安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高一数学上学期冬季联赛试题
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛数学试题 理(PDF)
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟２０２０年冬季联赛（高二）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第１至第２页，第Ⅱ卷第３至 第４页。全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 考生注意事项：
１．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
２．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
３ ４．．獉题清字答考笔獉卷晰第试描。、Ⅱ结獉草清作卷 束獉稿楚图，时獉纸务。题，獉上必必必可獉答须将须先獉题使试在用獉无用题题铅獉效卷０．号笔。和５所在答毫指答獉题米示题獉卡的的卡獉一黑答规并色定题上墨的区交水位域。签置作字绘答笔出，在超獉，确獉答出獉认獉题答獉后獉卡题獉再獉上区獉用书獉域０写书獉．５，写獉要毫的獉求米答獉字的案獉体黑无獉工色獉效整墨，、在獉水笔试迹签獉
（Ｄ）犳（狓）＝狓１２－狓２
（ ）
第（４）题图
第（７）题图
（５）四边形犃犅犆犇中，犃→犅＋２犆→犇＝０，设犅犆的中点为犕，犃→犅＝犪，犃→犇＝犫，则向量犇犕→＝ （ ）
（ ） （Ａ）３ ４犪－犫 （Ｂ）３ ４犪－１ ２犫 （Ｃ）犪－１ ２犫 （Ｄ）１ ２犪－犫
（ （６７） ）“ （（某φＣＡ几））＝充何充３π分体分＋必由不２要犽必若π条要干（犽件条大∈件小犣相）”同是的“正函方数体犳（组狓合）＝而ｓ成（ （ｉＢＤｎ，））其狓２必既三＋要不视φ不充图充分的均分也图为条不象如件必关图要于所条狓示件＝的３π图形对，称设”该的几何（ 体 的）
∑ ∑ ∑ 犻＝５１狓犻２－５狓－２＝１０，犻＝４１狓犻狔犻＝６６５３，犻＝４１狔犻＝３．３０．
2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高一冬季联赛 数学 PDF版
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安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛文科数学试题(无答案)
绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、管题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂系．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡．上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题．．卡．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试．题卷．．、草稿．．纸上答题无效．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．图中阴影部分所对应的集合是（ ）A ．()UA B ⋃ B ．()()U U A B ⋃ C ．()UA B ⋃ D ．()U A B ⋂2．从50件产品中随机抽取10件进行抽样．利用随机数表抽取样本时，将50件产品按01，02，03……，50进行编号，如果从随机数表的第1行，第6列开始，从左往右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为（ ）70 29 17 12 15 40 33 20 38 26 13 89 51 03 74 17 76 37 13 04 07 74 21 19 30 56 62 18 37 35 A ．03 B ．32 C ．38 D ．10 3．命题“所有的二次函数图象都是轴对称图形”的否定是（ ）A ．所有的轴对称图形都不是二次函数图象B ．所有的二次函数图象都不是轴对称图形C ．有些轴对称图形不是二次函数图象D ．有些二次函数图象不是轴对称图形 4．“3πϕ=”是“函数sin 2xf x ϕ=+（）（）的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合11,,125A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭与1,2,52B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，现分别从集合A ，B 中各任取一数a ，b ，则lg 1a gb +为整数的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ． 496．已知函数y f x =（）的图象如图所示，则f x （）的解析式可以为（ ）A ．tan f x x =-（）B ．31f x x x=-（） C ．1sin f x x =（） D ．221f x x x=-（）7．某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数()2sin xx xe f x x k e e -=+++的图象关于点01（，）对称，则实数k 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．直线10x my m R +-=∈（）与圆22420x y x y +-+=相交于A ，B 两点，则AB 弦长的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．4 10．某圆锥的侧面积是底面积的a 倍，则圆锥的高为其底面半径的（ ） A ．2a倍 B ．a 倍 C ．1a -倍 D ．21a -倍 11．卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76；123…，即1213L L ==，，且21n n n L L L n N *++=+∈（）．则卢卡斯数列{}n L 的第2020项除以4的余数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（在此卷上答题无效）绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）数学（文科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13．若x ，y 满足约束条件2403010x y x x y y +≥-⎧-≤⎪⎨⎪+-≥⎩，则5z x y =+的最小值为_________．14．非零向量a b ，满足6a b =，且3b a b ⊥-（），则向量a b ，的夹角大小为_________．15．已知ABC 中，tan sin cos A B B ，，成公比为43的等比数列，则tan C 的值为_________． 16．已知四面体ABCD 的所有棱长均为6，过D 作平面α使得//BC α，且棱AB AC ，分别与平面α交于点E ，F ，若异面直线DE BC ，7，则AE 的长为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）某市为促进青少年运动，从2010年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数据．（1）根据表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.36y x a =+，求表中数据5y ．并求出线性回归方程； （2）预测该市2020年篮球场的个数（精确到个）．附：可能用到的数据与公式：55152211,10080i ii i i ii x y nx ya yb x b x xnx ===-=-⋅=⋅=-∑∑∑55422111510,6653, 3.30ii i i i i i xx x y y ===-===∑∑∑．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．点(),n n S 在函数222x xy =+的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}1nn n a b ⋅⋅（-）的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点P ，sin sin PA BAC PC ACB ⋅∠=⋅∠ （1）求证：sin sin ABD CBD ∠=∠；（2）若120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，33BC CD ==，求AB ．20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，M 为PC 的中点． （1）求证：MB AC ⊥；（2）若45PBA ∠=︒，求点P 到面MAB 的距离．21.（本小题满分12分）本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因素，该手机全球每日的销售量y （单位：万台）与销售单价x （单位：千元/台，48x <≤），当46x <≤时，满足关系式64ny m x x =-+-（）（m ，n 为常数），当68x <≤时，满足关系式20200y x =-+．已知当销售价格为5千元/台时，全球每日可售出该手机70万台，当销售价格定为6千元/台时，全球每日可售出该手机80万台． （1）求m ，n 的值，并求出该手机公司每日销售量的最小值；（2）若该手机的成本为4000元/台，试确定销售价格x 为何值时，该手机公司每日销售手机所获利润最大． 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为圆22:8120C x y x +-+=上的动点，线段OP 中点M 的轨迹记为曲线Γ （1）求曲线Γ的方程；（2）已知动点Q 在y 轴上，直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点．求证：若直线QA QB ，均与曲线Γ相切，则直线l 恒过定点．。
2021冬赛高一数学参考答案
p2 pq q2 1 ．又 p2 q2 2 pq ，即 pq p2 q2 ，所以 1 p2 pq q2 p2 q2 p2 q2 ，
2
2
即 p2 q2 2 ，当且仅当 p q 1 时等号成立，故 f (2) 的最大值为 2．
6.【答案】D
【解析】考查函数的概念，即对于任一自变量 x 有唯一的 y 与之相对应．对 x 取特殊值，通
过举反例排除即可．对于选项 A：当 x 1 与 x 1 时，此时 x2 1 ，但是对应的函数值 f (1)
是不同的两个值；对于选项 B：当 x 0 与 x 2 时，此时 x2 2x 0 ，但是对应的函数值 f (0)
是不同的两个值；对于 C：令 t x2 1 ，当 x 1 与 x 1 时，此时 t 2 ，但是对应的函数
log4
x1) ，
B(x2 , log4 x2 ) ．过原点 O 的直线交 y log4 x 的图像，于 A，B 两点，且 CA∥BD∥y 轴，
所以△OAM∽△OBN，所以 AM BN ，即 log4 x1 log4 x2 ．所以 log2 x1 log2 x2 ，
OM ON
x1
x2
2 x1
（2） x1, x2 R 且 x1 x2
f (x1 ) f (x2 ) x12 1 x1 1 ( x22 1 x2 1)
( x12 1 x22 1) (x1 x2 )
(x12 1) x12 1
(x22 1) x22 1
( x1
x2 )
(x1 x2 )(
9.【答案】ABC
【解析】不等式 f (x) e2 的解集为 (2, 2) ．
10.【答案】BCD
【解析】x log2 3 log2
8
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高一上学期冬季联赛英语
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高一上学期冬季联赛英语绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高一）英语本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0. 5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指未的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结?東,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷（选择题共100分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1. 5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下—小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where will the woman go this afternoon?A. To the hospital.B. To the park.C. To the farm.2. What will the speakers do?A. Buy some tickets.B. See a film.C. Check the phone.3. How often does the man visit his parents?A. Once a week.B. Twice a week.C. Twice a month.4.How does the man feel about his trip to Rome?A. Dangerous.B. Boring.C. Helpful.5. What are the speakers mainly talking about?A. A party.B. A picture.C. A city.第二节（共15小题;每小题1. 5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学(文)试题(含解析版答案)
