别以 O 、 O′ 为圆心， OC 、 O′C 长度为半径作圆，两圆与直线 EF 有两个交点（如图），一个是点 B ，另外一个是线段 AB 的中点，所以满足条件的 P 点一定在线段 AB 上，应选 B．
E
B(P)
O
P
C
A
D

最值系列之辅助圆

最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O 的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC 交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF 即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，=-==．AE AM EM22（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-辅助圆

初中数学竞赛辅导讲义---辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1．利用圆的定义添补辅助圆；2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )A．6 B．7 C．12 D．16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．思路点拨先作出△ABC的外心O，连PO、OQ，将问题转化为证明角相等．【例4】如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD PC PD PB ．思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为．2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++Λ= ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( )A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k1 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( )A ．3B ．31C ． 32D ．43 7．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心．8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ．求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECH BD BH =9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180-ο．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC +=参考答案。

中考数学复习专题解读——《辅助圆》问题(共19张PPT)

A. 40° B. 35° C. 60° D. 30°
3.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若 ∠CAD=76°，则∠CBD= 度。
4.如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、 B、C、D四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD其对角线AC、 BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、 D四点共圆。（相交弦定理的逆定理）
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
例1.已知：四边形ABCD中, ∠ ABC=∠ ADC=90°, E、 F分别是AC、BD的中点.求证：EF⊥BD.
本题考察知识点比较隐蔽，没有添加辅助线对于学生来讲是一个难点，变式性比较强，图形可变，条件也可以变，施展的平台可以借助于四点共圆来实现更多的变式。
（1）求证：E、H、M、K四点共圆；（2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。
F分别是AC、BD的中点. 求证：∠ABD=∠ACD
练习反馈
1. 锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。能组成四点共圆的组数是（）
A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组
2如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC 的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为 100°、40°，则∠P的度数为（）
解析：证明：连接BE、DE ∠ ∠ ABC=∠ ADC=90°，

中考数学备考课件：辅助圆问题 (共19张PPT)

BM C
∴△ABM≌△BCN(SAS)
∴ BAM CBN
∵ ABP CBN 90o ∴ ABP BAM 90o ∴ APB 90o ∴点 P 在以 AB 为直径的圆上
运动,设圆心为 O,连接 OC 交⊙O 于 P,此时 PC 最小 ∵ AB 4 ∴ OP OB 2
A
D
O
N
P B MC
解:∵ AB AC AD 2
E
∴点 B,C,D 在以点 A 为圆心, 半径为 2 的圆上延长 BA 交 D ⊙A 于 E,连接 DE
∵AB∥CD ∴ EBD BDC
A
B
C
∵ DE DE , BC BC ∴ EAD 2EBD ,
BAC 2BDC
∴ EAD BAC
E
A
B
∴ ED BC 1
小值为 BC sin B 3 3
∴DE 长的最小值为
3 2
PC
3 2
3
3
9 2
.
类型二定点定长模型方法与技巧常见图形中共顶点的多条线段相等,可考虑利用到定点的距离等于定长推导共圆,再利用圆有关性质解决问题.
3.如图,在四边形 ABCD 中, AB AC AD 2 , BC 1,AB∥CD.求 BD 的长.
由勾股定理,得 OC OB2 BC2 2 5
∴ PC OC OP 2 5 2
∴PC 长的最小值为 2 5 2 .
2.如图,在 Rt△ ABC 中, ACB 90o , AB 5,
cos
B
4 5
,⊙A
与边
BC
交于点
C,过
A
作
DE∥BC,
交⊙A 于点 D,E,点 F 在 DC 上,连接 EF,过 A 作

中考数学几何最值模型专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)

辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。

方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。

二、模型本质：两点之间，线段最短。

例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。

2024年中考数学专题提升学案 33 辅助圆问题(含答案)

