拉格朗日定理证明与辅助函数的应用 (1)

参考文献： ［１］陈传璋，金福临，朱学炎．欧阳光中编．数学分析［Ｍ］上海：高等教育出版社。１９８８ Ｅ２］江泽坚，吴智泉，周光亚合编数学分析［Ｍ］北京：人民教育出版社，１９７８ ［３］方企勤编数学分析［Ｍ］北京：高等教育出版社，１９８８． ［４］吴振延编著简明微积分研究［Ｍ］北京：地质出版社，１９８４ Ｅ５］周建莹．李正元编高等数学解题题指南［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００４ ［６］李静主编高等数学解题指导——概念、方法与技巧［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３． Ｆ７］周鸿印，甘以炎，李远聆编．高等数学提要与解题范例［Ｍ］．北京：水利电力出版社，１ ９８４ Ｅｓ］武忠祥主编．历届数学考研试题研究［Ｍ］西安：西安交通大学出版社．２００４ Ｅｇ］刘玉莲，傅沛仁数学分析讲义［Ｍ］北京：高等教育出版社．１９９７． ［１（）］（日）田岛一郎，渡部隆一，宫崎浩著．微分积分［Ｍ］沈阳：辽宁人民出版社，１９８３
Ｆ，（炉掣卿舡ｍ）吖㈨］＝篝……“１） 设辅助函数Ｆ（ｚ）２矿厂（ｚ）和妒（ｚ）＝Ｐ。，由于厂（ｚ）在［＆，６］上连续，在（＆，６）内可导，显然函数Ｆ（Ｔ）和舻（ｚ）在［＆，
６］上连续，在（ｎ，６）内可导，由拉格朗日中值定理，存在ｅ∈（ａ，６），”∈（ａ，６），分别使得：
妒７（ｅ）＝丛哮型，即矿！＝………（２）
厂（｝）Ｊ；ｇ（ｘ）ｄｘ２ ｇ（ｅ）Ｊ。ｆ（ｘ）ｄｘ·
证明：
设辅助函数Ｐ（ｚ）２』２ｆ（ｘ）ｄｘ』，ｇ（ｘ）ｄｘ，则垆（ｚ）在区间［ｄ，６］上连续，在（ｎ，６）内可导，且Ｐ（“）＝妒（６）＝０，由罗尔
定理：３｝∈（ｎ，６），使得妒７（｛）＝０
又妒７（ｚ）２厂（ｚ）Ｊ，ｇ（ｘ）ｄｘ—ｇ（ｚ）Ｊ。ｆ（ｘ）ｄｘ．
！！±！±！！！塾！！±堡±！！二！！二三鱼２１璺！业：１＋Ｉｎ（＋￡） ｎ
其中６＜∈＜ｎ＋ｂ．又对于任意ａ＞Ｏ，有ｎ＞Ｉｎ（１＋ａ），以及ｉｎ（１＋￡）＞ｌｎ（１＋ａ） 由上式得 （１＋ａ＋６）ｌｎ（１＋ａ＋６）一（１—６）ｉｎ（１＋６）＝ａ十ａｌｎ（１＋ｅ）＞Ｉｎ（１＋ａ）＋“Ｉｎ（１＋ａ）＝（１＋ａ）Ｉｎ（１＋ａ）
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—５８２Ｘ（２００６）０５—０１３１～０４
在高等数学中，罗ｇ，Ｓｇ理、拉格朗Ｅｌ定理、柯西定理统称为微分中值定理。现行教科书中·对于拉格朗Ｅｌ定理的证 明又普遍采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗Ｅｌ定理条件的函数，转换成适合罗尔定理的函数的办法。但是各种 教科书所采用的辅助函数往往又有所不同。例如下列各种教科书书使用的辅助函数：
由于厂（Ｔ）和ｇ（ｚ）在［。，６］上存在二阶导数，则ｆ７（ｚ）＝，（ｚ），（ｚ）一ｇ（ｚ）厂（ｚ） 由ｆ（ａ）＝，（６）＝ｇ（ａ）＝ｇ（６）＝０知Ｆ（ｄ）＝Ｆ（６）＝０，由罗尔定理知｜∈∈（ｄ，６）使Ｆ７（∈）
吼器＝勰．证毕．