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}2A x x x =<，{}210B x x =-≤，则()UAB 等于（ ）．A ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】分别解出不等式,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再根据集合的补集、交集定义求解即可 【详解】由题,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭, 则U1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,所以()1|12UA B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭故选：D 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解不等式2．如图，选自我国古代数学名著《周髀算经》．图中大正方形边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形（阴影部分），直角三角形较长的直角边长为4．若将一质点随机投入大正方形中，则质点落在阴影部分的概率是（ ）．A ．125B ．225C ．325D ．425【答案】A【解析】由勾股定理,可得阴影部分,即小正方形的边长为1,所求即为小正方形与大正方形的面积比【详解】由题,大正方形边长为5,直角三角形较长的直角边长为4,根据勾股定理可得直角三角形较短的直角边长为3,则阴影部分,即小正方形边长为431-=,根据面积型的几何概型公式计算可得,质点落在阴影部分的概率为1115525P ⨯==⨯ 故选：A 【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率公式的应用,属于基础题 3．设sin 2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )A B ．C ．3D ．-【答案】A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4．下列命题正确的是（ ）．A ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题B ．a b >是ln ln a b >的充分不必要条件C ．命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠” 的逆否命题为真命题D ．命题“0x R ∃∈，060x +<”的否定是“0x R ∀∉，060x +≥” 【答案】C【解析】由逻辑联结词的性质判断A 选项；由不等式的性质判断B 选项；由原命题判断逆否命题的真假来判断C 选项；由存在性命题的否定的定义来判断D 选项 【详解】对于选项A,若p q ∧为假,则p ,q 中有一个是假命题即可,故A 错误；对于选项B,当0a b >>时,无法推出ln ln a b >,故a b >不是ln ln a b >的充分条件,故B 错误；对于选项C,命题“若cos cos αβ≠,则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=,则cos cos αβ=”,该命题正确,故C 正确；对于选项D,命题“0x R ∃∈,060x +<”的否定是“,60x R x ∀∈+≥”,故D 错误 故选：C 【点睛】本题考查命题真假的判定,考查对逻辑联结词,充分不必要条件,逆否命题,存在性命题的否定的理解5．已知函数()1108101x xf x ++=+，则()()()()3336log log 6log log 3f f +的值为（ ）． A ．7 B ．9C ．14D ．18【答案】D【解析】因为631log 3log 6=,原式可整理为()()()()3333log log 6log log 6f f +-,分析()f x 的性质可得()()18f x f x +-=,即可求解 【详解】 由题,631log 3log 6=,则 ()()()()()()33363333log log 6log log 3log log 6log log 61f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3333log log 6log log 6f f =+-,因为()1108210101101x xx f x ++==-++,则()22101010101101xx xf x -⋅-=-=-++, 所以()()2210221010102020218101101101x x x x xf x f x ⎛⎫⋅+⋅⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()()()3333log log 6log log 618f f +-= 故选：D 【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查对数的性质,考查观察分析的能力,处理该题时不应直接代入数据处理,而是观察所求之间的关系,利用函数性质求解,以此简化运算 6．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 【答案】C【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．7．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 垂直平分AC ，垂足为O ，若4AC =，则AB AC ⋅= （ ）．A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由图可得12AB AO OB AC OB =+=+,转化12AB AC AC OB AC ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭,根据OB 与AC 的位置关系进而求解即可 【详解】因为对角线BD 垂直平分AC ,垂足为O ,所以12AO AC =,BO AC ⊥,即 0BO AC ⋅=,所以12AB AO OB AC OB =+=+, 则22211110482222AB AC AC OB AC AC OB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+=⨯= ⎪⎝⎭, 故选：C 【点睛】本题考查向量的数量积,考查平面向量基本定理的应用,考查垂直向量的应用8．函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9．若实数x ，y 满足约束条件02322302x x y xy <≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若()0z x ky k =+>的最大值为152，则z 的最小值为（ ）．A ．72B ．4C ．256D ．92【答案】C【解析】设0x ky +=,即1=-y x k ,且10k-<,画出可行域,平移直线,由图可得截距最大时的点坐标,进而求出2k =,代回直线方程,再平移直线找到截距最小时的点,从而求得z 的最小值 【详解】由题,设0x ky +=,即1=-y x k ,因为0k >,所以10k-<,可行域如图所示,平移直线1=-y x k ,在点3,32⎛⎫⎪⎝⎭处截距最大,则此时153322k =+,即2k =,则12y x =-；再平移直线12y x =-,在点34,23⎛⎫ ⎪⎝⎭处截距最小,此时min 34252236z =+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想 10．已知函数()2f x x mx =-+，且()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(][),20,-∞-+∞B ．[]2,0-C ．(][),02,-∞+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】先求出()f x 的对称轴和最大值,将问题转化为存在x ,使()2mf x ≥恒成立,再解不等式即可 【详解】由题,当2m x =时,()2max 4m f x =,因为()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等,所以存在x ,使()2m f x ≥恒成立,则()max 2m f x ≥,即242m m≥,解得0m ≤或2m ≥,故选：C 【点睛】本题考查二次函数的最值问题,考查利用二次函数的性质处理含参问题,考查转化思想 11．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”教材中的“探究与发现”利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（1）是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（2）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面AOC ，正视图和侧视图中的曲线均为半径为1的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）．图（1） 图（2）A ．23B ．43C ．π3D ．2π3【答案】B【解析】由题,“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积,根据三视图的数据,求解即可 【详解】由“祖暅原理”可得这个四角帐篷的体积等价于一个四棱柱减去一个四棱锥的体积,底面积为正方形,对角线长为2,2；高为1,所以(2212421212333V =⨯-⨯⨯=-= 故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用,考查几何体的体积,考查分析推理能力12．若数列{}n a 满足：对任意的()3n Nn *∈≥，总存在,i j N *∈，使(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称{}n a 是“F 数列”．现有以下数列{}n a ：①2n a n =；②2n a n =；③3n n a =；④1n n a -=⎝⎭；其中是F 数列的有（ ）．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】D【解析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可 【详解】①2n a n =,则12a =,()12122n a n n -=-=-,则11n n a a a -=+()3n ≥,故①是“F 数列”；②2n a n =,则2339a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但2111a ==,2224a ==,此时312a a a ≠+,故②不是“F 数列”；③3n n a =,则33327a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④112n n a -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,则11211122n n n a ----⎛⎛-== ⎝⎭⎝⎭,21321122n n n a ----⎛⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23121121111122222n n n n n a a -------⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎛⎫⎛-⎢⎥+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111n n n na ------⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯==⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力二、填空题13．在边长为1的正六边形的六个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______． 【答案】35【解析】由边长为1的正六边形,根据三角形两边之和大于第三边可得对角线均大于1,进而得到所求 【详解】由题,根据三角形两边之和大于第三边可得正六边形的对角线均大于1,如图,六个顶点中任取两个点的情况数为15,对角线的条数为9,则顶点中两点之间距离大于1的概率为93155P ==, 故答案为：35【点睛】本题考查概率的求解,考查古典概型的应用,属于基础题14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =_____________． 【答案】22【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =， 整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以()2tan tan 5tan tan tan 1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---，又tan 0A ≠，所以25116tan A =--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以2cos 2A =． 15．已知曲线:21C x y =+与直线:l y kx m =+，对任意的m R ∈，直线l 与曲线C都有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为______． 【答案】()2,2-【解析】先分类讨论画出曲线C 的图象,再根据对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,变换直线找到符合条件的情况,即可得到斜率k 的范围 【详解】由题,因为曲线:21C x y =+,则 当0,0x y >>时,21y x =-； 当0,0x y ><时,21y x =-+； 当0,0x y <>时,21y x =--；当0,0x y <<时,21y x =+；画出图象,如下图所示,若对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,则直线l 与曲线C 分别交于两支,故22k -<<, 故答案为：()2,2- 【点睛】本题考查已知交点个数求参问题,考查数相结合能力,考查分类讨论思想16．如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对,x y 叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3=a ，5,2=-b ， ,a b 夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】由题意,1223a e e =+,1252b e e =-+,分别求出a b ⋅,a ,b ,进而利用数量积求出夹角即可 【详解】由题,1223a e e =+,1252b e e =-+, 所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+-()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=,则19a =,()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=,则19b =,所以1912cos 21919a b a bθ-⋅===-⨯⋅,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力三、解答题17．