辅助圆问题一、构造辅助圆方法一定点定长作圆方法归纳条件：如图，在平面内，A为定点，B为动点，且AB长度固定．动点轨迹：动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆(依据的是圆的定义，圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合).推广：在折叠、旋转、对称问题中，有时会利用“定点定长作圆”确定动点的运动轨迹1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，若求∠BAC的度数．第1题图(1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图；(2)计算：∠BAC＝________°.2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△DEC.(1)请在图中画出点A运动到点D过程中点A的轨迹；第2题图(2)计算：点A运动的路径长为________．3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为AB边的中点，点F在AD边上运动，将△AEF沿EF翻折，点A对应点为A′.(1)请在图中画出在点F从A运动到D过程中点A′的轨迹；第3题图(2)计算：点A′运动的路径长为________．方法二定弦定角作圆(含直角对直径)方法归纳条件：如图，在△ABC中，∠C为定角(∠C＝α)，所对的弦AB长度固定．情形1：∠C为直角动点轨迹：如图①，点C在以点O为圆心，AB为直径的圆上运动(不包含点A，B)；图①情形2：∠C为锐角动点轨迹：如图②，点C在以点O为圆心，圆心角为2α的优弧AB上运动(O，C在AB同侧，不包含点A，B)；图②情形3：∠C为钝角动点轨迹：如图③，点C在以O为圆心，圆心角为(360°－2α)的劣弧AB上运动(O，C在AB 异侧，不包含点A，B).图③4. 已知正方形ABCD.(1)如图①，点P为正方形内一动点，若∠BPC＝90°，请在图中画出点P运动时圆的草图；第4题图①(2)如图②，点P为正方形外一动点，若∠BPC＝45°，请在图中画出点P运动时圆的草图；第4题图②(3)如图③，点P为正方形外一动点，若∠BPC＝135°，请在图中画出点P运动时圆的草图．第4题图③方法三四点共圆方法归纳情形1：如图①②，在以A，B，C，D四点构成的四边形中，∠ACB＝∠ADB＝90°.图①图②【结论】点A，B，C，D在以AB为直径的圆上．【依据】直径所对的圆周角为90°.情形2：如图③，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＜90°.图③【结论】点A，B，C，D在同一个圆上．【依据】同弧所对的圆周角相等．5. 如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ADB＝∠ACB＝90°，连接CD，∠ABC＝55°，若求∠CDB的度数．(1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图；第5题图(2)∠CDB＝________°.6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内一点，且∠CDB＝∠A，若求点D所在圆的半径．(1)请在图中画出解题所需辅助圆的草图；第6题图(2)该辅助圆的半径为________．二、利用辅助圆求最值方法一点圆最值方法归纳已知：点E为⊙O上一动点，D为平面内不在⊙O上的一点．计算：DE的最大、最小值．作辅助线：作直线OD交⊙O于两点E′，E″.【结论】DE′即为DE的最小值，DE″即为DE的最大值．【依据】直径是圆中最长的弦．7. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC边上的一点，F为矩形ABCD内一点，且BE＝EF＝1.(1)请在图中画出使得DF值最小的点F的位置；第7题图(2)线段DF的最小值为________．方法二线圆最值方法归纳已知：点Q为⊙O上一动点，直线l在平面内且不与⊙O相切．计算：点Q到直线l距离的最大、最小值．作辅助线：作过点O且垂直于l的直线，交⊙O于Q′，Q″两点，交直线l于点M.【结论】当直线l与⊙O相交时，点Q到直线l距离的最小值为0，最大值为Q″M；当直线l与⊙O相离时，点Q到直线l距离的最小值为Q′M，最大值为Q″M.8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，E是△ABC外一动点(点B，E位于AC异侧)，∠AEC＝120°.(1)请分别在图中画出点E到AB，AC边距离最大的位置时点E1，E2的位置；第8题图(2)点E到AB边的距离最大值为________；点E到AC边的距离最大值为________．9. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BC＝4，P是平面内一点，且∠BPC＝90°.