例２设函数厂（ｚ）在（一ｏｏ，＋。。）上可导，证明：厂（ｚ）的两个相异零点之间一定有函数厂（ｚ）＋厂（ｚ）的零点． 证明：任取定，（ｚ）的两个相异零点ｚ，，ｚ：，即厂（．ｒ，）＝厂（ｚ：）＝０．不妨设ｚｔ＜ｚｚ，要证在区间（ｚ，，ｚ：）内必有函数 ，（ｚ）＋厂（ｚ）的零点．我们不能直接应用罗尔定理，因为，（ｚ）＋厂（ｚ）不是，（ｚ）的导数． 现在构造一个辅助函数Ｆ（上），使得Ｆ（ｚ）与，（￣ｒ）有相同的零点，Ｆ７（ｚ）与，（ｚ）＋ｆ７（ｚ）有相同的零点。设辅助函 数Ｆ（ｚ）＝如，（工），由于，（ｚ）在（一。。，＋∞）上可导，则Ｆ（ｚ）在［ｚ１，ｚ２］上连续，在（ｚ。，３２２）内可导，且Ｆ（ｘ１）＝Ｆ（ｚ２）
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万方数据
＝０。由罗尔定理，存在乎∈（ｚ。，ｚ：）使Ｆ７（拿）＝０，而Ｆ７（ｚ）＝矿（厂（ｚ）＋，，（ｚ）），又对任意实数Ｃ，矿≠ｏ，故由Ｆ７（搴）＝Ｏ 得，（Ｐ）＋ｆ７（∈）＝０，故在（ｚ，，ｚ：）内必有函数，（ｚ）＋ｆ７（ｚ）的零点。证毕．
例３（积分第二中值定理）设函数厂（ｚ），ｇ（ｚ）在区间［ｄ，６］上连续，证明：｜Ｓ∈（＆，６），使得
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万方数据
辅助函数为妒（ｚ）＝，（ｚ）一丛掣３２；当ｃ＝丛掣ｎ时，辅助函数为ｑ。（ｃｃ）＝，（ｚ）一丛掣（ｚ—ｎ）；当ｃ 由此可见，如果妒（￣ｒ）能满足罗尔定理的条件，等式妒７（￡）＝０自然成立，按经验证明ｒ可取任何常数。当ｃ＝０时， ＝』堕荨掣ｄ—ｆ（ａ）时，辅助函数为９（上）＝，（ｚ）一，（口）一丛掣（ｘ－ａ）。
盟善掣：厂，（抄…（１） ‘ Ｄ一日
即掣＝掣…．（２） 又由柯西定理，存在７∈（ｎ，６），使得篆暑｛｛等＝多等
由（１）和（２）得厂（９ ２％芋厂７（矿．证毕．
３．不等式证明中的辅助函数构造
微积分中不等式证明问题是一个十分丰富的领域，不仅内容广泛，而且方法各异，是一个需要认真学习和研究的 领域。这里就微分中值定理的应用和辅助函数的构造在不等式证明进行一些探讨。
例６证明函数／（ｚ）＝（１＋÷）。在区间（ｏ，＋ｏ。）内单调增加。
证明：
，７（Ｔ）＝ｅ“”ｃ·＋｛，］７＝（１＋１）［－１ｎ（１＋ｊ一）一—｛－］．
ｚ
３２
３２十ｌ一
当ｚ＞ｏ时，因为（１＋÷）７＞ｏ，要证，，（ｚ）＞ｏ，只需证ｌｎ（１＋÷）一７ｂ＞ｏ
即ｌｎ（１＋ｚ）一ｌｎｘ＞．南·
设ｇ（－ｒ）＝ｌｎｚ，在［ｚ·１＋ｚ］（ｚ＞（））上用拉格朗日定理，］∈∈（ｚ，１＋ｚ），使得堕等｛专三兰芋＝吉＞丁毛
于是Ｐ７（｝）２厂（｝）ｆｌｇ（ｘ）ｄｘ—ｇ（∈）』。‘ｆ（ｘ）ｄｘ．
即厂（搴）Ｊ（ｘ）ｄｘ２９（车）Ｊ］ｆ（ｘ）ｄｘ．证毕．
２．构造辅助函数，转换为满足拉格朗日定理和柯西定理的函数
例４设厂（Ｔ）在［ａ，６］上连续，在（ｄ，６）内可导，且厂（ｎ）＝，（６）＝１，试证存在｛∈（ｎ，６），７７∈（＆，６）。使 印一。Ｅｆ７（ｒＩ）＋，（ｗ）］２ １ 证明：
即Ｉｎ（１＋÷）＞雨１
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万方数据