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．【答案】(1) 330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈.(2)平均数为59,方差为3.8.【解析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可 【详解】（1）由题,当30x <时,()()()866530330y n n n =----=-； 当30x ≥时,()308660y =⨯-=,所以330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈ （2）由题,则所以平均数为()15435746066745930⨯+⨯+⨯+++⨯=⎡⎤⎣⎦； 方差为()()()()2221545935759460596674 3.830⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+++⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想18．设数列{}n a 满足123232n a a a na n ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n=（2）()121nn S n =-⋅+ 【解析】（1）先求出1a ,再由2n ≥,可得()()123123121n a a a n a n -++++-=-,与题干中条件作差,整理后即可得到通项公式；（2）由（1）可设122nn n nb n a -==⋅,利用错位相减法求前n 项和即可 【详解】解：（1）当1n =时,1212a =⨯=； 当2n ≥时,()()123123121n a a a n a n -++++-=-②,因为123232n a a a na n ++++=①,则①-②得,2n na =,即2n a n=, 检验,1221a ==,符合,故2n a n =（2）由（1）,设12222n nn n nb n a n-===⋅, 则121n n n S b b b b -=++++()0121=1222122n n n n --⨯+⨯++-⋅+⋅,所以()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅,所以012122222n n n S n --=+++-⋅()0212212n n n ⨯-=-⋅-212n n n =--⋅()121n n =-⋅-,则()121nn S n =-⋅+【点睛】本题考查求数列通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面11ADD A ，面11CDD C ，面1111D C B A 的中心，11AD AA ==，2CD =．（1）求证：平面//MNP 平面1ACB ； （2）求三棱锥1D MNP -的体积；（3）在棱11C D 上是否存在点Q ，使得平面MNP ⊥平面1QBB ？如果存在，请求出1D Q 的长度；如果不存在，求说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）224（3）存在,1322D Q = 【解析】（1）延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；（2）先求出三棱锥11D AB C -的体积,再由三棱锥各边的比求出1D MNP -的体积即可；（3）将平面MNP ⊥平面1QBB 转化为平面1ACB ⊥平面1QBB ,由长方体可得1BB AC ⊥,因为11//AC A C ,作出111B Q AC ⊥即可,进而求得1D Q【详解】（1）证明：延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,M ,N ,P 分别是面11ADD A ,面11CDD C ,面1111D C B A 的中心,∴M ,N ,P 是1D A ,1D C ,11D B 的中点,//MN AC ∴,1//MP AB ,又MN MP M ⋂=,1AC AB A ⋂=,,MN MP ⊂平面MNP ,1,AC AB ⊂平面1ACB , ∴平面//MNP 平面1ACB（2）由题,11111111111111111114D AB C ABCD A B C D A D B A D D AC C B D C B ABC ABCD A B C D B ABCV V V V V V V V --------=----=-1121124112323⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭, 由（1）可得,三棱锥1D MNP -的各棱长为三棱锥11D AB C -的12, 111112288324D MNP D AB C V V --∴==⨯=（3）存在,1322D Q =1BB 是长方体的侧棱,1BB ∴⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1BB AC ∴⊥,连接11A C ,作111QB AC ⊥,垂足为O ,因为长方体,∴11//AC A C ,112A B =111B C =,1B Q AC ∴⊥,11B Q BB B ⋂=,11,B Q BB ⊂平面1QBB ,AC ∴⊥平面1QBB , AC ⊂平面1ACB ,∴平面1ACB ⊥平面1QBB ,由（1）,平面//MNP 平面1ACB ,∴平面MNP ⊥平面1QBB ,此时,1111111112C A B A B O QB C A B O π∠+∠==∠+∠,11111C A B QB C ∴∠=∠, 11111tan tan QB C C A B ∴∠=∠,即1111111QC B C B C A B =,则111Q C =12QC ∴=, 111122D Q D C QC ∴=-==, 【点睛】本题考查面面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查运算能力与几何体的分析能力20．已知函数()()2log 23f x ax a =++．（1）若()f x 在()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）304a -≤<（2）1616,,1515⎛⎤⎡⎤-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】（1）根据复合函数单调性的处理原则“同增异减”可知2log y x =单调递增,函数()f x 单调递减,则求23y ax a =++单调递减,进而求解即可； （2）当0a =时为常数函数,符合条件；当0a ≠时可得()12f t f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,代入可得()1232312at a a a ⎛⎫++++=⎪⎝⎭,整理为关于t 的方程,即()()22561027160aa t a a ++++=,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,由()()120g g -⋅-≤求解即可【详解】（1）由题,设2log y u =,()23u x ax a =++，2log y u =单调递增,且()f x 在()1,2上单调递减,()u x ∴在()1,2上单调递减,()020a u <⎧∴⎨≥⎩,即02230a a a <⎧⎨++≥⎩,解得304a -≤<（2）当0a =时,()2log 3f x =,是个常数函数,存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0a ≠时,()f x 单调,若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则有()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即()221log 23log 232at a a a ⎛⎫++=-++⎪⎝⎭, 则()1232312at a a a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭, ()()252329160t a t a ∴++++=,()()22561027160a a t a a ∴++++=在[]2,1t ∈--有解,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,则()()()()()222156102716521165161g a a a a a a a a -=-++++=++=++,()()()2222561027161516g a a a a a -=-++++=+,()()120g g ∴-⋅-≤,即()()()516115160a a a +++≤,1616,,1515a ⎛⎤⎡⎤∴∈-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查复合函数已知单调性求参数问题,考查对数函数性质的应用,考查转化思想,考查运算能力21．有一块半径为10cm ，圆心角为2π3的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．图1：方案一 图2：方案二（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；（2）若方案二中截得的矩形ABCD 为正方形，求此正方形的面积；（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值． 【答案】（1）25（2）1200300313-（3）方案二,最大值为10033,理由见解析【解析】（1）连接AC ,设CAB α∠=,则10cos AB α=,10sin BC α=,则矩形面积为关于α的函数,求出最值即可；（2）连接OC ,设COB θ∠=,利用正弦定理和三角形的对称性质可得3BC =20sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用AB BC =解得2sin θ,进而求出正方形面积即可；（3）由（2）得到sin 2633S πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求出最大值,与（1）的最值比较即可【详解】解：（1）连接AC ,设CAB α∠=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则10cos AB α=,10sin BC α=,10cos 10sin 25sin 2S AB BC ααα∴=⋅=⋅=,()20,απ∈,∴当22πα=,即4πα=时,max 25S = （2）连接OC ,设COB θ∠=03πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭,正方形关于扇形轴对称,∴3OBA π∠=2sin 20sin 33AB CD OC ππθθ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则23OBC π∠=, 在OBC 中,由正弦定理可得sin sin OC BC OBC COB=∠∠,即102sin sin 3BCπθ=, 则3BC =正方形,AB BC ∴=,即20sin 33πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则33cos 1sin 22θθ⎛=+ ⎝⎭, 代入22sin cos 1θθ+=可得2sin 1643θ=+,则2240040012003003sin 33131643S BC θ-==⨯==+ （3）选择方案二, 由（2）,对于方案二1120sin sin 22326463333S AB BC πππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴当262ππθ+=,即6πθ=时,max S ==由（125>, 应选择方案二 【点睛】本题考查三角函数与正弦定理在几何中的应用,考查利用三角函数求最值,考查运算能力,考查数形结合能力22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切． （1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【解析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】 （1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上,∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,2100r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229rd =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQ PNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PNx y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦,整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P 在圆M 上,()()223318x y ∴-+-=,即22660x y x y +--=,()()()()2222221161610x y x y λλλλ∴-+-----=,()22226122220a a λλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232a λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
安徽省示范高中培优联盟2020-2021冬季联赛数学答案
综上， 0 x 75 5 29 ．———5 分 2
（2）设上班族 S 中有 n 人，则自驾群体中有 nx% 人，公交群体中有 n1 x% ．
当 0 x 35 时， g x 30 nx% 40 n 1 x% 400 x ，
n
10
———7 分
当
35
x
100
时，
g
x
2
x
2450 x
———11 分
又因为 b 是其中的一个零点，所以 b 5a ，结合 b f (0) 2 a ，所以 b 16 .———12 分
4
5
