大学物理上第2章2-动量--角动量 守恒定律
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（2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认 为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）
动量守恒的分量式：
Px mivix 常量 Py miviy 常量 Pz miviz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
力矩 ( Moment of Force /Torque )
j)
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
第 i 个质点： 质量mi
Fi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
i
由质点动量定理：
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mi vi mivio
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
动量（Momentum） ：运动质点的质量与
速度的乘p 积。mv
单位：kg·m·s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p
n
pi
n
mivi
i1
i1
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积
⑴ 恒力的冲量：
I F (t2 t1)
⑵ 变力的冲量：
I
t2
F
(t)
dt
t1
单位：N·s
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
动量定理的微分式：dtdp
dt F
dt
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从
力mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
L
θT
o
F
mg
力矩
拉力T
重力mg
合力F
o'点
0
o点 TLcosθ sinθ ⊙
oo'轴
0
mgLsinθ × mgLsinθ ×
FLcosθ × 0
0
0
讨论力矩时，必须明确指出是对那点或那个 轴的力矩
§2-3 角动量守恒定律 L P
2-3-1 质点的角动量
质点系的动量定理：
t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时，
有 P P0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
P
mivi 常矢量
条件： Fi 0
说明：（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个
质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
同高从静态开始往上爬
两人质量相等
质点系
忽略轮、绳质量及轴摩擦
m1＝m2 合外力矩为零，角动量守恒
系统 的末
m2v2R m1v1R
态角 动量
得
系统的初 态角动量
不论体力强弱，两人等速上升
若m1 m2
系统受合外力矩不为 零，角动量不守恒
可应用质点系角动量定理进行具体分析 讨论。
开普勒三定律和万有引力定律
人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观 察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）进 行了连续20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据， 总结出三条行星运动规律。
MA
F
M rF
Or
d
F 对转轴 OA 的力矩同 F
对O点的力矩大小是相等的
2) 力不在转动平面内
M =r ×F
F1
F
= r × ( F1+F2 )
= r × F1+ r × F2 转动 平面
r
F2
M r F
r × F11只能引起轴自身的 变形，而对转动无贡献。
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重
证
dS
1
r
dr
2
dS
1
r
dr
1
r v
dr
r
dt 2 dt 2
dS
1
r
mv
1
L 有心力作用下角动量守恒
dt 2m
2m
dS 恒矢量
dt
由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零， 故角动量守恒，亦即
dS L const dt 2m
1. 力对参考点的力矩
M0 r F
Nm M
力矩的大小：
o
M0 rF sin a
r
F
a
力矩的方向：
由右手螺旋关系 确定，垂直于 r 和 F 确定的平面
MF
r
2．力对轴的矩
力
F
对点的力矩
M
0
在过点的
任一轴线上的投影。
M A M O cos
A
M0
MA
O
1) 力在转动平面内
这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律.实 际上，此定律与角动量守恒定律等价.
太阳在焦点位置的证明
如图，由解析几何知，椭圆方程为
x 2
y 2
1
a b
p r2
两焦点在长轴上位置坐标为 c
c a2 b2
v2
v1 r1
设行星远日点和近日点的距离分别为
p0
p
动量定理的积分式：
I
t F dt
to
p pppo 0dp mvttoFm dvt0
例1：如图所示，质量 m、以速率 v 作匀速率圆周运动 的小球，求1/4周期内向心力对小球的冲量？
法1：根据动量定理
mvi
I p P2 P1 I mv(i j)
1,开普勒行星运动定律
(1)轨道定律：每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道
运行。
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等.