(1)请在图中画出点P到AD距离最小时点P的位置P′；第9题图(2)点P到AD的最小距离为________．基础过关1.如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为()A. 2B. 2C. 4＋22D. 4－22第1题图2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F分别在AB，BC上，P为对角线BD上一动点，PE⊥PF，连接EF，则tan ∠EFP的值为()A. 43 B.34 C.45 D.54第2题图3. 如图，等腰△ABC两腰长为5，底边长为6，以点A为圆心，2为半径作圆，则圆上动点P到BC的距离最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 4第3题图4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，点P为△ABC所在平面内一点，连接AP，CP，AP⊥CP，点D为AB的中点，连接DP，则DP的最大值为__________．第4题图5. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝4，P为AC上一点，且AP＝13AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A的对应点为D，点B的对应点为E，在旋转过程中，PD的最大值为__________．第5题图6. 如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是__________．第6题图7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为__________；DP的最大值为__________．第7题图辅助圆问题1. 解：(1)辅助圆的草图如解图所示； (2)44.第1题解图2. 解：(1)点A 的运动轨迹如解图所示；第2题解图(2)π2 .【解法提示】∵△DEC 是△ABC 绕点C 逆时针旋转30°所得到的，∴∠DCA ＝30°，CD ＝CA ＝3，∴点A 运动的路径长为AD ＝30π×3180 ＝π2 .3. 解：(1)点A ′的运动轨迹如解图所示；(2)如解图，连接ED ，点M 为点F 与点D 重合时，点A 对应的点，由折叠的性质得AD ＝MD ，∠AED ＝∠MED ，点A ′在以点E 为圆心，AE 为半径的圆弧上运动，在Rt △AED 中，∵AE ＝1，AD ＝3 ，∴tan ∠AED ＝ADAE ＝3 ，∴∠AED ＝60°，∴∠AEM ＝120°，当点F从点A 到点D 的运动过程中，点A ′运动的路径长＝120π·1180 ＝2π3.第3题解图4. 解：(1)点P 运动时圆的草图如解图①所示(不包含点B ，C )；第4题解图①(2)点P 运动时圆的草图如解图②所示(不包含点B ，C )；第4题解图②(3)点P 运动时圆的草图如解图③所示(不包含点B ，C ).第4题解图③5. 解：(1)辅助圆的草图如解图所示；(2)35.【解法提示】∵∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∴A ，B ，C ，D 四点共圆．如解图，AB 的中点为O ，以点O 为圆心，AB 长为直径作圆，∴∠CDB ＝∠CAB ，∵∠ABC ＝55°，∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝35°，∴∠CDB ＝35°.第5题解图6. 解：(1)辅助圆的草图如解图所示；(2)52 .【解法提示】如解图，∵∠CDB ＝∠A ，∠ACB ＝90°，∴A ，D ，B ，C 四点共圆，圆心为AB 的中点O ，且AB 为⊙O 的直径，∴点D 在⊙O 的优弧BAC 上运动．∵在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∴该辅助圆的半径为12 AB ＝52.第6题解图7. 解：(1)点F 的位置如解图所示； (2)13 －1.【解法提示】∵四边形ABCD 是矩形，AD ＝2AB ＝4，∴∠C ＝90°，BC ＝4，DC ＝2，∵BE ＝EF ＝1，∴EC ＝3，∴ED ＝EC 2＋CD 2 ＝13 ，∴DF ＝DE －EF ＝13 －1.第7题解图8. 解：(1)点E 1的位置如解图①所示，点E 2的位置如解图②所示；(2)2，1.【解法提示】∵∠ACB ＝90°，∠B ＋∠AEC ＝180°，∴A ，E ，C ，B 四点共圆且AB 为直径，如解图①，取AB 的中点O ，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆，当OE 1⊥AB 时，点E 1到AB 的距离最大，∴OE 1＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，BC ＝2，∴AB ＝4，∴OE 1＝2，∴点E 到AB 边的距离最大值为2；如解图②，当OE 2⊥AC 于点G 时，点E 2到AC 的距离最大，∠AGO ＝∠AGE 2＝90°，∵∠OGA ＝∠ACB ＝90°，∴OG ∥BC ，∴∠AOG ＝60°，∵O 是AB 的中点，∴AG ＝CG ，∴∠CE 2G ＝∠AE 2G ＝60°，∵AG ＝AG ，∴△AGE 2≌△AGO ，∴GE 2＝OG ＝12OE 2＝1，点E 到AC 边的距离最大值为1.