22．（12 分） 解： （1）当 0 x 35 时，自驾群体的人均通勤时间为 30 分钟，公交群体的人均通勤
时间为 40 分钟，此时小李采用自驾通勤方式． ———2 分
64 4
16 ，即 3
0 .所以选项
B
能推出方程③无实根.
第 II 卷（非选择题 共 每小题 5 分，共 20 分。）
（13）【答案】 1
【解析】 1 1 2 log2 7 log7 2
2 log2 7 log7 2
1．
1 log2 7 1 log7 2 (1 log2 7)(1 log7 2) 1 log2 7 log7 2 log2 7 log7 2
的最小值为
3．———12
分
19．（12 分）
【解析】
（1）
f
x
2x
4a
1
2x
3 2x
，
———2 分
因为 2x
3 2x
2
2x
3 2x
2
3 （当且仅当 x log2
3 时，等号成立），
2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2A x x =≥-，{}2B x N x =∈≤，则A B =I （ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}1,2 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1,2-【答案】C【解析】先化简集合B,再求A B I 得解. 【详解】由题得{}0,1,2B =， 所以A B =I {}0,1,2. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．设x ∈R ，则“ln 0x <”是“12x +<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先化简两个不等式，再判断它们之间的充要关系得解. 【详解】由题得ln 001x x <⇔<<，1231x x +<⇔-<<， 而区间()()0,13,1⊆-，故“ln 0x <”是“12x +<”的充分不必要条件． 故选：A 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．下列命题正确的是（ ）A ．若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行B ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行C ．若两个平面不平行，则两个平面内存在互相平行的直线D ．若一条直线不平行于一个平面，则这个平面内不存在与该直线平行的直线 【答案】C【解析】对于选项A,B,D 可以通过举反例说明是错误的，对于选项C 可以举例说明其存在性. 【详解】选项A ，反例为直棱柱两相邻侧面与其底面垂直，但是这两个侧面并不平行，所以选项A 错误；选项B ，反例为圆锥的母线与其底面所成的角相等，但是这两条直线不平行，所以选项B 错误；选项C ，这两条直线均平行于二面的交线即可，所以该选项正确；选项D ，反例为直线在平面内，这个平面内存在与该直线平行的直线，所以该选项错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.4．已知三棱锥P ABC -的各棱长都相等，且2AB MB =u u u r u u u r，则直线PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）A ．6B ．6C D ．2【答案】B【解析】取PB 的中点N ，则CMN ∠为异面直线PA 与CM 所成角或补角，再利用余弦定理解△MNC 得解. 【详解】因为2AB MB =u u u r u u u r，所以点M 是AB 的中点.取PB 的中点N ，则CMN ∠为异面直线PA 与CM 所成角或补角， 设正四面体的棱长为2，则1MN =，3CM CN ==， 于是3cos 23CMN ∠==． 故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线为半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．762π+ B ．46π+C ．942π+ D ．54π+【答案】D【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式求出结果． 【详解】该几何体由一个半径为1的半球和一个直径与高都为2的半圆柱组合而成的组合体，其表面积为2245422πππππ⎛⎫⎛⎫++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知函数()tan 2f x x =，将函数()f x 图象向右平移3π个单位得到()g x 的图象，若点(),0A a 为函数()f x 图象的一个对称中心，(),0B b 为()g x 图象的一个对称中心，则a b -的最小值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】先求出函数(),()f x g x 的对称中心，再求出||-a b 的值，分析即得最小值. 【详解】由122k x π=得函数()f x 的对称中心为()11,04k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ， 故函数()g x 的对称中心为()22,043k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以21()4343k k k a b k ππππ--=+=+∈Z ， 当1k =-得最小值为12π． 所以a b -的最小值为12π.故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的对称中心和图像的变换，考查最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知数列{}n a 满足()*,m n m n m n a a a a a m n +=++∈N ，若11a =，则6a =（ ）A ．31B ．63C ．95D ．127【答案】B【解析】令1m =得121n n a a +=+，利用构造法求出21nn a =-，即得解.【详解】令1m =得121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+， 所以{}1n a +成等比数列，所以111(1)221n n n a a -+=+⋅=-，所以21nn a =-，所以663a =． 故选：B 【点睛】本题主要考查数列通项的求法和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知椭圆C ：2221x y a+=的左，右焦点分别为1F ，2F ，A ,B 分别为椭圆C 与x ,y正半轴的交点，若直线AB 与以12F F 为直径的圆相切，则2a 的值为（ ）A B ．32+ C ．1+D ．3【答案】A【解析】先求出直线AB=.【详解】由题得直线AB 的方程为0x ay a +-=由题得原点O 到直线:0AB x ay a +-=解之得2a 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知2x y e e +=，则2x y e e --+的最小值是（其中e 2.718=L 为自然对数的底数）（ ） A ．4 B ．92C ．()212e + D ．21e +【答案】C【解析】令x a e =，y b e =，则a ，0b >且2a b +=，再利用基本不等式求函数的最小值得解. 【详解】令x a e =，y b e =，则a ，0b >且2a b +=，()222222211111(1+)112222x ye e b e a e e e a b e e a b a b a b --⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++=++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b ea =时等号成立． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．已知圆C :2240x y y a +-+=及点()1,0A -，()1,2B ．若在圆C 上有且仅有一个点P ，使得2212PA PB +=，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．5-或3【答案】D【解析】先求出点P 所在的圆()22:14E x y +-=，再由题得两圆相切，即得解. 【详解】由题得圆()22:24C x y a +-=-,设(),P x y ，由22||12||PA PB +=可得点P 在圆()22:14E x y +-=上，由题可知E 与圆()22:24C x y a +-=-相切， 故41a -=或9， 即3a =或5-． 故选：D 【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法和两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．若定义域为R 的函数()21y f x =-的图象关于直线1x =对称，()()21g x f x =-，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()01g =- B ．()()01g g =C ．()()02g g =D ．()()010g g +=【答案】B【解析】先写出函数()21y f x =-的图象到函数()()21g x f x =-的图象的变换过程，即得解. 【详解】把函数()21y f x =-的图象向左平移12个单位，再向下平移1个单位，即可得到函数()()21g x f x =-的图象，故()g x 的图象关于直线12x =对称.所以()()01g g =. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性和函数图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C ．2e - D ．4e- 【答案】D【解析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ， 所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩24at t e =-=，解得a = 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．若()2sin cos 12x x ππ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则cos2x 的值等于______．【答案】79【解析】先化简()2sin cos 12x x ππ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭得1sin 3x =-，再利用二倍角公式求解.【详解】由2sin()cos 2sin sin 3sin 12x x x x x ππ⎛⎫+--=--=-= ⎪⎝⎭得1sin 3x =-，故27cos212sin 9x x =-=．故答案为：79【点睛】本题主要考查诱导公式的化简求值和二倍角公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．若实数x ,y 满足不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，且恒有()1a x y +≥，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)4,+∞．【解析】先作出不等式组对应的可行域，再求出0=1(1)y y x x -+--的最大值即得解.【详解】不等式组对应的可行域为图中的阴影平面区域. 由题1ya x ≥+， 0=1(1)y y x x -+--表示平面区域内的点与点B ()1,0-连线的斜率，当(),x y 取点A ()0,4时，1yx +的最大值为4=01+4， 所以4a ≥. 所以[)4,a ∈+∞． 故答案为：[)4,+∞ 【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．已知a r ，b r ,c r均为单位向量，若0a b ⋅=r r ，则32a b c +-r r r 的最大值为______． 131+．【解析】先求出()2321464a b c c a b +-=-⋅+r r r r r r，再求()64c a b ⋅+r r r 的最小值得解.【详解】()2321464a b c c a b +-=-⋅+r r r r r r ，而6436+16+48213a b a b +=⋅=r r r r 设向量c r 与64a b +r r的夹角为θ,则3214213cos a b c θ+--r r r，当θπ=时，32a b c +-r r r 取最大为131+． 故答案为：131+ 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和模的计算，考查最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ,N 分别为AD ,11C D 的中点，过点C ,M ,N 的平面把正方体分成两部分，则体积较大的那部分的体积为______． 【答案】1643． 【解析】取11A D 的四等分点P ，把截面MNC 补全为MCNP ，通过正方体与三棱台的体积差求得较大部分的体积． 【详解】如图，取11A D 中点Q ，再取1QD 的中点P ， 易知，1//C Q CM ，1//PN C Q ， //PN CM ∴，故把截面MNC 补全为平面MCNP ， 111212D PN S =⨯⨯=V ，12442DMC S ∆=⨯⨯=， 求得1283D PN DMC V -=台体， 又64V =正方体，故较大部分体积为281646433-=．故答案为：1643． 【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，台体体积等，难度适中．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．已知命题p ：“存在锐角使得不等式sin a θθ≥成立”，命题q ：“直线20x ay +=与2120ax y a ++-=平行”若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】11,,122a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【解析】先化简命题p 和命题q,由题得命题p ，q 一真一假，得到不等式组112a a <⎧⎪⎨≠-⎪⎩或112a a ≥⎧⎪⎨=-⎪⎩，解不等式组得解. 【详解】命题p为真时，sin 2sin 3πθθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,,2sin()123363πππππθθθ<<∴-<-<-<所以1a <．