复数的代数形式及运算

第三节 复数的代数形式及运算

【目录】

题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用

三、解答题

题型1 复数代数形式的运算

1．计算：（1）

5

4)31()22(i i -+； （2）

1996

)12(32132i i

i

-+++-。 解：（1）原式=

==-=+--+=

-⋅+w w

i i i i i 22)2()

2

321(2])1[()

2

31(2)1(5

25

225

4

i i 31)2321(2+-=+-。 （其中ω=i 2

3

21+-

）

。 （2）原式=998998

9982)22(])12[(321)

321(i i i i i i

i i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.

2．设f(x, y)=x 2

y-3xy+y 2

-x+8，求：

（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1

的值。

解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2

-(1+i)+8

=2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ；

（2）若x=y ，则f(x, y)=x 3

-2x 2

-x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2

=(-5i)2

，即x 2

-4x+9=0，

而x 3

-2x 2

-x+8=(x 2

-4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i,

∴[f(2-5i, 2-5i)]-1

=

i i i 108

5

10872165221614)52()14(52142

2--=--=

+---. （3）∵(1-i 3)10

=1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2

-C 3

10·(i 3)3

+…，∴(1-i 3)10

的展开式中奇数项之和

为复数(1-i 3)10

的实数。又(1-i 3)10

=[-2·10)]2321(i +-

=210ω10=210ω=210)2

3

21(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10

的展开式中各奇数项的和为-29

。

3．求同时满足下列两个条件的所有复数z ： （1）z z 10+

是实数，且1

z 10

+≤6；（2）z 的实部和虚部都是整数

解：设t=z z 10+

，则t ∈R ，且z 2-t ·z+10=0，由1

z 10+≤6得1

-40<0，则z 就是方程z 2

-t ·z+10=0的两个虚根，即z=i t t 240212-±

，由题意2402

1,2t t -都是整数，得t=2或6，所以当t=2时，z=1±3i ，当t=6时，z=3±i

解法二：设z=x+yi(x, y ∈Z )，由22101010y x x x yi x yi x z z ++=+++=+

+i y

x y

y )10(22+-， 则z z 10+

∈R ，得2

210y x y y +-=0，解得y=0或x 2+y 2

=10，当y=0时，x x z z 1010+=+，由基本不等式可知：x x 10+

≥210或x x 10+≤2-10，于已知1

=10时，z

z 10+=2x ，由1

⎨⎧±==31y x 或⎩⎨⎧±==13y x ，所以，z=1±3i 或z=3±i

题型2 复数代数形式的综合应用

1．设等比数列z 1, z 2, z 3, …, z n ……其中z 1=1, z 2=a+bi ，z 3=b+ai(a, b ∈R 且a>0). （1）求a, b 的值；

（2）试求使z 1+z 2+…+z n =0的最小自然数n ； （3）对（2）中的自然数n ，求z 1·z 2·…·z n 的值。

解：（1）∵ z 1, z 2, z 3成等比数列，∴z 22=z 1z 3，即(a+bi)2

=b+ai ，a 2

-b 2

+2abi=b+ai,

∴⎩⎨⎧==-.

2,22a ab b b a (a>0)，解得a=23

, b=21。

（2）∵z 1=1, z 2=

i 2123+，∴公比q=i 2123+。于是z n =(i 2

123+)n-1

。 z 1+z 2+…+z n =1+q+q 2

+…+q n-1

=q

q n --11=0，∴q n

=(i 2123+)n =(-i)n (i 2321+-)n =1，即n 即是3的倍数又是

4的倍数。故n 的最小值为12。

（3）z 1z 2…z 12=1·(

i 2123+)·(i 2123+)2…(i 2

123+)11