图① 图②第8题解图9. 解：(1)点P ′的位置如解图所示；第9题解图 (2)23 －2.【解法提示】∵∠BPC ＝90°，∴点P 在以BC 为直径的圆上运动，如解图，取BC 的中点O ，以点O 为圆心，BC 长为直径作⊙O ，过点O 作OM ⊥AD 于点M ，交⊙O 于点P ′，此时点P 到AD 的距离最小，∵BC ＝4，∴OP ′＝OC ＝12BC ＝2，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠A ＝60°，∴△OCD 是直角三角形，∴OD ＝23 ，∴DP ′＝OD －OP ′＝23 －2，即点P 到AD 的最小距离为23 －2.基础过关1. D 【解析】如解图，连接OA ，OB ，延长OB 交⊙O 于点E .∵四边形ABCD 是正方形，点O 是四边形ABCD 的中心，∴OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴OA 2＋OB 2＝AB 2＝16，解得OB ＝22 (负值已舍去).由题意得，圆上的点到正方形边上的距离最小为BE ，最小值为4－22 .第1题解图2. A 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是矩形，BC ＝8，∴∠ABC ＝90°，AD ＝BC ＝8.∵PE ⊥PF ，∴B ，F ，P ，E 四点共圆，∴∠PFE ＝∠ABD ，∵AB ＝6，∴tan ∠EFP ＝tan ∠ABD ＝AD AB ＝43.第2题解图3. B 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交⊙A 于点P ，此时点P 到BC 的距离最小．∵AB ＝AC ＝5，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝3，∴AH ＝AB 2－BH 2 ＝52－32 ＝4.∵P A ＝2，∴PH ＝AH －AP ＝2，∴圆上动点P 到BC 的距离的最小值为2.第3题解图 4. 22 【解析】如解图，连接CD .∵AP ⊥CP ，∴点P 在以AC 为直径的圆上．∵△ABC 为等腰直角三角形，点D 为AB 的中点，∴∠ADC ＝90°，∴点D 在以AC 为直径的圆上，∴DP 的最大值为圆的直径，∵AC ＝22 ，∴DP 最大值＝AC ＝22 .第4题解图5. 403 【解析】由题意得∠A ＝30°，BC ＝4，∴AC ＝8.∵AP ＝13 AC ，∴AP ＝83，∴CP ＝8－83 ＝163.∵△DEC 是由△ABC 旋转得到的，∴CD ＝AC ＝8，∴点D 在以点C 为圆心，CA 长为半径的圆上运动，∴当P ，C ，D 三点共线时，PD 最大，如解图，点D 运动到点D ′时，此时PD ′＝CP ＋CD ′＝163 ＋8＝403.第5题解图6. 4＋3 【解析】如解图，在Rt △ACB 中，∠BAC ＝30°，CB ＝2，点E 是斜边AB 的中点，∴AB ＝2CB ＝4，CE ＝12AB ＝2＝AE ，AC ＝3 BC ＝23 ，∴∠ECA ＝∠BAC ＝30°.如解图，过点A 作AG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，∴AG ＝12AC ＝3 .又∵在旋转的过程中，点F 在以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆上运动，AF ＝AB ＝4，∴G ，A ，F 三点共线时，点F 到直线CE 的距离的最大，最大值为4＋3 ，∴△CEF 面积的最大值为12CE ×(4＋3 )＝12 ×2×(4＋3 )＝4＋3 .第6题解图7. 10；25 【解析】由题意可得△CDP 的面积等于矩形ABCD 面积的一半，∴△CDP 的面积为12 AB ·AD ＝12×5×4＝10；在Rt △APD 中，PD ＝AD 2＋AP 2 ，∴当AP 最大时，DP 最大．由题意可得点N 在以点D 为圆心，4为半径的圆上运动，当射线CN 与圆相切时，AP 最大，此时C 、N 、M 三点共线，如解图．由题意可得AD ＝ND ，∠MND ＝∠BAD ＝∠B ＝90°，∴∠NDC ＋∠DCN ＝90°，∠DCN ＋∠MCB ＝90°，∴∠NDC ＝∠MCB .∵AD ＝BC ，∴DN ＝BC ，∴△NDC ≌△BCM ，∴CN ＝BM ＝CD 2－DN 2 ＝3，∴AP ＝AB －BP ＝2.在Rt △APD 中，PD ＝AD 2＋AP 2 ＝42＋22 ＝25 .第7题解图。