(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比
于公转周期T的平方.即
T
3
a2
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相
等时间内扫过的椭圆面积相等 。
设：t时刻质点的位矢 r ,
质点的动量mv
r
运动质点相对于参
考原点O的角动量
定义为：
L
r
p
r
m
v
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的 投影，称为质点对轴线的角动量。
LA L cos
质点系的角动量
设各质点对O点r1的, 位r2矢, 分别, r为n
动量分别为 p1 , p2 , , pn
其中：
fi 0
系统总末动量：
P
mi vi
系统总初动量： P0
mi vio F1
F2
f12 m1
f21 m2
t
合外力的冲量：
t0
Fidt
t
t0 Fidt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
A
L
LA
O
n n
L Li (ri pi )
i 1
i 1
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 m，速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的
角动量
o' l
α
o
v
m
Lo mvl sina , Lo' mvl, Loo' mvl sina ,
在讨论质点的角动量时，必须指明是对那 点或那个轴的角动量
mv j
法2：根据冲量的定义
向心力：f = mv2 r2
r
= mv2 r
(cos
i sin
j)
I
f
dt
mv2
/2
(cos
i sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr0
I mv ( sin |0 /2 i cos |0 /2
d j) dt
j)
I
mv(i
考虑dm段绳子与地面作用的情况：
Ndt 0 (dm v)
N dm v dy v
dt
dt
v2 2g(l y)
Y
N N 2 g(l y) j
y l 绳子对地面的压力为:
N G 3 g(l y) j 3G
2-2-3 动量守恒定律
问题的提出
地 球 上 的 单 摆
大小会变
太 阳 系 中 的 行 星
变变 变
大小未必会变，靠什么判断？
牛顿定律 角动量定理：
dL
dr p
dr p r dp
dt dt
dt
dt
式中
dr p v p 0,
dp
F
dt
dt
dL r F M dt
度为 v1、v2.由机械能守恒，有
r1、r2 ，对应的速
1 2
mv12
G
Mm r1
1 2
mv22
G
Mm r2
p
v22
v12
2GM
1 r2
1 r1
r2
v2
v1 r1
由角动量守恒，有 r1 p1 r2 p2
r1mv1 r2mv2
v2 r1 v1 r2
因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。
2-3-3 角动量定理 角动量守恒定律
M0
dL dt
质点的角动量定理：
质点对某一参考点的角动量随时间的变化率
等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。
角动量定理的积分式：
t2
t1
M 0dt
L2
L1
t2
t1
M
0dt
称为“冲量矩”
质点系角动量定理的积分式：
微分式：
Fi
dP dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
[例]：一柔软绳长 l ，线密度 ，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力等于已落下绳子的重量的3倍。
解：选地面为参照系，坐标系如图
设 t 时刻有长为 l-y 的绳子落到地面上，则该段
绳子对地面的重力为 G g(l y) j
根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有
m v22
0
G
Mm r22
0
b2 a
解得
r1r2 a0 b2
考虑到 r1 r2 2a ，最后求得
r2 a a2 b2 a c
这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦 点位置.这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学 理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反 比律和运动定律两者的正确性.
t2
t1
Mdt
L2
L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时
间内的角动量的增量 。
如果 M 0
则 L 恒矢量
质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始
终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
§2-1 牛顿定律 §2-2 动量守恒定律
§2-2-1 动量 §2-2-2 动量定理 §2-2-3 动量守恒定律 §2-2-4 火箭飞行原理 §2-2-5 质心与质心运动定理
§2-3 角动量守恒定律 §2-4 能量守恒定律
§2-5 守恒定律和对称性
§2-2
2-2-1 动量
动量守恒定律
车辆超载容易 引发交通事故
动量守恒的分量式：
Px mivix 常量 Py miviy 常量 Pz miviz 常量
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
力矩 ( Moment of Force /Torque )
j)
2．质点系的动量定理
设有 n 个质点构成一个系统
第 i 个质点： 质量mi
Fi
内力 fi
初速度 末速度
外力
vviio
Fi
i
由质点动量定理：
fi
t
to
Fi
fi
dt mivi
mi vio
t
to Fi fi dt mi vi mivio
车辆超速容易 引发交通事故
结论： 物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物 体的质量有关。
动量（Momentum） ：运动质点的质量与
速度的乘p 积。mv
单位：kg·m·s-1
由n个质点所构成的质点系的动量：
p
n
pi
n
mivi
i1
i1
2-2-2 动量定理
1．质点的动量定理
冲量：作用力与作用时间的乘积
⑴ 恒力的冲量：
I F (t2 t1)
⑵ 变力的冲量：
I
t2
F
(t)
dt
t1
单位：N·s
⑶ 平均力的冲量：
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
动量定理的微分式：dtdp
dt F
dt
如果力的作用时间从 t0 t，质点动量从
力mg和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
L
θT
o
F
mg
力矩
拉力T
重力mg
合力F
o'点
0
o点 TLcosθ sinθ ⊙
oo'轴
0
mgLsinθ × mgLsinθ ×
FLcosθ × 0
0
0
讨论力矩时，必须明确指出是对那点或那个 轴的力矩
§2-3 角动量守恒定律 L P
2-3-1 质点的角动量
质点系的动量定理：
t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时，
有 P P0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
P
mivi 常矢量
条件： Fi 0
说明：（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个
质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
同高从静态开始往上爬
两人质量相等
质点系
忽略轮、绳质量及轴摩擦
m1＝m2 合外力矩为零，角动量守恒
系统 的末
m2v2R m1v1R
态角 动量
得
系统的初 态角动量
不论体力强弱，两人等速上升
若m1 m2
系统受合外力矩不为 零，角动量不守恒
可应用质点系角动量定理进行具体分析 讨论。
开普勒三定律和万有引力定律
人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观 察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe ,1546-1601）进 行了连续20年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据， 总结出三条行星运动规律。
MA
F
M rF
Or
d
F 对转轴 OA 的力矩同 F
对O点的力矩大小是相等的
2) 力不在转动平面内
M =r ×F
F1
F
= r × ( F1+F2 )
= r × F1+ r × F2 转动 平面
r
F2
M r F
r × F11只能引起轴自身的 变形，而对转动无贡献。
练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重
证
dS
1
r
dr
2
dS
1
r
dr
1
r v
dr
r
dt 2 dt 2
dS
1
r
mv
1
L 有心力作用下角动量守恒
dt 2m
2m
dS 恒矢量
dt
由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零， 故角动量守恒，亦即
dS L const dt 2m
1. 力对参考点的力矩
M0 r F
Nm M
力矩的大小：
o
M0 rF sin a
r
F
a
力矩的方向：
由右手螺旋关系 确定，垂直于 r 和 F 确定的平面
MF
r
2．力对轴的矩
力
F
对点的力矩
M
0
在过点的
任一轴线上的投影。
M A M O cos
A
M0
MA
O
1) 力在转动平面内
这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律.实 际上，此定律与角动量守恒定律等价.
