六年级奥数(下)第三讲 最短路线问题_题型归纳
六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
8-8 最短路线教学目标1.准确运用“标数法”解决题目2.培养学生的实际操作能力．知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．例题精讲例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？解析】（方法一）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：A C D GB 、AC F G B、 A E F G BA C F I B、 A E F I B、 A E H I B这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D 、从 A 到 E 、从 A 到H 也都只有一条路线．我们把数字“ 1 ”分别标在C、D、E、 H 这四个点上．②看 F 点：从 A 点出发到 F ，可以是 A C F ，也可以是 A E F ，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“ 2”（2=1 1）．③ 看G 点：从 A G 有三种走法，即： A C D G 、 A C F G 、 A E F G．在G点标上数字“ 3”（3=1 2）．④看I 点：共有三种走法，即：A C F I 、 A E F I 、 A E H I ，在I 点标上“ 3” （3=1 2）．⑤看B点：从上向下走是G B ，从左向右走是I B ，那么从出发点 A B有六种走法，即： A C D G B、 A C F G B、A E F G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B，在B点标上“ 6”（ 6 33），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点 A 到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共解析】 共有 9种，即： A A B O C 、B O DC 、A D OBC ,最短的路是: A OC 、 A O B C 、 A B CA D C 、 A D O C C ．解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线 A →C →D →E → F → B 来走，这条路线共有 5条线段，每次走 一步或两步，要求从 A 走到 B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根 据“上楼梯”问题的解法可得在 A →C →D →E →F → B 这条路线中有 8 种符合条件的走法．而对于从 A 到 B 的其他每条最短路线而言，每一条路 线都有 5 条线段，所以每条路线都有 8 种走法．进一步：从 A 到B 共有多少条最短路线？这正是 “最短路线”问题！用“标 数法”来解决，有 10 条．综上所述，满足条件的走法有 8 10 80种．巩固】 从A 到 B 的最短路线有几条呢？解析】 图中从 A 到B 的最短路线都为 6 条．巩固】 有一只蜗牛从 A 点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C 点,中间不许 爬回 A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短 的是哪条呢？有多少种不同走法？D DE EFBDEACFB AC CB例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？解析】 从学校到少年宫的最短路线， 只能向右或向下走． 我们可以先看 A点：从 学校到 A 点最短路线只有 1种走法，我们在 A 点标上 1．B 、E 、F 、G 点同 理．再看 J 点：最短路线可以是 A J 、E J 共2条，我们在 J 点标上 2．我 们发现 2 1 1正好是对角线 A 点和 E 点上的数字和．所有的最短路线都符 合这个规律，最终从学校到少年宫共有 10 种走法．巩固】 方格纸上取一点 A 作为起点，再在 A 的右上方任取一点 B 作为终点，画一条由 A 到B 的最短路线，聪明的小朋友， 你能画出来吗？总共能画出几条 呢？解析】 根据“标号法”可知共有 10 种，如图．学校学校1 1 12 3J136 1 4 I10BAAC D 少年宫巩固】如图，从 F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？G分析】 共 有 115种．小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！北村“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此， 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄 山最近的道路共有 10 条．2456 3 6 10 1521 4 10 20 3565 1535 7126 北村1 1 11 1 1 1巩固】 分析】 根 据“对角线法”知共有 126种，如图．南村北京1 1 12 1122 3241 3710黄山解析】北京巩固】从甲到乙的最短路线有几条？解析】有11条．例 4 】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？甲地乙地河流解析】本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．例 5 】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？解析】我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．学校2 310 103 64 105 15 25 356 21 46 81甲学校11拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从 A 到 B 共有几条最短路线呢？解析】 此 题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有 41 条．例 6】 阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发 到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫 少年宫解析】 采用对角线法（如图） ．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？解析】 “对角线”法（如图） ，共 14 条．例 7 】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；游乐场游乐场14 59 5243 211 1 1 小猪家第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从 学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？仍 然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有 16条；第二天（必须 经过公园）共有 8条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条．大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶， 可是市中心在修路 （城市的街道 如图所示 ）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友， 请你们快想想吧！方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条．解析】巩固】市中心学校解析】 （方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共 心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66（条）． 126条．必经过市中515 35 70 126 410 203556 3610 市中心152123456学校养老院111学校 养老院养老院养老院5 15 25 40 661 4 10 10 15 2651 3 6111 2 3 4 5 6学校 1 1 1例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？分析】如图，共有716种．例 9】如图，从A到B沿网格线不经过线段CD和EF 的最短路径的条数是多少条？解析】由于不能经过线段CD和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除然后再在拆除了CD和EF以后的网络图中进行标数（如下图所示）．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78 条．