工程数学(线性代数)综合练习题

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北京邮电大学高等函授教育、远程教育

《工程数学》综合练习题

通信工程、计算机科学与技术专业（本科）

《线性代数》部分

一、判断题：

1.四阶行列式 D =

000000000

d

c b a = abcd. ( )

2.n 阶行列式D =

1

1

1

1

1

1

000000

00

00

000

00

0000

01

3

2

1

n

n λλλλλ-

=.21n λλλ

( )

3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =

( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(2

2

2

B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.

(

)

6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1

B A =-

( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[]

)()(1

1

1

'='---A

B

AB .

( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.

(

)

2

12.若n 阶可逆矩阵A =⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝

⎛n λλλ

2

1,则.11

2

111

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=----n A λλλ

( )

13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.

( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. (

)

15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关.

( )

16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示.

( ) 17.等价向量组所含向量个数相同.

(

)

18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价.

( )

19.若n m ⨯矩阵A 有一个r (r

( ) 20.任意n m ⨯矩阵A 的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解.

(

)

23.若线性方程组AX=B (A 为n m ⨯矩阵,X =),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x )满足 Rank ),()(A Rank B A = 则此方程组有解.

( )

24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. (

)

25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解.

( ) 26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解.

(

)

3

二、填空题：

1. 四阶行列式 10

1 3

2 0235 120 26 437

11

7

8

D ---=

=----_____________________.

2. 五阶矩阵,0

021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 其中 ,10

010103,54

23

21⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=A A 则 =1A _______, =2A ________,

=A _____________.

3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________.

4. 设矩阵()

33

1

0132 101

1ij A a ⨯-⎛⎫ ⎪

== ⎪ ⎪⎝

⎭

,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为________________,A 的顺序主子式为__________________________. 5. 设三阶矩阵,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=b a

c a c b

c b a

A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________.

6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当321,,a a a 为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示.

7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关.

8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.