命题q 为真时，由()221a =得12a =±，经检验，12a =时两直线重合，故12a =-． 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题， ∴命题p ，q 一真一假，所以112a a <⎧⎪⎨≠-⎪⎩或112a a ≥⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以11,,122a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的最值的求法，考查两直线平行的充要条件和复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，已知()()2cos cos 3sin 90ca Bb Ac C +==+︒，．（1）求C ∠；（2）若D 是AB 中点，且2CD =，求ABC V 的面积．【答案】（1）60C ∠=°（2）8【解析】（1）利用正弦定理化简得1cos 2C =即得解；（2）由余弦定理2229a b ab c +-==，根据cos cos 0ADC BDC ∠+∠=得到22252a b +=，即得ABC V 的面积． 【详解】（1）由正弦定理，()()sin 2sin cos sin cos sin 90CA B B A C +=+︒，即()sin 2sin cos CA B C +=，所以1cos 2C =，所以60C ∠=°． （2）因为60C ∠=°，由余弦定理2229a b ab c +-==，因为222222cos cos 022AD CD b BD CD a ADC BDC AD CD BD CD+-+-∠+∠=+=⋅⋅， 得22252a b +=，于是ab 72=，所以1sin 2ABC S ab C ==△． 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知数列{}n a 满足：11a =，()*121n n a a n n ++=-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求2n S ； （2）若数列22nn S b n n=⋅，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（1）222n S n n =-（2）()12326n n T n +⋅=-+【解析】（1）求得21243n n a a n -+=-，再利用并项求和求2n S ；（2）先求出()212n n b n =-⋅，再利用错位相减法求数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】（1）由已知得121a a +=，()212221143n n a a n n -+=--=-，故()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++L ()()2422122n n n n n n -==-=-． （2）由()22212nn n n S b n n=⋅=-⋅，可得()123123252212n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ， ()()23121232232212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，两式相减得()2312222222212n n n T n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅L所以()114(12)2221212n n n T n -+--=+⋅--⋅- 化简得()12326n n T n +⋅=-+．【点睛】本题主要考查递推数列求和，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．三棱台111ABC A B C -中，2AB BC CA ===，11111A B BB CC ===，1BB AB ⊥,1CC AC ⊥．（1）求证：1AA ⊥平面1A BC ； （2）求二面角1A BC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2）13-【解析】（1）由题得侧面11ABB A 与侧面11ACC A 为全等的直角梯形，证明11AA A B ⊥，11AA A C ⊥，可证明1AA ⊥平面1A BC ．（2）取BC ，11B C 的中点D ，1D ，连接AD ，11A D ，ABC ∆为等边三角形，连接1AB ，AD ，1ADD ∠即为二面角1A BC B --的平面角，记为α，通过求解三角形利用余弦定理求解即可． 【详解】（1）由题得侧面11ABB A 与11ACC A 为全等的直角梯形， 易求1112AA A B AC ==2AB BC CA ===， 故2222221111,AB AA A B AC AA AC =+=+， 1111,AA A B AA AC ∴⊥⊥，因为11,A B AC ⊆平面1A BC ，111A B AC A =I 所以1AA ⊥平面1A BC ．（2）取BC ，11B C 的中点D ，1D ，连接AD ，11A D ，ABC ∆为等边三角形，连接1AB ，AD ，易知AD BC ⊥，侧面11BCC B 为等腰梯形，故1D D BC ⊥，则在四边形11ADD A 中，1ADD ∠即为二面角1A BC B --的平面角，记为α， 由（1）可得11BB =，15AB =， 13DD =，3AD =， 1154AD =-，在三角形1ADD 中，1335323cos 44α-=+-⨯⨯，可得1cos 3α=-．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（1）已知a ,b ,0m >，试比较a b 与a mb m++的大小; （2）求证：()*1122nn n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N ．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析 【解析】（1）利用作差比较法比较a b 与a m b m++的大小;（2）由（1）中结论，对于正整数2k n <，2112n k n k++<，再给k 取值得到n 个不等式，再把不等式相乘即得证. 【详解】 （1）()()m b a a m a b m b b m b-+-=++，因为a ，b ，0m >，当a b >时，a a mb b m +>+；当a b =时，a a m b b m+=+；当a b <时，a a mb b m +<+． （2）由（1）中结论，对于正整数2k n <，2112n k n k++<， 取,1,,21k n n n =+-L ，得：211212212,,,221221n n n n n nn n n n n n +++++<<<+-L ， 以上n 个式子相乘得1122122121nn n n n n n n ++⎛⎫+<⋅⋅⋅= ⎪+-⎝⎭L ． 【点睛】本题主要考查实数比较大小，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,A ,B 为椭圆Γ上的两动点，且以A ,B ,1F ，2F 四个点为顶点的凸四边形的面积的最大值为ac ． （1）求椭圆Γ的离心率；（2）若椭圆Γ经过点⎛ ⎝⎭，且直线AB 的斜率是直线OA ，OB 的斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围．【答案】（12）()0,1 【解析】（1）由题得2bc ac =，化简即得椭圆Γ的离心率；（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，由>0∆，得202m <<且21m ≠．再求出OAB S =△，即得OAB ∆面积的取值范围．【详解】（1）由题，当,A B 位于椭圆Γ的短轴端点时，凸四边形12AF BF 的面积最大为2bc ac =，所以12b a =，e ==．（2）由（1）可设椭圆Γ的方程为22244x y b +=，将点⎛ ⎝⎭代入得椭圆22:44x y Γ+=．由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()11(,A x y ，()22,B x y 满足22440y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()()222148410k xkmx m +++-=．()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．因为直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，所以()2221212121212k x x km x x m y y k x x x x +++⋅==， 即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±． 由于直线OA ，OB 的斜率存在，且>0∆，得202m <<且21m ≠． 设d 为点O 到直线AB 的距离，则1212OAB S d AB x =-△12m =设2(02,1)m t t t =<<≠，()(0,1)g t所以OAB S V 的取值范围为()0,1． 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，考查椭圆中面积的取值范围问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和推理分析能力.。
安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高一上学期冬季联赛试题 数学含答案
安徽省示范高中培优联盟2023年冬季联赛（高一）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合()(){}23270xA x x =--=∣，{}0ln 1B x x =∈Z∣ ，则A B = （）A.{}2B.{}3 C.{}2,3 D.{}1,2,32.若命题：0x ∃>，2210x mx -+ 是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.[)1,+∞B.[)2,+∞C.)⎡+∞⎣D.[)3,+∞3.已知函数()2y f x =的定义域为3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数()()1ln 2f x y x -=+的定义域为（）A.70,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[)(]3,11,4---C.(]2,4- D.()(]2,11,4--- 4.若:3p a >，q ：关于x 的方程210x ax ++=有两个不相等的实数根，则p 是q 成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知定义域为R 的函数()f x 和()g x ，函数()f x 图象关于原点对称，函数()g x 满足()()0g x g x --=，若()()321xf xg x x +=+-，则()1f 与()2g -的大小关系为（）A.()()12f g >-B.()()12f g <-C.()()12f g =- D.不确定6.已知1a >，1b >，log 10lg a b =，lg lg 2a b + ，则a b +=（）A.2B.5C.10D.207.已知函数()f x 定义域为D ，若对于12,x x D ∀∈，当12x x ≠时，都有()()()()22121221120x x f x f x x f x x f x ⎡⎤+--<⎣⎦成立，则称函数()f x 是“共建”函数，则下列四个函数中是“共建”函数的是（）A.()()42x xf x x =+ B.()()12log 21f x x x =-C.()2f x x x =+，()0,x ∈+∞ D.()2f x x =，()0,x ∈+∞8.函数()8149431923x x x x xf x --+⋅+⋅+=+⋅的最小值是（）A. B.3C.83 D.103二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若实数x ，y 满足12x y -<<<，则下列说法中正确的是（）A.11x<- B.24x y -<+<C.10x y -<-< D.30x y -<-<10.若点(),8a 在幂函数()()1bf x a x =-的图象上，则以下关于函数()g x =是（）A.()g x 的定义域是[]1,2B.()g x 的值域是[]1,1-C.()g x 是增函数D.()()50g x g x -+=11.若函数()f x 的零点与()4ln 2xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过12，则()f x 可以是（）A.()41f x x =- B.()32f x x x =+-C.()33xxf x -=- D.()()2log 32f x x =-12.定义在R 上的函数()f x ，当0x >时，()22f x x =-，当0x 时，()12x f x +=，若关于x 函数()()21y f x mf x =++在定义域内有四个零点，则实数m 的取值可以是（）A.265-B.5- C.103-D.52-第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数()2f x x =()f x 的值域为________.14.已知函数()()log a f x x b =+的图象不经过第二、四象限，请写出满足条件的一组(),a b 的值________.15.设点()1,0A ，()0,1B ，点C 是函数1112y x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上一点，则ABC △面积的最小值为________.16.若函数()()()232f x x x mx n =+++对于x ∀∈R 都有()()20f x f x -+=，则2m n +=________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表月份1月2月3月小型汽车数量x （辆）306080创造的收益y （元）480060004800（1）根据上表数据，从下列三个函数模型中：①y ax b =+，②2y ax bx c =++，③xy a b =+选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量x （辆）与创造的收益y （元）之间的关系，并写出这个函数关系式；（2）利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？18.