【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】

第一章圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。

初中数学：辅助圆

辅助圆知识回顾：1，圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于的所有点构成的图形叫做圆。

2，圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的 .推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定 .②半圆（或直径）所对圆周角是，90°的圆周角所对的弦是 .注意：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角有什么关系？是否一定相等？3，圆的内接四边形：①定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的 .②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 .思维发散：当题目中出现圆的定义或相关性质时，那么意味着什么？一、定点定长例1、（1）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 求A′C长度的最小值。

（2）如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为．例2、（1）如下图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是。

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C.在MN上存在一动点P.连接A′P、CP，则△A′PC周长的最小值是_____________.例3、如右上图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,∠A=60∘，AC=6，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是。

例4、已知：如图,在四边形ABCD中,AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，求BD的长。

初中数学竞赛辅导讲义：第25讲辅助圆(含习题解答)

第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．而我们需要的圆并不存在 ( 有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆 )，这就需要我们利用条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：1．利用圆的定义添补辅助圆；2．作三角形的外接圆；3．运用四点共圆的判定方法：(1)假设一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆．(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．(3)假设四边形 ABCD 的对角线相交于 P，且 PA· PC=PB ·PD，那么它的四个顶点共圆．(4)假设四边形 ABCD 的一组对边 AB 、DC 的延长线相交于 P，且 PA·PB＝ PC· PD，那么它的四个顶点共圆．【例题求解】【例 1】如图，直线AB 和 AC 与⊙ O 分别相切于 B 、C，P 为圆上一点， P 到 AB 、AC 的距离分别为4cm、 6cm，那么 P 到 BC 的距离为．思路点拨连 DF ，EF，寻找 PD、PE、PF 之间的关系，证明△ PDF ∽△ PFE，而发现 P、D、B、F 与 P、 E、 C、 F 分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆〞．【例 2】如图，假设PA=PB，∠ APB=2 ∠ ACB ， AC 与 PB 交于点 P，且 PB=4 ，PD=3，那么AD · DC 等于 ()A ．6B． 7C． 12D． 16思路点拨作出以 P 点为圆心、 PA 长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最根本方法．AP=BQ ，【例 3】如图，在△ ABC中，AB=AC，任意延长CA 到 P，再延长 AB 到 Q，使求证：△ ABC 的外心 O 与 A ， P，Q 四点共圆．思路点拨先作出△ ABC 的外心 O，连 PO、 OQ ，将问题转化为证明角相等．【例 4】如图， P 是⊙ O 外一点， PA 切⊙ O 于 A ，PBC 是⊙ O 的割线， AD ⊥ PO 于 D．求证： PB PC ．PD CD思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD与△ PCD相似证明． PA2=PD· PO=PB· PC， B、 C、O、 D 共圆，这样连 OB ，就得多对相似三角形，以此到达证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题效劳．【例 5】如图，在△ ABC 中，高 BE、 CF 相交于 H，且∠ BHC=135 °， G 为△ ABC 内的一点，且 GB=GC ，∠ BGC＝ 3∠ A ，连结 HG ，求证： HG 平分∠ BHF ．思路点拨经计算可得∠A=45 °，△ ABE ，△ BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB= ∠G HF=22.5 °．由∠ BGC=3 ∠ A=135 °=∠ GHC ，得 B、G、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：多直形借助助，常能降低的度，使得解、巧解或新解．学力1．如，正方形 ABCD 的中心O ，面 1989cm 2，P 正方形内一点，且∠ OPB=45 °，PA ： PB=5 ： 14， PB 的．2 ．如，在△ ABC 中， AB=AC=2 ， BC 上有 100 个不同的点P l 、 P 2 ，⋯ P 100 ，m i AP i2BP i P i C 〔 i=1 ， 2，⋯ 100〕， m 1m 2m 100 =．3． △ ABC 三上的高分AD 、 BE 、CF ，且其垂心H 不与任一点重合，由点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、 H 中某四点可以确定的共有()A ．3 个B ． 4 个C ． 5 个D ．6 个4．如， OA=OB=OC ，且∠ AOB= k∠ BOC ， ∠ ACB 是∠ BAC 的 ()A ． 1k 倍B ．是 k 倍C ． 2kD ．12k5．如，在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB=998 ， CD=1001 ， AD=1999 ，点 P 在段AD 上，足条件的∠BPC=90 °的点 P 的个数 ()A ． 0B ．1C ． 2 1D ．不小于 3 的整数6．如， AD 、 BE 是角三角形的两条高， S △ ABC = 18 ，S △ DEC =2 ， COSC 等于 ( )A ． 3B ．1C ．2D ．333 47．如图； H 是△ ABC 三条高的交点，连结 DF ， DE ，EF ，求证： H 是△ DEF 的内心．8．如图，△ ABC 中， AH 是高， AT 是角平分线，且TD ⊥ AB ，TE ⊥AC ．求证： (1)∠ AHD= ∠ AHE ； (2)BHCHBDCE9 ．如图，已知在凸四边形 ABCDE CDE= 180 2 ．求证：∠ BAC= ∠ CAD=中， ∠ ∠ DAKBAE=3 ，， BC=CD=DE，且 ∠ BCD=∠10．如图， P 是⊙ O 外一点， PA 和 PB 是⊙ O 的切线， A ，B 为切点， P O 与 AB 交于点 M ，过 M 任作⊙ O 的弦 CD ．求证：∠ CPO=∠ DPO ．11．如图，点 P 是⊙ O 外一点， PS 、PT 是⊙ O 的两条切线，过点 P 作⊙ O 的割线 PAB ，交⊙ O A 、 B 两点，与 ST 交于点 C ．求证：1 1 ( 1 1 )PC 2 PAPB参考答案。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