Y18 3685170 342 71617 28 49 85 172 37416 21 2 36 87 2021 5 15 15 51 115151 4 10 36 6413 6 10 15 21 281 2 3 4 5 6 7X 1 1 1 1 11CD和EF ，巩固】下图为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B 处的最短路线共有多少条？解析】从A到B的最短路线有431条.解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．B431B174110 5564 55 55 30 129C25 18 12 7 398 7 6 5 4 3 2 111 1 1 1 1 1 1例 10 】按图中箭头所指的方向行走，从A到I 共有多少条不同的路线？1742571910A通过标数法我们可以得出从 A 到I 共有 29条不同的路径．例 11】 按图中箭头方向所指行走，从 A 到G 有多少种不同的路线？解析】 运 用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图从 A 到 G 共有 21 条不同的路线．巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从 X 到Y 有多少种不同的路线？ ⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你 能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？C EBAEB2 1AC GG分析］ ⑴利用标数法求得 X 到Y 有34种不同的路线，如下图左所示． ⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路 径共有 10 条．例 12】 ⑴如下图左，如果只允许向下移动，从 A 点到 B 点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从 A 点到 B 点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方， 问共有多少种不同的走法？34Y入口出口5 8 31X13AB解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22 种不同的走法，如下图右．巩固】 图中有 10个编好号码的房间， 你可以从小号码房间走到相邻的大号码房 间，但不能从大号码房间走到小号码房间， 从 1号房间走到 10 号房间共 有多少种不同走法？分析】 图 中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规 定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络 图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从 1 号走到 10号 房间共有 22 种不同的走法．A68 BB 22 16 61例 13】一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解析】 蜜 蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行 ”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89种不同的回家方法 ．例 14 】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母， 当沿着这些线段行走时，正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条？PP LPP P L E L P分析］ 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运 用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径．P P L P P A P L E L P P A1311 2 7 2 11 2 4 15 4 2 1 2 4 8 31 8 4 2 1铺垫］图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．我 1 爱 1 希 望 1 杯1 1 1 1爱 1 希 2 望 3 杯 41234希 望 杯 希1望1望 3杯4杯6 望 1杯1 4分析］ 从我（ 1个）、爱（ 2个）、希（ 3个）、望（ 4个）、杯（ 5个）中组成“我 爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1 4 6 4116（种）．拓展］ 如 下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“ Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“ Einstein ” .1i E1 1 i2 i 1 1s n3 n 3 n 1 t4 s t 6 s t 4 s 10 t 10 t ee 1i 0 2i 0i 10 3n 0 i 3n 0 i分析］ 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ”，每一种拼法都 对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有 30条，所以共有 30 30 60（种） 不同拼法 . 注意图中的三个字母 “i ”， 左、右的两个字 母“i ”只能由一 个字母。
六年级下册奥数试题——最短路线含答案人教版
教学目标1 .准确运用“标数法”解决题目.2 .培养学生的实际操作能力.知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如 果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你 就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你 要记住两点：⑴两点之间线段最短.⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话， 你就做到了省时省力.例题精讲【例1】一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近.小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？HI B 不论怎样走，最短也要走长方形AHB D 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ;在 竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB .这样我们走的这条路线才是最短路线,为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和 向下走,所有最短路线：A f C f D f G fB 、 A fC f F f G f B 、 A f E f F f G f B8-8最短路线/F1 F1 _________2J3 ---------6 【解析】（方法一）从A 点走到B 点 AADEA f C f F f I f B、 A f E f F f I f B、 A f E f H f I f B这种方法不能保证“不漏”.如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的.（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循.①看°点：只有从A到C的这一条路线.同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线.我们把数字“1”分别标在C、D、E、H 这四个点上.②看F点：从A点出发到F，可以是A f C f F，也可以是 A f E f F，共有两种走法•那么我们在F点标上数字“2”（2=1 +1）・③ 看G点：从A f G有三种走法，即：A f C f D f G、A f C f F f G、A f E f F f G•在G点标上数字“ 3”（3=1 + 2）・④看I点：共有三种走法，即：A fC f F f I、A f E f F f I、A f E f H f I，在I点标上“ 3 ”（3=1 + 2）,⑤看B点：从上向下走是G f B，从左向右走是1f B，那么从出发点A f B有六种走法，即：A f C f D f G f B、A f C f F f G f B、A f E f F f G f B、 A f C f F f I f B、 A f E f F f I f B、 A f E f H f I fB，在B点标上“ 6”（6=3 + 3），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数,此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”.【巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？