（12分）（1）已知0b a >>，求证11a ab b+>+；（2）利用（1111111112462n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<---⨯⨯-< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （*n ∈N 且2n ）.19.（12分）我们知道存储温度x （单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间T （单位：h ），温度越高，保鲜时间越短.已知x 与T 之间的函数关系式为()e mx n T x +=（e 为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为180h ，在25℃的保鲜时间为45h .（参考数据：2 1.41≈）（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h ，那么对存储温度有怎样的要求？20.（12分）定义在R 上的函数()f x ，满足()0f x >，对于任意的,x y ∈R 都有()()ln ln f xy y f x =成立，并且0m ∃>，使得()12f m =.（1）判断函数()f x 的单调性，并证明；（2）若[]2,1x ∀∈--，不等式()212x f a f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.21.（12分）已知函数()223,0;2ln ,0.x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩ （1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,20;12,0 2.2f x x x xg x x x ⎧--+-⎪=⎨-<⎪⎩ 在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.22.（12分）已知函数()log a f x x =，其中1a >.（1）若存在12x x <，使得()()12f x f x =，求122x x +的最小值；（2）令()()x g x f x f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()g x m =有两个根1x 和2x ，求当221x a x >时，实数m 的取值范围.2023冬季联赛高一数学参考答案123456789101112ACDAADBDBDBCDABDAB一、选择题（本大题共8个题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】A{}2,3A =，{}1e B x Z x =∈≤≤∣，所以{}2A B = ，故选A.2.【答案】C2Δ8004m m ⎧=-≥⎪⎨>⎪⎩，即)m ⎡∈+∞⎣，故选C.3.【答案】D ∵3,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴[]23,4x ∈-，∴3142021x x x -≤-≤⎧⎨+>+≠⎩且，即3421x x x -≤≤⎧⎨>-≠-⎩且，故选D.4.【答案】A 由2Δ40a =->解得2a >或2a <-，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.5.【答案】A因为()()0f x f x +-=，()()0g x g x --=，()()321xf xg x x +=+-，故()()321xf xg x x --+-=--，即()()321xf xg x x --+=--，所以()32222x x x f x --+=，()2222x x g x -+-=，计算可得()714f =，()928g -=，故选A.6.【答案】D∵log 10lg a b =，∴lg10lg lg b a=，即lg lg 1a b ⋅=，由基本不等式可知lg lg 2a b +≥=，又因为lg lg 2a b +≤，所以lg lg 2a b +=，即满足基本不等式取等条件lg lg 1a b ==，即10a b ==，故选D.7.【答案】B根据题意，()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤--<⎣⎦，即()()()121212120f x f x x x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，设()()f x g x x=，即()()()1212120x x x x g x g x ⎡⎤--<⎣⎦，选项B 中，()()12log 21g x x =-在定义域上是单调递减函数，满足“共建”函数的定义，故选B.8.【答案】D设3x t =，则()224222222414121222t t t t t f t t t t t t t t t⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭===+++++，因为2221133t t t t t +=++≥，所以()110333f t ≥+=，选D.二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.【答案】BD 当1x =时，111x=>-，故A 错误；因为12x y -<<<，根据同向可加性易知24x y -<+<，故B 正确；因为12x y -<<<，所以12x -<<，21y -<-<，则30x y -<-<，故C 错误，D 正确，故选BD.10.【答案】BCD因为()()1bf x a x =-为幂函数，所以11a -=，则2a =，由点()2,8在()bf x x =的图象上得3b =，故()g x =.由3020x x -≥⎧⎨-≥⎩解得23x ≤≤，故A 错误；易知函数()g x =单调递增，故C 正确；当23x ≤≤时，求得值域为[]1,1-，故B 正确；由()g x =()5g x -=()()50g x g x -+=，故选BCD11.【答案】ABD计算可得A ，B ，C ，D 选项中的零点分别为14，1，0，1，根据二分法以及零点存在性定理可求出()14220g =-=>，1112ln 2ln 0222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，)333ln 221ln0444g ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭所以()g x 的零点所在区间为13,24⎛⎫⎪⎝⎭，故选ABD.12.【答案】AB 令()t f x =，则21y t mt =++，由题意原函数有4个零点，结合函数()t f x =图象可知函数21y t mt =++有两个不同零点1t 和2t ，不妨设12t t <，且12t t m +=-，121t t =，分析函数()t f x =的图象可知，24t ≥，则12221174m t t t t -=+=+≥，解得174m ≤-，故选AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭14.()2,112-16.14-13.【答案】15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭令t =，则0t ≥，21x t =+，()()2211521248y f x t t t ⎛⎫==+-=-+ ⎪⎝⎭，易得值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.14.【答案】()2,1只要满足1a >，1b =即可15.12-，如图所示，1111111222222ABC ACO BCO ABO S S S S x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△，因为112x ≤≤，所以12xx +≥=，当且仅当2x =时取等号，此时ABC △12.（另解：利用点到直线距离公式亦可解决）16.【答案】14-，因为对于R x ∀∈都有()()20f x f x -+=，所以函数()f x 的对称中心为()1,0，又因为()30f -=，所以()50f =，故()()()()()()22315321210f x x x x x x x =+--=+-+，即2241014m n +=-+=-.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）【答案】（1）选取②2y ax bx c =++，由题表可知，随着x 的增大，y 的值先增大后减小，而函数y ax b =+及x y a b =+均为单调函数，故不符合题意，所以选取②2y ax bx c=++2分将()30,4800，()60,6000，()80,4800三点分别代入函数解析式2y ax bx c =++，可得二次函数对称轴为3080552x +==，故可将函数解析式设为2(55)y a x h =-+，即得到2256000254800a h a h ⎧+=⎨+=⎩，解出26050a h =-⎧⎨=⎩，∴2222(55)60502220y x x x ax bx c =--+=-+=++，∴2a =-，220b =，0c =；5分（2）设在一周内大约应生产x 辆小型汽车，根据题意，可得222206020x x -+>，即2222060200x x -+->，即211030100x x -+<，6分因为2Δ11043010600=-⨯=>，所以方程211028000x x -+=有两个实数根155x =，255x =，由二次函数21103010y x x =-+的图象可知不等式的解为5555x <<+.8分因为x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的小型汽车数量5358x ≤≤之间时，这家工厂能够获得6020元以上的收益.10分18.（12分）【答案】（1）证明：因为0b a >>，所以()1011a a b a b b b b +--=>++，于是11a ab b+>+.4分（2135212462n n -<⨯⨯⨯<（*n N ∈且2n ≥）由（1）式可知，2221221221n n nn n n --<<-+，故21352113521124221112462246223521224n n n n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯>⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （*n N ∈且2n ≥）2135211352124621246224623572121n n n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （*n N ∈且2n ≥）135212462n n -<⨯⨯⨯<（*n N ∈且2n ≥），原式得证.12分19.（12分）【答案】（1）根据题意，将()5,180，()25,45分别代入()emx nT x +=得525e 180e45m n m n ++⎧=⎨=⎩，2分所以20451e1804m==，所以5e 2m =，0m <，当0x =时，()5180e 180 1.41253.8e 2n m T x ====≈⨯=，此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.6分（2）根据题意，即要求()e 90mx nT x +=≥，由（1）可知101e 2m =，所以101551e e e 180902m m n m n ++⋅=⋅=，故15ee mx nm n ++≥，即15e e mx m ≥，即15mx m ≥，因为0m <，所以15x ≤，所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h ，存储温度要低于15℃12分20.（12分）【答案】（1）函数()f x 单调递减.，证明如下：由()()ln ln f xy y f x =得，()()[]yf xy f x =，则12,R x x ∀∈，当12x x <时()()()()()()121122a babf x f x f ma f mb f m f m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-==- ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭-4分因为12x x <，所以ma mb <，则a b <，故()()1211022a bf x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 单调递减.6分（2）不等式()212x f a f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭可等价变形为()212x f a f x⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭，因为()()[]yf xy f x =，所以()()()12221f x f x f x -⎡⎤=-=⎣⎦-，则不等式可变为()22x f a f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭8分由（1）知，函数()f x 在定义域内单调递减，故22xa x +≤，[]2,1x ∈--恒成立，则2min2x a x ⎛⎫≤-⎪⎝⎭，解得32a ≤11分因此实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.12分21.（12分）【答案】（1）()f x 的单增区间为[]1,0-，()0,+∞，()f x 的单减区间为(],1-∞-5分（2）易知()222,2012,022x x g x x x ---≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩①当020x -≤≤时，()0022g x x =--，令()00g x x =得0022x x --=，解得023x =-；当002x <≤时，()200122g x x =-，令()00g x x =得200122x x -=，解得01x =综上所述：函数()g x 的不动点为23-.8分②当021x -≤<-时，()0022g x x =--，且()002g x <≤，则()()()()2200000122222242g g x g x x x x =--=---=+令()()00g g x x =得，200024x x x +=，解得032x =-或00x =（舍）当010x -≤≤时，()0022g x x =--，且()020g x -≤≤，则()()()()000022222242g g x g x x x =--=----=+令()()00g g x x =得0042x x +=，解得023x =-10分当002x <≤时，()200122g x x =-，且()020g x -≤<，则()()2220000112222222g g x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()()00g g x x =得2002x x -+=，解得01x =或02x =-（舍）综上所述：函数()g x 的稳定点有3个，分别是32-，23-和1.12分22.（12分）【答案】（1）因为()log a f x x =为单调函数，所以当12x x <时，()()12f x f x ≠，则当()()12f x f x =时，有()()12f x f x =-，即12log log 0a a x x +=，解得121x x =，则2分1211122x x x x +=+≥当且仅当12x =时，取等号，故122x x +的最小值为.5分（2）由题意，()()()log log log log 1a a a a x x g x f x f x x x a a ⎛⎫==⋅=- ⎪⎝⎭令log a t x =，则R t ∈，11log a t x =，22log a t x =，若221x a x >，则221log log a a x a x >，即21log log 2a a x x ->，即212t t ->7分由1t 和2t 为方程()1t t m -=，即方程20t t m --=的两根得Δ140m =+>，解得14m >-，且121t t +=，12t t m =-9分因为212t t ->，所以()1112t t -->，解得112t <-，所以()22121111111124m t t t t t t t ⎛⎫=-=--=-=-- ⎪⎝⎭，。
