高等土力学(李广信)5.4 土的三维固结

2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
方程及未知数个数
2us
(
'
G' G'
)
v
x
1 G'
u x
0
未知数4个：
us, vs ws ：土骨架
2vs
(
'
G G'
'
)
v
y
1 G
'
u y
0
的位移 u：孔隙水压力 三个方程
2ws
(
'
G
G
'
'
)
v
z
1 G'
u z
少一个条件
(4)
4. 饱和土体的连续性方程
u t
Cv2
2
w
kE ' (1 v')(1
2v'
)
Cv1
w
kE' (1 ')
(1 v' )(1 2v'
)
Cv3
3 w
kE ' (1
2v' )
Cv2
kE '
2 w (1 v' )(1
2v' )
Cv1
w
kE'(1 ')
(1 v' )(1 2v'
)
Cv1
2(1 v' )Cv2
1 v' 31 v'
Cv3
0
2vs
'
(
G' )
v
1
u 0
G' y G' y
(4)
2 ws
(
'
G
G
'
'
)
v
z
1 G'
u z
Cv32u
u t
1 3
t
(5)
5. 二维与一维形式 平面应变
cv22u
u t
1 2Biblioteka Baidu
t
cv2
2
w
kE' (1 v' )(1
2v' )
2 2 2 x 2 z 2
2 x z
一维形式：单向渗流固结问题
5.4.1 三向压缩比奥（Biot）固结理论
1. 平衡方程
z
z
z
z
d
z
ij, j fi
fi为体积力,以土 体为隔离体
x
y
z z u
图5－46 单元体上的应力
以土骨架作隔离体的平衡方程
' x
yx
zx
u
0
x y z x
xy
' y
zy
u
0
x y z y
(1)
xz
yz
' z
2.位移协调条件：应变-位移条件
x
u s x
， y
vs y
， z
ws z
yz
( ws y
v s z
)
zx
u s (
z
ws x
)
xy
( vs x
u s y
)
(2)
u s , vs , ws ：土骨架在x,y,z 方向的位移
3.土骨架的应力应变关系-线弹性广义胡克定律
x
1 E'
5.4 土的三维固结
5.4.1 三向压缩比奥（Biot）固结理论 5.4.2 太沙基（Terzaghi）-伦杜立克
（Rendulic）准三维固结理论（扩散方程） 5.4.3 两种固结论理的比较——原理与条件 5.4.4 三向固结的轴对称问题——砂井预
压固结计算
Terzaghi一维固 结曲线
图5－58 圆形基础下土层的三维固结曲线 一维（单向）与三维固结计算的区别
v' 0.5 Cv1 Cv2 Cv3
v' 0 Cv1 2Cv2 3Cv3
3. 固结系数的比较
Cv1
w
kE'(1 ')
(1 v' )(1 2v' )
u
x y z z
' x
yx
zx
u
0
x y z x
xy
' y
zy
u
0
x y z y
xz
yz
' z
u
x y z z
三个方向上的渗透力：
ixw, iyw, izw
u , u , u x y z
u: 为超静水压力时， 为浮容重 ；
u: 为总水压力（包括静水压力）时， 为饱和容重sat。
3u
Cv32u
u t
1 3
t
(5)
Cv3
3
w
kE' (1
2v' )
Cv32u
u t
1 3
t
(5)
Cv3
3
kE' w (1
2v' )
（1） Cv3是三维固结系数；
（2） x y z 是时间t 的函数。
比较：
Cv2u
u t
单向固结
微分方程
2us
(
'
G
G
'
'
)
v
x
1 G'
u x
[
' x
v
'
(
' y
' z
)]
y
1 E'
[
' y
v
'
(
' x
' z
)]
z
1 E'
[
' z
v
'
(
' x
' y
)]
yz
yz
G'
yz
.2(1 E'
v
'
)
ij
1
E
ij
E
kk
ij
zx
zx
G'
zx
.2(1 E'
v
'
)
(3)
xy
xy
G'
xy .2(1 v' )
E'
x
2G' ( x
应力变化。
5.4.2 太沙基（Terzaghi)-伦杜立克 （Rendulic）准三维固结理论(扩散方程)
根据一维固结论理，将固结方程进行重要的 简化，解决二、三维固结问题。
1. 变形条件 骨架体应变：
v
p K
3u 3K
K E
3(1 2 )
骨架体变率： v 1 2 ( 3 u )
Cv12u
u t
1 2
t
Cv1
w
kE'(1 ')
(1 v' )(1 2v'
)
1 z
对于荷载一次施加，并且不变
1 0 t
Cv12u
u t
可见，此时比奥理论与太沙基单 向固结理论一致
6.比奥固结理论原理及其在数值计算中应用
（1）未知变量：结点的 us, vs, ws; u； （2）有效应力原理； （3）平衡方程； （4）连续性方程； （5）变形协调条件； （6）本构模型：线性，非线性，弹塑性； （7）时间：从t=0开始，每次增加t； （8）应力应变的非线性：不同时刻参数随有效
v' 1 2v'
v)
或 者
y
2G' ( y
1
v' 2v
'
v)
z
2G' ( z
v' 1 2v'
v)
xy G' xy， yz G' yz， zx G' zx
ij 2Gij kkij (3ˊ)
或者
ij
1
E
ij
E
kk
ij
(3)
ij 2Gij kkij
G E
2(1 )
E (1 )(1 2 )
[vx dxdydz vy dydxdz vz dzdxdy]dt v dtdxdydz
x
y
z
t
流出水量＝体积压缩
vx
k
w
u x
,vy
k
w
u y
, vz
k
w
u z
达西定律
k 2u v
w
t
连续性方程
k 2u v
w
t
v
p K
1 2v' E'
3u
x y z
v
t
1 2v' E'
t
平衡、变形协调及本构关系三方程叠加
2u s
' G'
( G' )
v
x
1 G'
u x
0
2vs ( ' G' ) v 1 u 0
G' y G' y
(4)
2ws
' G'
( G' )
v
z
1 G'
u z
'
v'E'
(1 v' )(1 2v' )
G'
E' 2(1 v' )
t E t t
假设：
0 v 31 2 u
t
t
E t
骨架体应变率：
v 31 2 u
t
E t
连续性方程：
k 2u v
w
t
微分方程：
Cv32u
u t
kE '
Cv3 3 w (1 2v' )
2. 二维与一维的形式
二维
一维
2u 2u u Cv2 ( x2 z2 ) t
Cv1
2u z 2