A【解析】这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从A到B的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线A T ° T D T E T F T B来走，这条路线共有5条线段，每次走一步或两步，要求从A走到B，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗.根据“上楼梯”问题的解法可得在A T ° T D T E T F T B这条路线中有8 种符合条件的走法,而对于从A到B的其他每条最短路线而言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法．进一步：从A到B共有多少条最短路线？这正是“最短路线”问题！用“标数法”来解决，有10条.综上所述，满足条件的走法有8x10-80种.【巩固】从A到B的最短路线有几条呢?【解析】图中从A到”勺最短路线都为6条.【巩固】有一只蜗牛从A点出发，要沿长方形的边或对角线爬到°点，中间不许爬回A点，也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢?A D【解析】共有9 种，即：A 3 O 3 °、A - O - D j °、A - O - B j °、A j B 3 °A 3B 3 O 3 °、A 3 B 3 O 3 D 3 °、A 3 D 3 °、A 3 D 3 O 3 °A-D-O-B-°,最短的路是:A-O-°．阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训.如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走.我们可以先看A 点：从 学校到A 点最短路线只有1种走法，我们在A 点标上1.B 、E 、F 、G 点同理.再看J 点：最短路线可以是A - J 、E - J 共2条，我们在八点标上2.我 们发现2 = 1 + 1正好是对角线A 点和E 点上的数字和.所有的最短路线都符 合这个规律，最终从学校到少年宫共有10种走法.方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一 条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条 呢？如图，从F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法?【例2】 【解析】【巩固】【解析】BAi----------ii -------- i根据“标号法”可知共有10种，\ ---------- i11----------- 1------------------ .h --------------- d i 1 13■.6 "\la XT ----------------- 11工3-1.' ------------------ F£1111------■ ।如图.【巩固】【分析】共有115种．小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？ 小朋友们，快帮帮忙呀！“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你 找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？黄山采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此， 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄 山最近的道路共有10条．〉京11 /2 「2, / 2 --------3丁 2 21--- 3 L ——7 /10北黄山【巩固】【例 3】【解析】【分析】【巩固】从甲到乙的最短路线有几条？古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过 人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发， 要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短， 应该让马在什么地方饮水？甲地乙地o河流本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路 线的变化情况逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中 应该如何解决问题．【例 5】 学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有 多少种不同的最短路线呢？李家村【解析】我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．【解析】有11条． 【例 4】【解析】［拓展1亲爱的小朋友们，你们觉得从A到B共有几条最短路线呢?【解析】此题与上题不同，但方法相同•我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有41条.【例6】阿花和阿红到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训.他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？【解析】采用对角线法（如图）・可得从学校到少年宫共有90种走法.［铺垫］小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？【解析】“对角线”法（如图），共14条.【例7】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆;第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？图书馆【解析】仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8条；第三天（必须不经过公园）共有8条．【巩固】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！（方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共126条．必经过市中心的60【解析】条，所以可行的路有：126-60二66 （条）・条．【例8】如图，从x 到y 最短路线总共有几种走法? 【分析】如图，共有716种・如图，从A到B 沿网格线不经过线段CD 和EF 的最短路径的条数是多少条？■ FE■C , D♦由于不能经过线段CD 和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除CD 和EF , 然后再在拆除了 CD 和E F 以后的网络图中进行标数（如下图所示）.运用标 数法可求出满足条件的最短路径有78条.8 36 85 170 342 716 7 28 X. 49 85 172 374 6 \ 21 \2136 87 \ 202 5 151551 \115 4101536643 6 10 15 21 28 234567【例9】 【解析】111111【巩固】下图为某城市的街道示意图，c处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？【解析】从A到B的最短路线有431条.【例10】按图中箭头所指的方向行走，从A到I共有多少条不同的路线?情况.【解析】本题中的运动方向已经由箭头标示出来, 所以关键要分析每一点的人口第4｝区再观察点口，要想到达点，3它有三个入口B、C 和〃，所以在点。
六年级奥数最短路线
最短路线一、学习目标：通过最短路线的学习,体会转化的数学思想。
二、基础知识：最短路线通常的最短路线问题是以“平面内连结两点的线中,直线段最短”为原则引伸出来的。
在求最短路线时，常常先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题。
利用对称性把折线化成易求的直线段,所以这种方法也叫做化直法,其他还有旋转法、翻折法等。
有时所求最短路线位于凸多面体的不同平面上，需将它们展开在同一平面上。
三、例题解析：例1:如图，A、B两个学校在公路的两侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里?解：例2：如图,A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？解：练一练:如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。
并说明做法。
解：例3:少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发（见下图），跑到墙边，用手触摸墙壁,然后跑到B点．接着，离B点再次跑到墙边手触摸墙壁后，跑到C点．问选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。
分析：实际上是两个最短路线问题。
解：例4：在河中有A、B两岛（如下图)，六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：例5：如图13—6，河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内．现在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司出发,先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处,问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短。