2020～2021学年安徽省示范高中培优联盟高二年级上学期冬季联赛数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2020～2021学年高二年级上学期冬季联赛数学(理)试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)(1)图中阴影部分所对应的集合是(1)图中阴影部分所对应的集合是(A)(U A)∪B (B)(UA)∪(UB) (C)U(A∪B) (D)U(A∩B)(2)命题“所有的二次函数图象都是轴对称图形”的否定是(A)所有的轴对称图形都不是二次函数图象(B)所有的二次函数图象都不是轴对称图形(C)有些轴对称图形不是二次函数图象(D)有些二次函数图象不是轴对称图形(3)已知集合A ＝{12,15,1}与B ＝{12,2,5},现分别从集合A,B 中各任取一数a,b,则lga ＋lgb 为整数的概率为 (A)19 (B)29 (C)13 (D)49(4)已知函数y ＝f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以为(A)f(x)＝－tanx (B)f(x)＝1x－x 3 (C)f(x)＝1sin x (D)f(x)＝21x －x 2(5)四边形ABCD 中,AB 2CD +＝0,设BC 的中点为M,AB ＝a,AD ＝b,则向量DM =(A)34a －b (B)34a －12b (C)a －12b (D)12a －b (6)“φ＝3π＋2k π(k ∈Z)”是“函数f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象关于x ＝3π对称”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(7)某几何体由若干大小相同的正方体组合而成,其三视图均为如图所示的图形,设该几何体的表面积为x,其外接球的表面积为y,则y xπ的值为(A)15 (B)316 C.1130 (D)1132 (8)卢卡斯是十九世纪法国数学家,他以研究斐波那契数列而著名。
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年度高二上学期冬季联赛数学(理)试题Word版含答案
安徽省示范高中培优联盟2021-2021学年度上学期冬季联赛高二数学(理)试题(测试时间：120分钟试卷总分值：150分) 考生考前须知：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在做题卡上.2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .设集合A = {x|log2x<4}, B ={x|； W2x98卜那么Ap)B=()A. 1-1,3 1B. 0,3 1C. 1-1,4D. 0,42.命题“假设|(x-4 )( y+3j <0,那么x = 4或y = 4〞的否命题是( )A.假设|(x—4)(y+3)W0,那么x=4或y 3B.假设|(x—4)(y+3) W0,那么x04且y 3C.假设|(x—4 K y+3 ) >0,那么x=4 且y#—3D.假设[(x—4)(y +3)>0,那么x#4 或y#—33.直线l江平面a ,那么( )A. V P^l , P WotB. V P W l , P更口C. P l , P 三：1D. Pl, P '：4.设a, b是两个非零向量,a在b方向上的投影为k,那么“ k<.〞是“t, b夹角为钝角〞的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.假设e x+n y 5 +n-x ,那么有( )A. x y < 0B. x y _ 0C. x -y w 0D. x -y _06.直线y =x+m 与圆x 2 + y 2—2x + m 2 =0有公共点,那么实数 m 的取值范围是〔〕1A. -1 ：： m 三 3B. -1 ：；： m3八 /1 / 1C. -1 ：：： mD. -1 < m3 37 .如图,某三棱柱的正视图是边长为 2的正方形,其上下底面为正三角形,那么以下命题中一定成立的是〔〕A.该三棱柱的外表积为12 + 2 J3 8 .该三棱柱的体积为 2点 C.该三棱柱的侧视图为矩形 D.该三棱柱有外接球x -1_ _8 .实数x , y 满足4 ,那么x 2 + y 2的最大值与最小值之和为〔〕〔y -1 <xA.5B. —C.6D.729 .直线4x -3y =k 与单位圆有唯一的公共点 P ,角a 的终边在直线 OP 上,O 为坐标原点,那么x 的方程sin^x+1 = 0在区间〔0产〕上有且只有一解,那么正数 切的取值范围是〔〕tan2：A. 34 C .24 7B.D.—34 24 710.假设关于 A . 3 72 ’2B 3 7B.C. 3,7D. 3,4 4, |0411 .定义在R上的函数f(x), g(x)W^ f (-x2+6x)=g(x,那么函数y=g(x)的图象关于( )A.直线x =3对称B.直线x=-3对称C.原点对称D. y轴对称12 .奇函数f(x)=ax邙图象经过点(1,1),假设矩形ABCD的顶点A, B在x轴上,顶点C, D在函1 x数y = f (x )的图象上,那么矩形ABCD绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值为( )n nA. -B.—冗C. -D.二二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.一,x「1 …〜一13.不等式——之2的解集是.x 114 .向量a=(2,1单位向量b满足a+b=a—胃,那么向量b的坐标为.15 .等比数列Q n ｝中,前4项之和为a1 +14,且a2, a3+1 , a4成等差数列,那么公比q=.16 .函数f (x) = log a(x+1X x>0)与g(x)=a x+k的图象上存在关于y轴对称的点,其中a>1,那么实数k的取值范围是.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.17 .数列｛a n｝满足a1+2a2+…+na n=2n(n^ N〞).(I段数列｛an｝的通项公式；a n(II )求数列j的刖n项和S n.18 .在AABC 中,AB = 2, AC=6, 4ABC 的面积为4点.(I股D为AC的中点,求BD的长度.(II )求sinC的值.19 .函数 f (x [ = 2sin 个 । cosx _ J3sin 2 1+J 3. 22 1 2、(I 建f (x )的单调递减区间；(II )先将y = f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1 (众坐标不变),再沿x 轴向右平移63 二位长度,得到函数 y = g (x ),右g (x )的图象关于直线x =—— 对称,求8的最小值.420 .我国古代数学名著?九章算术?中记载的“刍薨〞是底面为矩形,顶部只有一条棱的五面体 面体ABCDEF 是一个“刍薨",四边形 ABCD 为矩形,A EAD 与A FBC 都是正三角形,AD =EF =2.(I 法证：EF//面 ABCD ；(II )求直线CF 与平面ABEF 所成角的正弦值.21 .过点A(-1,0 )的动直线与圆C:x 2+y 2 —2x —8 = 0交于P, Q 两点,线段PQ 中点M 线：.(I 讲曲线「的方程；(II )假设曲线厂的一条切线与圆C 交于A, B 两点,假设AB =3氐,求切线T 的坐标.22 .函数平(x 尸 J 1 -x , h(x )=^(x )+中(-x )(I 祥函数h(x )的值域;(II )求函数 F (x )=a W(x 2 )+h (x )的最大值 g (a ).安徽省示范高中培优联盟2021-2021学年度高二上学期冬季联赛数学〔理〕试题参考答案一、选择题11 .【解析】选 B .解 log 2x<4 得 A = 〔0,16〕,解万工？'<8 得 B=[—1,3],「小门3=〔0,3].2 .【解析】选C . “假设p,那么q 〞的否命题为“假设 」p,那么「q", p^q 的否认为〔「p 〕A 〔-i q 〕.'> 0 )个单.如图,五AB = 4,的轨迹为曲3 .【解析】选D . 「直线l0平面a , l //o〔或1n o f = A ,应选D .4 .【解析】选B.a,7反向,即夹角为180叩寸也有k <0,故应选必要不充分条件.5 .【解析】选A.由e x+n y £37+冗上得3"-冗,93日一冗\而f〔x〕 = e x—n.是R上的增函数.原不等式即f 〔x 〕= f 〔—x 〕,得x E —y ,即x十y E0.6 .【解析】选C .直线x —y+m =0与圆〔x—1 j+y2 =1—m2有公共点,1 m 1弦心距d =!―产」< 出-m ,且1 — m a 0 ,解得一1 < m .,2 37 .【解析】选B .注意到,该三棱柱不一定为正三棱柱,有可能是斜三棱柱,于是只有其体积恒为2J3.8 .【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以〔1,0〕, 〔0,1〕, 〔1,2 〕为顶点的三角形,对于可行域内任一点P,OP2= x2+ y2,不难知—<OP <45 ,因此那么x2+ y2的最大值与最小值之和为工+5 = 11.2 2 2二、填空题c x -1 x 3 -2 ———<0,即------- <0,x 1 x 13 2tan 二由题,直线OP 与直线4x—3y =k 垂直,故tana =k0P =-一,•二tan20t = ----------------- 2—4 1 - tan二24 710.【解析】选A. sincox+1 =0= sin^x =-1,结合y =sinox的图象知, 3 T 7丁 r—T < n E—T ,即4 411.【解析】选A., 2 2 一由f (-x +6x )= f (-(x -3 ) +9 )= g (x 浮f (2—x +9)=g(x+3),于是g (—x+3 )= g (x+3 ), •.・函数y = g(x )的图象关于直线x = 3对称.2x12.【解析】选D.由题,f (0 )=0及f (1 )=1得f (x)=——2,1 x如图,不妨设C, D在x轴上方不难知该旋转体为圆柱,半径R =.2x 2令——2 = R,整理得Rx2—2x+R=0 ,那么X C ,X D为这个1 x二次方程的两个不等实根,于是圆柱的体积V =nR2xC —x D =nR2^^=2二~"2 R三二R 2+(J I -R2)]=n ,当且仅当R2 1 5,=一时等号成立.213.【解析】1-3,-11.不等式可化为解得n x-1-3,-11T T a +b设 b =(x , y 由解得 b = ।5,—2vf 或：更 2vf.5/ I 55J2a 3 a 4 =14 “口 CL =4 aq =4 3 4,解得?分 ,即〈 3 ,a 4 =2a 3 2 a ? a 4=10 a q q )=1016.【解析】由题,g(—x 尸a ,+k 与f (x ) = loga(x + 1)(X A 0)的图象有公共点,17 .【解析】：(1) a 1+2a 2+…+na n =2n , a 1+2a 2 +…+(n-1 )a n2 两式作差得：na n =2(n 々2), . . a n =-(n >2),n 2 ,又a 1=2符合上式,故a n= —(n 之1).n/c 、 a n211⑵ ------- = --------- =― -- ---- ,n 2 n n 2 n n 21+1.1+3 24 n -11 1113 2n 3一十一- ---- -. ----- ———. ------------14.【解析】隹-I叶卜黑妻15.【解析】 2或1.Ik 三 । 1,二结合图象可知,g(—x )=a 」+k图象与y 轴交点的众坐标1 + k>0,三、解做题由题,a1 ai解得q = 2或-.2= 2(n —1)(n 之 2),18 .【解析】：(1)由AABC 的面积S1一 一 2 2-AB ・AC ・sin A 得sin A =,cosA = 土木—sin 2 A = 士1,于是在AABD 中,由余弦定理:3(2)法一：AABC 中,由余弦定理, BC = J AB 2 VAC 2 — 2AB ・AC-cosA =4点或4代,,3 二 —由 2kn+—Wx +— M2kn + ——(k = Z ),2 3 2-江得f (x )的单调递区间为 pkn +1,2kn +「,一, 3二,, ,»g(x)的图象关于直线 x =——对称,• • g 45 二 二• .21 - -= - k 二 k Z ,1二6 2当k = —1时,8的最小值为8 = 土620.【解析】：(1) AB//CD , AB 0面 CDEF, CD 匚面 CDEF ,・ .AB//面CDEF ,又面 ABFEn 面CDEF = EF , ・ . AB//EF ,又 EF 0面 ABCD, AB 匚面 ABCD ,BD =AB 2 AD 2— 2AB *AD *cosA = 22 32 一 2 2 3： i J ―1 = 3或折.3AB *sin A 再由正弦定理,sinC =•BC1或下1 一 一 一 一法二：由 AABC 的面积 S = — BC ・AC ,sin C ,得 sin C =2BC *AC 3 919.【解析】：(1) f (x )=2sin xcos^x + 73 11-2sin2x=sin x 、, 3 cosx = 2sin l x —,,3(2)由题,g(x)=2sin .『(x —H冗 +—一 3 即 sin -2一21 •- 3=sin 2 2 - -过 C 作 CP_LBN 于 P,那么 CP_L 面 ABNM ,・•• CF 在面ABFE 内的摄影为PF , CF 与平面ABFE 所成角为Z CFP ,又 BN =CN 二JBF 2_FN 2「.