太阳在焦点位置的证明
如图，由解析几何知，椭圆方程为
x 2
y 2
1
a b
p r2
两焦点在长轴上位置坐标为 c
c a2 b2
v2
v1 r1
设行星远日点和近日点的距离分别为
p0
p
动量定理的积分式：
I
t F dt
to
p pppo 0dp mvttoFm dvt0
例1：如图所示，质量 m、以速率 v 作匀速率圆周运动 的小球，求1/4周期内向心力对小球的冲量？
法1：根据动量定理
mvi
I p P2 P1 I mv(i j)
1,开普勒行星运动定律
(1)轨道定律：每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道
运行。
(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等.
(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比
于公转周期T的平方.即
T
3
a2
证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相
等时间内扫过的椭圆面积相等 。
设：t时刻质点的位矢 r ,
质点的动量mv
r
运动质点相对于参
考原点O的角动量
定义为：
L
r
p
r
m
v
质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的 投影，称为质点对轴线的角动量。
LA L cos
质点系的角动量
设各质点对O点r1的, 位r2矢, 分别, r为n
动量分别为 p1 , p2 , , pn
其中：
fi 0
系统总末动量：
P
mi vi
系统总初动量： P0
mi vio F1
F2
f12 m1
f21 m2
t
合外力的冲量：
t0
Fidt
t
t0 Fidt P P0 P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
A
L
LA
O
n n
L Li (ri pi )
i 1
i 1
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 m，速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的
角动量
o' l
α
o
v
m
Lo mvl sina , Lo' mvl, Loo' mvl sina ,
在讨论质点的角动量时，必须指明是对那 点或那个轴的角动量
mv j
法2：根据冲量的定义
向心力：f = mv2 r2
r
= mv2 r
(cos
i sin
j)
I
f
dt
mv2
/2
(cos
i sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr0
I mv ( sin |0 /2 i cos |0 /2
d j) dt
j)
I
mv(i
考虑dm段绳子与地面作用的情况：
Ndt 0 (dm v)
N dm v dy v
dt
dt
v2 2g(l y)
Y
N N 2 g(l y) j
y l 绳子对地面的压力为:
N G 3 g(l y) j 3G
2-2-3 动量守恒定律
问题的提出
地 球 上 的 单 摆
大小会变
太 阳 系 中 的 行 星
变变 变
大小未必会变，靠什么判断？
牛顿定律 角动量定理：
dL
dr p
dr p r dp
dt dt
dt
dt
式中
dr p v p 0,
dp
F
dt
dt
dL r F M dt
度为 v1、v2.由机械能守恒，有
r1、r2 ，对应的速
1 2
mv12
G
Mm r1
1 2
mv22
G
Mm r2
p
v22
v12
2GM
1 r2
1 r1
r2
v2
v1 r1
由角动量守恒，有 r1 p1 r2 p2
r1mv1 r2mv2
v2 r1 v1 r2
因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。
2-3-3 角动量定理 角动量守恒定律
M0
dL dt
质点的角动量定理：
质点对某一参考点的角动量随时间的变化率
等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。
角动量定理的积分式：
t2
t1
M 0dt
L2
L1
t2
t1
M
0dt
称为“冲量矩”
质点系角动量定理的积分式：
微分式：
Fi
dP dt
注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。
[例]：一柔软绳长 l ，线密度 ，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力等于已落下绳子的重量的3倍。
解：选地面为参照系，坐标系如图
设 t 时刻有长为 l-y 的绳子落到地面上，则该段
绳子对地面的重力为 G g(l y) j
根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有
m v22
0
G
Mm r22
0
b2 a
解得
r1r2 a0 b2
考虑到 r1 r2 2a ，最后求得
r2 a a2 b2 a c
这表明太阳位置坐标为（-c），这正是几何上的椭圆焦 点位置.这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学 理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反 比律和运动定律两者的正确性.
t2
t1
Mdt
L2
L1
作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时
间内的角动量的增量 。
如果 M 0
则 L 恒矢量
质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始
终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
§2-1 牛顿定律 §2-2 动量守恒定律
§2-2-1 动量 §2-2-2 动量定理 §2-2-3 动量守恒定律 §2-2-4 火箭飞行原理 §2-2-5 质心与质心运动定理
§2-3 角动量守恒定律 §2-4 能量守恒定律
§2-5 守恒定律和对称性
§2-2
2-2-1 动量
动量守恒定律
车辆超载容易 引发交通事故