故当ｚ＞ｏ时，／’７（ｚ）＞ｏ，函数厂（ｚ）＝（１＋÷）。在区间（ｏ，＋。。）内单调增加，证毕
例７设证明０＜Ⅱ＜６： （１＋ａ）ｌｎ（１＋ａ）＋（１＋６）ｌｎ（１＋６）＜（１＋ａ＋６）１ｎ（１＋ａ＋６）．
证明： 考虑函数 ，（ｚ）＝（１＋Ｔ）ｌｎ（１＋ｚ），６≤ｚ≤ａ＋ｂ． 在区间ａ，ａ＋６］上用拉格朗日定理，得
一ｎ），７（｛）＝ｏ，也即：ｆ７（ｅ）＝丛掣，证毕。 即Ｐ（ａ）＝Ｐ（６）．因此妒（ｚ）满足罗尔定理的三个条件，从而在在（ｎ，６）至少存在一点｛，使Ｐ’（｝）２ ０，即厂（６）一ｆ（ａ）一（６
三、辅助函数的应用 辅助函数在拉格朗日定理的证明中起到了十分关键的作用，可以毫不夸张地说，当我们找到了证明中引用的辅 助函数，问题的解决就有了保障。 在拉格朗日定理的证明中，如何构造辅助函数？构造辅助函数的依据是什么？在上述的辅助函数一般形式的说 明中有所涉及，但是这种方法是否可以推广，成为一种通法呢？显然这种想法是好的，具体在各种问题中又是办不到 的。如何解决这辅助函数构造的问题就成为值得我们深入研究的问题。只要我们面对不同的问题，探求辅助函数构 造的带有内部规律性的东西，还是可以有章可循的。 １．构造辅助函数，转换为满足罗尔定理的函数 例１（１９９６年考研数学题８分）假设函数，（ｚ）和ｇ（ｚ）在［ｎ，６］上存在二阶导数，并且，（ｚ）≠ｏ，，（ｎ）＝，（６）＝ｇ （ａ）＝ｇ（６）＝０试证： （１）在开区间（ｄ，６）内ｇ（ｚ）≠０
移项得（１＋ａ）Ｉｎ（Ｉ＋以）＋（１＋６）Ｉｎ（Ｉ＋６）＜（１＋ａ＋６）Ｉｎ（１＋ａ＋６），证毕． 四、后记 微积分中的辅助函数的引入，往往为使问题的求解提供十分有效的手段。辅助函数的构造，除了具有很强的针
对性外，还必须依据微积分相关的定理。因此，只有不断地分析典型的题目，找出内在规律，对辅助函数的构造方法才 能逐步掌握。
［责任编辑：刘金冷］
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（１）《数学分析讲义》上册（第三版）刘玉琏和傅沛仁编，
Ｐ（ｚ）＝，（ｚ）一』ｉ掣．ｒ （２）《数学分析》上册（第二版）复旦大学数学系陈传璋金福临朱学炎欧阳光中编， 驴（ｚ）＝厂（ｚ）一』！掣（３ｃ－ａ）
如，＝㈣“
妒（ｚ）＝厂（ｚ）一』！掣ｚ＋ｃ
（１）
∞（ｚ）＝［厂（６）一厂（ｄ）］２１２一（６一ｄ）厂（ｚ）＋ｆ
设辅助函数为９（ｚ）＝Ｆｆ（６）一ｆ（ａ）］ｚ一（６一口）厂（ｚ）： （１）由于／Ｃｒ）在［ｎ，６］，故妒（ｚ）也在［日，６］上连续； （２）由于厂（ｚ）在（＆，６），故Ｐ（ｚ）也在（口，６）内可导，且有：驴７（ｚ）一厂（６）一ｆ（ａ）一（ｂ一口）ｆ７（ｚ）； （３）ｐ（６）＝Ｅｆ（６）一，（口）］６一（６一ｄ）厂（６）＝一ｂｆ（ａ）＋ａｆ（ｂ）， 妒（ａ）＝［，（６）一ｆ（ａ）］ｏ一（６一ａ）ｆ（ａ）＝ａｆ（ｂ）一ｂｆ（口），
一Ｊｏｕ—ｒｎａｌ
第８卷第５期
天津职业院校联合学报
２００６年９月
ｏｆ Ｔｉａｎｊｉｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｓ
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