解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点：

1、正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C

===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=

⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩

. 3、解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定

理求a 、b ；

（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用

正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，

由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可

能有多种情况；

（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求

角C 。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边

的形式或角的形式.

5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三

角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S ＝1/2 * absinC

7、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…

8、两内角与其正弦值：在△ABC 中，B

A

B

A sin

sin<

⇔

<，…

【例题】在锐角三角形ABC中，有（ B ）

A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA

C．cosA>sinB且cosBsinA

9、三角形内切圆的半径：

2S

r

a b c

∆

=

++

，特别地，

2

a b c

r

+-

=斜

直

正弦定理

专题：公式的直接应用

1、已知

ABC

△中，a=b=60

B=，那么角A等于（）A．135B．90C．45D．30

2、在△ABC中，a＝3

2，b＝2

2，B＝45°，则A等于（ C ）A．30° B．60° C．60°或120°D． 30°或150°

3、ABC

△的内角A B C

，，的对边分别为a b c

，，，若

120

c b B

===，则a等于（）

A B．2 C D

4、已知△ABC中，30

A=，105

C=，8

b=，则a等于（ B ）

A．

4 B. C.

5、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（ B ）

A．3

10+B．

()1

3

10-C．1

3+D．3

10

6、已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3

1sin =A ，

B b sin 3=，则a 等于 ． （33） 7、△AB

C 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ A ）

A .

12

8、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，

则cos A =（ C ） A .13 B .12 C .3

4

D .0 9、在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。 证明：⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 211sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2222sin sin b

B a A = 2222112cos 2cos b

a b B a A -=-∴ 专题：两边之和

1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b

＝ . （61236-,24612-）

2、已知ABC △

1

，且sin sin A B C +=．

（1）求边AB 的长；

（2）若ABC △的面积为1sin 6

C ，求角C 的度数．

专题：三角形个数

1、△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC

( C )

A.有 一个解

B.有两个解

C.无解

D.

不能确定

2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ B ）

A ．60°

B ．60°或120°

C ．30°或150°

D ．120°

3、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是

（ D ）

A ．b = 10，A = 45°，

B = 70° B ．a = 60，c = 48，B

= 100°

C ．a = 7，b = 5，A = 80°

D ．a = 14，b = 16，A

= 45°

4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ）

A ．a=1,b=2 ,c=3

B ．a=1,b=2 ,∠A=30°

C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°

5、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ B

）

A ．无解

B ．一解

C ． 二解

D ．不能确定

6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为

（ A ）

A ．4

B ．2

C ．1

D ．不定

7、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是