△NBC 中,BC 边长的高为 J 2, ••.CP=42="6, J3 3故 sin CFP = CP =-6.CF 32 221.【解析】：(1)法一：圆C :(x —1 ) + y =9,圆心C 1,0 , 由垂径定理知PQ _LCM ,即AM .LCM , 于是M 的轨迹是以 AC 为直径端点的圆, 所以曲线「的方程为x 2 + y 2 =1.法二：设动直线为 y =k(x +1 ),与圆C :x 2 +y 2 -2x —8 = 0联立, 得：k 2 1 x 2 2 k 2 -1 x k 2 -8 =0,XP X Q1 - k 2k由…里,X M = =①…(x MA 病②,24・1^24k 1 X M 2y M = j =1 - X M , (1 +k ) 1 ^1-X M<_ 1 + X M )又动直线斜率不存在时点 M 坐标为(-1,0 )满足以上式关系,所以EF//面ABCD . 由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形,于是我们得到了直三棱柱 ADM - BCN , 由①得k 2=上迎,代入②式得:1 X M故曲线「的方程为x2+y2=1.(2)设T(x o,y0 ),先证曲线「在点处的切线方程为x0x + y0y =1 ,事实上,'；x2+y2 =1 , ...点T 在x0x + y0y =1 上,1又圆心O到x0x + y0y =1的距离, =1,,x2 y2故x0x + y0y =1为曲线「的切线,AB' = 3J3 ,所以圆心到弦AB的距离2 _ 1373、2 _ 3…15人解得x0 =——或心(舍),2 2,,,t, 1 1 石二/1 73从而点的坐标为—二巴3或」,-".I 2 2J I 2 2J22.【解析】：(1) h(x) = j1-x + ,1+x , x W〔—1,1】,2法一：, h(x )］=2+4 —x2w 匕,4 ］,且h(x)至0,故h(x)的值域为［应,2］.法二：令x =2sin 2日一1 , 0 0J0,—1, 一2那么h x = N-Zsin2；； ' . 2sin2= 2 sin cos - -2sin i 'J 二4… 二二3 二二\ 2* 8 +一七I—— , • sin 8 +——1七I—1 ,4媪4」s I 4)(2二故h(x)的值域为［衣,2〕.(2) F (x )=a+'(x2)+h(x)=a♦1-x2+J1+x+J-x,令t=7m + Q x w ［夜2 I,那么由―x2 =12-1,1 2 / t =a t 2 -1 t = 2 ①当 a=0 时,m (t 户t , g (a 尸 m (2 )=2 ；1 ②当a>0时,二次函数 m(t )的图象开口向上,且对称轴 t=——<0, a于是m(t )在[廖,2 I 上单调递增,g (a )= m(2 )=a + 2 ；1 ③当a>0时,二次函数,g(a )=m(2 )=a+2的图象开口向下,且对称轴 t = ——A0, a1 L - J2 一 一右 t = — — w [0, y/2 I,即 a E ——,那么 g(a)=m( V2 )=V2 , 1 2 1 …, 1右 t = __ ■= V 2, 2 I 即-——<a < --,那么 g (a ) = m -- 1= -a a - 2 2 a 1 一 1 一右 t =_—E(2,+℃ ),即 一一 <a<0,那么 g(a)=m(2)=a+2；a 2- 1a 2,a 2g a )==-——,———：二 a <2a 21 2 n 1 n 2 2 n 1 n 2 t e 语2〕, 12a综上,。
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高一上学期冬季联赛语文试题
姓名座位号（在此卷上答题无效）安徽省示范高中培优联盟２０２０年冬季联赛（高一）语文本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，第Ⅰ卷第１页至第８页，第Ⅱ卷第９页至第１０页。
全卷满分１５０分，考试时间１５０分钟。
考生注意事项:１．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
２．答选择题时，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨本签宇笔在答题卡上书写，要求字体工整。
笔违清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区城书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷阅读题一、现代文阅读（３６分）（一）论述类文本阅读（本题共３小题，９分）阅读下面的文字，完成１～３题。
中国文化的文学境界，蕴藏着中华民族思想、人生的根柢，从时间维度而言，不外楚辞、汉赋、唐诗、宋词、元曲、明清小说……而其发轫者，非《诗经》莫属。
这是华夏第一部诗歌总集，是中华文化生长的一个重要根源。
我在《追逐生命的火焰———梅尔诗的一种文本解读》中写道：以“诗”为“经”，“关关雎鸠，在河之洲。
窈窕淑女，君子好逑。
”以生命的萌动开篇，是人类历史总结的大智慧。
只要人类还存在，只要生命还在延续，诗歌之花就一定灿烂。
诗人从宇宙洪荒与自然景观的混沌中窥见了生命的秘密，在有机物与无机物的融合中窥见了生命的真谛。
诗的目的何在？众说纷纭，而其中“诗言志”“兴观群怨”“不学诗，无以言”，有广泛的基础。
进一步，则如孔子教导子贡的，“告诸往而知来者”。
一“往”一“来”，倒也是诗的精神之精妙内涵所在。
诚圣人言也。
孔子说：“诗三百，一言以蔽之，曰思无邪。
”这是要解决思想、精神、价值等问题。
2019-2020学年安徽省示范中学培优联盟高一上学期冬季联赛数学试题(解析版)
2019-2020学年安徽省示范中学培优联盟高一上学期冬季联赛数学试题一、单选题1．若全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，{}3B x R x =∈≥，图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2【答案】B【解析】图中阴影部分表示的意思为：U A B ⋂ð，根据集合运算关系即可得解. 【详解】根据图中阴影部分表示的意思为：U A B ⋂ð，()U ,3B =-∞ð， 所以{}U 1,2A B =I ð. 故选：B 【点睛】此题考查韦恩图表示的集合关系辨析，并求出图中表示的集合，属于简单题目，关键在于准确识别图中表达的意思.2．下列函数既是增函数，图象又关于原点对称的是( ) A ．y x x = B ．x y e =C ．1y x=D ．23y x =【答案】A【解析】A 符合题意，B 不关于原点对称，C 不是增函数，D 不关于原点对称. 【详解】y x x =，记()()(),f x x x f x x x f x =-=-=-，是奇函数，可化为22,0,0x x x x y ⎧=≥⎪⎨-<⎪⎩，当0x <，20y x =-<且是增函数，当0x ≥，20y x =≥且是增函数，所以函数在定义域内单调递增，所以A 正确；x y e =是非奇非偶函数，不关于原点对称，所以B 不正确；1y x=不是增函数，所以C 不正确； 23y x =是偶函数不是奇函数，不关于原点对称，所以D 不正确；故选：A 【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟记常见基本初等函数的性质对解题能起到事半功倍的作用.3．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D【解析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值．【详解】解：Q 已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选：D 。
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晨鸟教育
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高一数学上学期冬季联赛试
题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)
(1)已知全集U＝R，A＝{x|x<x}，B＝{x|2°≤v2}，则A∩( B)等于
ð
U
1 1 1 1
(A){x| ≤x<1} (B){x|－<x<1} (C){x|0<x≤} (D){x| <x<1}
2 2 2 2
(2)已知命题p：x0∈R，x0＋6>0，则p是
(A) x∈R，x＋6≥0 (B) x∈R，x＋6≤0
(C) x0∈R，x0＋6≥0 (D) x0∈R，x0＋6≤0
(3)已知α∈(0，)，β∈(，π)，则β－α的取值范围是
2 3
(A)( ，π)(B)(－，) (C)(－，π)(D)( ，)
3 6 2 6 3 2
e
(4)已知a＝，b＝log32，c＝log0.20.3，则
3
(A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>c>a (D)b>a>c
(⑤)集合M＝{x|x＝2a＋4b，a∈Z，b∈Z}，N＝{y|y＝8c＋4d，c∈Z，d∈Z}，则
Earlybird
晨鸟教育
(A)M＝N (B)M∩N＝(C)M N (D)N M
4 x
(6)函数f(x)＝x＋＋(x>0)的最小值为
x x2 4
10 17 26
(A)2 (B) (C) (D)
3 4 5
x
2
(7)关于函数f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)。
下列说法错误的是
e 2
(A)f(x)的图像关于y轴对称(B)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)，上单调递减
(C)f(x)的值域为(0，1] (D)不等式f(x)>e－2的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(8)某银行出售12种不同款式的纪念币，甲、乙、丙三人都各自收集这些纪念币。
下列说法正确的是
(A)若甲、乙、丙三人各自收集8款纪念币，则至少有1款纪念币是三人都拥有
(B)若甲、乙、丙三人各自收集9款纪念币，则至少有2款纪念币是三人都拥有
(C)若甲、乙两人各自收集8款纪念币，则至少有4款纪念币是两人都拥有
(D)若甲、乙两人各自收集7款纪念币，则他们两人合起来一定会收集到这12款不同的纪念币
1 x
(9)函数f(x)＝的大致图象是
ln
1 x
(10)“a≤0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(11)某人在10月1日8：00从山下A处出发上山，15：00到达山顶B处，在山顶住宿一晚，10月2日8：00从B处沿原上山路线下山，15：00返回A处.这两天中的8：00到15：00，此人所在位置到A处的路程S(单位：千米)与时刻t(单位：时)的关系如下图所示：
Earlybird
给出以下说法：
①两天的平均速度相等；
②上山途中分3个阶段，先速度较快，然后匀速前进，最后速度较慢；
③下山的前一半时间的平均速度小于2千米/小时；
④下山的速度越来越慢；
⑤两天中存在某个相同时刻，此人恰好在相同的地点.其中正确说法的个数为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(12)记方程①：x2＋ax＋1＝0，方程②：x2＋bx＋2＝0，方程③：x2＋cx＋4＝0，其中a，b，c是正实数。
若b2＝ac，则“方程③无实根”的一个充分条件是
(A)方程①有实根，且②有实根(B)方程①有实根，且②无实根
(C)方程①无实根，且②有实根(D)方程①无实根，且②无实根
第II卷(非选择题共90分)
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
)
1 1
(13) 的值为。
1 log 7 1 log 2
2 7
(14)能说明“若函数f(x)和g(x)在R上都是单调递增，则h(x)＝f(x)g(x)在R上单调递增”为假命题的函数f(x)和g(x)的解析式分别是。
9
(15)设a>0，函数f(x)＝x＋在区间(0，a]上的最小值为m，在区间[a，＋∞)上的最小值为
x
n。
若m＋n＝16，则a的值为。
(16)已知a，b都是正数，且(a＋1)(b＋1)＝4，则ab的最大值是，a＋2b的最小值是。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
)
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(17)(本题满分10分)
1
已知集合A＝{x∈N*|－3<log2 ≤－1}，集合B＝{x|x2－ax＋10>0}，设p：x∈A，q：x∈B。
x
若p是q的充分条件，求实数a的取值范围。
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)＝x－2＋|3－x|。
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
1 1 2
(2)若f(x)的最小值为m，正数a，b满足ab＝m，求的最小值。
a b a b
(19)(本题满分12分)
已知函数f(x)＝4x－a·2x＋2＋3(a∈R)。
(1)若f(x)>2x，求a的取值范围；
(2)求函数f(x)在[0，1]的最小值。
(20)(本题满分12分)
已知函数f(x)＝log9( ＋x)－m。
x2 9
(1)当m为何值时，函数f(x)为奇函数？并证明你的结论；
(2)判断并证明函数f(x)的单调性；
(3)若g(x)＝x·f(x)＋x2－18，解不等式：g(x)<0。
(21)(本题满分12分)
设a>0，函数f(x)＝。
x a x a
(1)当－a≤x≤a时，求证：≤f(x)≤2 ；
2a a
(2)若g(x)＝f(x)－b恰有三个不同的零点，且b是其中的一个零点，求实数b的值。
(22)(本题满分12分)
随着我国人民生活水平的提高，家用汽车的数量逐渐增加，同时交通拥挤现象也越来越严重，对上班族的通勤时间有较大影响。
某群体的人均通勤时间，是指该群体中成员从居住地到工作地的单趟平均用时，假设某城市上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，采用公交方式通勤的群体(公交群体)的人均通勤时间为40分钟，采用自驾方式通勤的群体(自驾群体)的人均通勤时间y(单位：分钟)与自驾群体在S中的百分数x(0<x<100)的关系为：y＝
Earlybird
晨鸟教育。
30 0 x
35
，
2450
2x 110，35 x 100
x
(1)上班族成员小李按群体人均通勤时间为决策依据，决定采用自驾通勤方式，求x的取值范围(若群体人均通勤时间相等，则采用公交通勤方式)。
(2)求该城市上班族S的人均通勤时间g(x)(单位：分钟)，并求g(x)的最小值。
Earlybird
晨鸟教育
Earlybird。