2023年初中数学培优竞赛讲座第讲奇数偶数与奇偶分析

第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过度析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．(“希望杯”邀请赛试题)思绪点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人如何才干不反复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简朴的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不反复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人可以不反复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．运用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简朴地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才干一笔画．【例2】假如a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数(2023年TI杯全国初中数学竞赛题)思绪点拨举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明．【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l ，a 2，a 3…，a 9．求证：(a l l 一1)( a 2 —2)…(a 9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20232023，20232023，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完毕所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必然不等于2023．思绪点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不也许一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、 321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n ，求证：n 是4的倍数．思绪点拨可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以反复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思绪点拨为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)可以达成一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰本地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表达，然后运用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否通过若干次这样的翻动，使所有的杯子口都朝下?思绪点拨这不也许．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与本来相同．所以，不管翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子所有朝下，和为7，是奇数，因此，不也许．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2023前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思绪点拨两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+...+2023的奇偶性即可．因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，...，2023中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+...+2023的奇偶性相同，而1+2+3+ (2023)21(1+ 2023)×2023=1003 ×2023为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2023得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表达新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来互换的贺卡的张数总是偶数．”这句话对的吗?试证明你的结论．思绪点拨用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是对的的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来互换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思绪点拨若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应当翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应当翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上．理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，并且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动所有1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币本来朝下的一面都朝上．注：灵活、巧妙地运用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并故意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱顺序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．思绪点拨从反面人手，即设这6个数两两都不相等，运用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数相应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个奇数．另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的．注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 假如它最后到了右岸，情况又是如何呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思绪点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问本来的三个数能否是2、2、2？思绪点拨假如本来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时假如擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．假如擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论如何操作，得到的三个数都是二偶一奇，不也许得到1995、1996、1997．所以，本来的三个数不也许是2、2、2．注解决本题的诀窍在于考察数字变化后的奇偶性．【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2023应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思绪点拨观测表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是对的的，由于2023=8×250，所以2023应在第250行，又由于250为偶数，故2023应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观测、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】(2023年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有也许的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则nm 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思绪点拨依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ．【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能拟定思绪点拨弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20232023是数．2．能不能在下式，的各个方框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?答：．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表达“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．假如a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，假如S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能拟定(第16届江苏省竞赛题)7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?假如有，求出方程的解；假如没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有所有的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有所有的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否拟定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，可以表达成两整数平方差的数的个数是．(全国初中数学联赛试题)11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人记录百这次比赛中所有得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核算，其中有一人记录无误，则这次比赛共有名选手参与．12．已知p、q、pq+1都是质数，且p一q>40，那么满足上述条件的最小质数p＝；q＝．(第15届“希望杯”邀请赛试题)13．设a，b为整数，给出下列4个结论：(1)若a+5b是偶数，则a一3b是偶数；(2)若a十5b是偶数，则a一3b是奇数；(3)若a+5b是奇数，则a一3b是偶数；(4)若a+5b是奇数，则a一3b是奇数其中结论对的的个数是( )．A．0个B．2个C．4个D．1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不反复也不漏掉；下笔后笔不能离开纸) ．A．0 B．1 C ．2 D．3 ( “五羊杯”竞赛题)15．π的前24位数值为3....，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2， (24)则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现规定每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否通过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．(太原市竞赛题)18．对一个正整数作如下操作：假如是偶数则除以2，假如是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求通过9次操作变为l的数有多少个？( “华杯赛”决赛题)19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．(汉城国际数学竞赛题)参考答案。

2023年安徽中考数学总复习专题：辅助圆问题(PDF版,有答案)

2023年安徽中考物理总复习专题：辅助圆问题类型一定点定长（1）利用几个点到定点距离相等构造圆典例1如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．【思路点拨】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【关键点】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．针对训练1．如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（）A．25°B．50°C．60°D．80°（2）翻折产生隐圆典例2如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为．【思路点拨】由已知确定B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△AB'C的面积最大，再求面积即可．解：由对称性可知，PB＝PB'，∴B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，∴AP＝2，在Rt△APH中，PH＝AP•sin60°＝2×32=3，∴B'H＝6+3，∴S△AB'C=12×8×（6+3）＝24+43，故答案为：24+43．【关键点】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，能判断点B'的运动轨迹是解题的关键．针对训练2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（）A．5B．4C．22D．25类型二定角对定弦构造圆（1）定直角对定边典例3已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是直线BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为　．【思路点拨】先证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB＝90°，所以点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题．解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF，BE=CF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD，BC＝2，∴AO＝1＝OP，Rt△OAD中，OD=22+12=5，∴PD＝OD﹣OP=5―1．【关键点】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是得到△ABE≌△BCF．针对训练3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．4．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝10，AC＝8，D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值等于　．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为　226―2　．（2）任意角对定边典例4如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5B．3C．433D．2【思路点拨】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，当O、P、B共线时，PB长度最小，由等边三角形的性质得出AD＝CD=12 AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，求出PD和BD的长，可得PB的长，即可得出答案．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是AC，设AC所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD=12AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD=12∠ABC＝30°，∴PD=32，BD=332，∴PB＝BD﹣PD=332―32=3．故选：B．【关键点】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；作辅助线构建圆是解决问题的关键．针对训练6．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是．7．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（﹣1，0），点C是y轴上一动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为．类型三对角互补构造圆典例5如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．【思路点拨】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．解：如图，连接EB，设OA＝r∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．∴E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，∴弧MN的长度：弧GF的长度=2α×π×r180α×π×2r180=2．故答案为：2．【关键点】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质．针对训练8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（）A．变大B．先变大后变小C．先变小后变大D．不变综合训练1．如图，等边△ABC的边长为3，F为边BC上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长（）A．随点F运动而变化，最小值为94B．随点F运动而变化，最大值为94C．随点F运动而变化，最小值为323D．随点F运动，其值不变2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y 轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（）A．8B．42+4C．43+4D．823．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE 于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（）A．5B．213―2C．6D．25+24．在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为．5．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为．6．如图，∠MON＝90°，直角三角形ABC斜边的端点A，B分别在射线OM，ON上滑动，BC＝1，∠BAC＝30°，连接OC．当AB平分OC时，OC的长为　．7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF 的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是　．9．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．参考答案针对训练1．B【解析】连接BD，并延长AE交BD于点O，∵AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，∴四边形BCDE是菱形，∵∠C＝100°，∴∠BED＝100°，∵EA＝EB＝ED，∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA，∵∠BEO＝∠EAB+∠EBA，∠DEO＝∠EAD+∠EDA，∴∠BED＝2∠BAD，∴∠BAD＝50°．2．B【解析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．∵DE＝3，DD′＝4，∴ED′=DE2+DD′2=5，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4．3．2【解析】∵AB⊥BC，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP ＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，∴OB=12AB＝3，∴OC=OB2+BC2=5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．4．213―4【解析】如图，取AC 的中点O '，连接BO ′、BC ．∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴在点D 移动的过程中，点E 在以AC 为直径的圆上运动，∴CO '=12AC ＝4，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝10，∴BC =AB 2―AC 2=102―82=6，在Rt △BCO ′中，BO ′=BC 2+CO′2=62+42=213，∵O ′E +BE ≥O ′B ，∴当O ′、E 、B 共线时，BE 的值最小，最小值为O ′B ﹣O ′E ＝213―4．5．226―2【解析】连接CE ，取BC 的中点F ，作直径为BC 的⊙F ，连接EF ，AF ，∵BC ＝4，∴CF ＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝10，∴AF =AC 2+CF 2=104=226，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CED ＝∠CEB ＝90°，∴E 点在⊙F 上，∵在D 的运动过程中，AE ≥AF ﹣EF ，且A 、E 、F 三点共线时等号成立，∴当A 、E 、F 三点共线时，AE 取最小值为AF ﹣EF ＝226―2．6．4＜BC ≤833【解析】作△ABC 的外接圆，如图所示，∵∠BAC ＞∠ABC ，AB ＝4，当∠BAC ＝90°时，BC 是直径最长，∵∠C ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴BC ＝2AC ，AB =3AC ＝4，∴AC =433，∴BC =833；当∠BAC ＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC ＝AC ＝AB ＝4，∵∠BAC ＞∠ABC ，∴BC 长的取值范围是4＜BC ≤833．7．（0，2+7）或（0，﹣2―7）【解析】如图，先作等腰直角△PAB ，再以P 点为圆心，PA 为半径作⊙O 交y 轴于C 点，作PD ⊥y 轴于D ，可得P （1，2），PA ＝22，∴PC ＝22，∴CD =(22)2―12=7，∴OC ＝2+7，∴C （0，2+7），同理可得C ′（0，﹣2―7），综上所述，满足条件的C 点坐标为：（0，2+7）或（0，﹣2―7）．8．D 【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO 、AG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，∵EG 是AP 的垂直平分线，∴AG ＝PG ，∠AEG ＝∠AOB ＝90°，∴A 、E 、G 、O 四点共圆，∴∠PAG ＝∠EOB ，∠APG ＝∠PAG ，∴∠EOG ＝∠APG ，∵四边形ABCD是菱形，∴OA ＝OC ，∵AE ＝PE ，∴OE ∥BC ，∴∠EOB ＝∠DBC =12∠ABC ，∵菱形ABCD 固定，∴∠ABC 的度数固定，即∠APG 的度数不变．综合训练1．A 【解析】作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴AG =32AB =332，∵S △ABF +S △ACF ＝S △ABC ，∴12AB •DF +12AC •EF =12BC •AG ，∵AB ＝AC ＝BC ＝3，∴DF +EF ＝AG =332，∵△DEF 中，DE ＜DF +EF ，∴DE 的长随F 点运动而变化，当F 运动到BC 中点时DE 最小值为94（四边形ADFE 四点共圆，当直径AF 最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短，可得结论）．2．B【解析】根据条件可知，∠AOB＝45°，AB＝4，以AB为弦，所对圆周角等于45°作一辅助圆，如图所示，当点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离最大，即“高”最大，而底AB为定值4，所以此时△OAB的面积最大，计辅助圆圆心为G，∠AGB＝90°，AG＝BG＝22，所以点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离为22+2，所以△OAB面积的最大值12×4×（22+2）＝42+4．3．B【解析】如图，取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．由以上作图可知，AF⊥EB于F．PC+PF＝PC'′+EF＝C'F，由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．∵C'B'＝4，OB′＝6，∴C'O=42+62=213，∴C'F＝213―2，∴PC+PF的最小值为213―24．92+9【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=OM2+AM2=32，∴CM＝OC+OM＝32+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．5．2+433【解析】如图所示，延长AC至P，使CB＝CP，则∠P＝∠PBC，∵∠ACB＝∠P+∠PBC＝90°，∴∠P＝60°，作△ABP的外接圆，当AP为△ABP的外接圆的直径时，AP最长，AP＝AC+CP＝AC+CB，则∠ABP＝90°，∴△ABP是直角三角形，∴PB=3 3AB=233，∴AP＝2PB=433，∴△ABC周长的最大值＝AB+AC+BC＝AB+AP＝2+433．6．2或3【解析】①当OA＝OC时，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，AB＝AB，∴△ACB≌△AOB（HL），∴BC＝BO，∴AB垂直平分线段OC，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，∴A，O，B，C四点共圆，∴∠CAB＝∠COB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵AC＝OA=3，∴△AOC 是等边三角形，∴OC＝AC=3．②当四边形AOBC是矩形时，此时AB平分OC，∴OC ＝AB＝2，综上所述，满足条件的OC的值为3或2．7．（10―2）【解析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA=10，MG=12OB=2，AG≥AM﹣MG=10―2，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（10―2）cm．8．33【解析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC=12AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE=12AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∵FT⊥AB，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE ＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE ＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°=33，∴CF的最大值为33．9．【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC＝45°，当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，故答案是：45或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠CDAAE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO=12AB＝1，在Rt△AOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH最小值＝OD﹣OH=5―1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第二十五讲辅助圆
在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决．
而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法有：
1．利用圆的定义添补辅助圆；
2．作三角形的外接圆；
3．运用四点共圆的判定方法：
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．
(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆．
(3)若四边形ABCD的对角线相交于P，且PA·PC=PB·PD，则它的四个顶点共圆．
(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P，且PA·PB＝PC·PD，则它
的四个顶点共圆．
【例题求解】
【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，
P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，
那么P到BC的距离为．
思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关
系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、
C、F分别共圆，突破角是解题的关键．
注：圆具有丰富的性质：
(1)圆的对称性；
(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；
(3)与圆相关的角；
(4)圆中比例线段．
适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．
【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，
且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( )
A．6 B．7 C．12 D．16
思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定
理的应用创设了条件．
注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的
定义添辅助圆的最基本方法．
【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．
思路点拨先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．
【例4】如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割
线，AD ⊥PO 于D ．求证：CD
PC PD PB ．思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD
与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这
样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．
注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方
法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因
为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．
【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，
G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，
求证：HG 平分∠BHF ．
思路点拨经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰
直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°．
由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，
运用圆中角转化灵活的特点证明．
注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．
学历训练
A 组
1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为．
2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记
C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100）
，则10021m m m +++ = ． 3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、
B 、
C 、
D 、
E 、
F 、H 中某四点可以确定的圆共有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( )
A ．k 21倍
B ．是k 倍
C ．k 2
D ．k
1 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2 1
D ．不小于3的整数
6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( )
A ．3
B ．3
1 C ． 3
2 D ．4
3 7．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心．
8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ．
求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CE
CH BD BH .
9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180- ．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，
10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．
11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PB
PA PC +=
参考答案。