解：例6：A、B两个村子，中间隔了一条小河，现在要在小河上架一座桥，使它垂直于河岸。
请你在河两岸选择合适的架桥地点。
小学奥数知识讲解-最短路线问题
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。
这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲乙 AB 甲乙图1图2最短路线近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解用直线把甲村、乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。
那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。
邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。
因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。
但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。
要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。
六年级下册奥数试题——最短路线.(含答案)人教版
1. 准确运用“标数法”解决题目.2. 培养学生的实际操作能力．知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．【例 1】一只蚂蚁在长方形格纸上的A 点，它想去B 点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？BA11613321BA IHG F E DC【解析】 （方法一）从A 点走到B 点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD 的一个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD ；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB ．这样我们走的这条路线才是例题精讲知识精讲教学目标8-8最短路线最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：→→→→→→→→、A E F G B→→→→、A C F G BA C D G B→→→→→→→→、A E H I BA C F I B→→→→、A E F I B这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循．①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C D E H、、、这四个点上．②看F点：从A点出发到F，可以是A C F→→，也可以是→→，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“2”（2=11+）．③A E F看G点：从A G→→→、A C F G→→→、→有三种走法，即：A C D G→→→．在G点标上数字“3”（3=12+）．④看I点：共有三种走A E F G法，即：A C F I→→→，在I点标上“3”→→→、A E H I→→→、A E F I（3=12+）．⑤看B点：从上向下走是G B→，那么从→，从左向右走是I B 出发点A B→→→→、→→→→、A C F G B→有六种走法，即：A C D G B→→→→、A E H I B→→→→、A E F I B→→→→，→→→→、A C F I BA E F G B在B点标上“6”（633=+），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．【巩固】如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？AB【解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．从A 到B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线A →C →D →E →F →B 来走，这条路线共有5条线段，每次走一步或两步，要求从A 走到B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根据“上楼梯”问题的解法可得在A →C →D →E →F →B 这条路线中有8种符合条件的走法．而对于从A 到B 的其他每条最短路线而言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法． 进一步：从A 到B 共有多少条最短路线？这正是“最短路线”问题！用“标数法”来解决，有10条．综上所述，满足条件的走法有81080⨯=种．1032463111111B A BF ED CA BA【巩固】 从A 到B 的最短路线有几条呢？BA【解析】 图中从A 到B 的最短路线都为6条．【巩固】 有一只蜗牛从A 点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C 点,中间不许爬回A 点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？ODC BA【解析】 共有9种，即：A O C →→、 A O D C A O B C →→→→→→、 、 A B C →→A B O C →→→、 A B O D C →→→→、 A D C →→、 A D O C →→→ A D O B C →→→→,最短的路是:A O C →→．【例 2】阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不 同的最短路线？少年宫学校J I HGF EDC B A 410633211111少年宫学校【解析】 从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看A 点：从学校到A 点最短路线只有1种走法，我们在A 点标上1．B 、E 、F 、G 点同理．再看J 点：最短路线可以是A J →、E J →共2条，我们在J 点标上2．我们发现211=+正好是对角线A 点和E 点上的数字和．所有的最短路线都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有10种走法．【巩固】 方格纸上取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点，画一条由A 到B 的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？BA【解析】 根据“标号法”可知共有10种，如图．【巩固】 如图，从F 点出发到G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？GF【分析】 共有115种．【巩固】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！南村北村【分析】 根据“对角线法”知共有126种，如图．12656703535216152015105541111南村北村410633211111【例 3】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？黄山北京2黄山北京211410331111722【解析】 采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有10条．【巩固】 从甲到乙的最短路线有几条？乙甲【解析】 有11条．【例 4】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？乙地甲地河流【解析】 本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况甲地逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．【例 5】学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？李家村学校81461025李家村学校235216151051114106331111【解析】 我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．［拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从A 到B 共有几条最短路线呢？BA【解析】 此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有41条．【例 6】阿花和阿红到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫学校904214482814少年宫学校2651143111114952052【解析】 采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有90种走法．［铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？小猪家游乐场149小猪家游乐场2551114321【解析】 “对角线”法（如图），共14 条．【例 7】阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？【解析】仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8条；第三天（必须不经过公园）共有8条．【巩固】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！【解析】（方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共126条．必经过市中心的60 条，所以可行的路有：1266066-=（条）．养老院（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有66条．664026111010养老院学校2526155111463311115155411【例 8】如图，从X 到Y 最短路线总共有几种走法？【分析】 如图，共有716种．71637434217017220285511536212815218364115878536492836211515101077666554432YX1111111111111【例 9】如图，从A 到B 沿网格线不经过线段CD 和EF 的最短路径的条数是多少条？A C DE FB【解析】 由于不能经过线段CD 和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除CD 和EF ，然后再在拆除了CD 和EF 以后的网络图中进行标数(如下图所示)．运用标数法可求出满足条件的最短路径有78条．【巩固】 下图为某城市的街道示意图，C 处正在挖下水道，不能通车，从A 到B 处的最短路线共有多少条？【解析】 从A 到B 的最短路线有431条.CBA174551999558325743117411030552518121211C BA836410776543211111111【例 10】 按图中箭头所指的方向行走，从A 到I共有多少条不同的路线？CF H DIGE B A【解析】 本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口情况．通过标数法我们可以得出从A 到I 共有29条不同的路径．【例 11】 按图中箭头方向所指行走，从A 到G 有多少种不同的路线？GF E DC B A【解析】 运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图2181AB CD EF G 2351313532GF ED CB A1881AB CDE F G2355332GF E D CB A11AB CDE F G22GF E DC B A11AB C DE F G从A 到G 共有21条不同的路线．【巩固】 ⑴按下图左箭头方向所指，从X到Y 有多少种不同的路线？⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？［分析］⑴利用标数法求得X到Y有34种不同的路线，如下图左所示．⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路径共有10条．出口1【例 12】⑴如下图左，如果只允许向下移动，从A点到B点共有多少种不同的路线？⑵如下图右，要从A点到B点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，问共有多少种不同的走法？ABBA【解析】⑴按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得A到B共有路线68种，如下图左所示．⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22种不同的走法，如下图右．2622166111201010644143468341444332111111A BB A 42622166111B A【巩固】 图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共有多少种不同走法？10987654321【分析】 图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规定了行走的方向．如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号房间共有22种不同的走法．【例 13】 一只密蜂从A 处出发，A 回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？BA864297531【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．如图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【例 14】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条？AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A［分析］ 要想拼出英语“APPLE ”的单词，必须按照“A P P L E →→→→”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标数法原理标数不难得出共有31种不同的路径．131127211224154112283184411AAPPLELPPA A P L P P P A A P P P A A P A［铺垫］ 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．望杯望杯希杯爱望希杯杯望希爱我 杯杯杯杯杯望望望希希希爱爱我644332111111111［分析］ 从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1464116++++=(种)．［拓展］ 如下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein ”.i111111i［分析］ 因为“Einstein ”的拼读顺序为“E i n s t e i n →→→→→→→”，每一种拼法都对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示，从E 点到n 点的最短路径有30条，所以共有303060+=(种)不同拼法.注意图中的三个字母“i ”，左、右的两个字母“i ”只能由一个字母“e ”去到达．。
小学奥数最短路线问题(有答案)
小学六年级奥数教案—运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。
1.统筹安排问题例1星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。
要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。
最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。
例1告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。
2.排队问题例2理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。
怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。
甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。
甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。
甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分。
总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：最短线路法 全国通用
思路剖析
直线AB上的点可以分 为两类，一类是 MN 的延长线与AB的交点，如图4所示，其余点是另 一类，这类点与M、N可以组成一个三角形，由前面的公理2可知，当P、 M、N三点可以组成三角形时，PM-PN<MN；当点P与Q点重合时，PM -PN=MN，因此Q点就是所求的P点位置。
[例3】 景泰蓝厂的工人师傅要给一个如图5所示的圆 柱型的制品嵌金钱，如果将金线的起点固定在A点，绕圆柱 一周之后终点为 B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线用 量最少?
思路剖析 分别找出图17中三幅图中奇点的个数，然后就可以根据前面介绍的 知识作答。
说明：这就是历史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”。当时有很多游客 尝试去走遍每一座桥，但没有一 个人能够不重复地一次走完这七座桥。 后来这个问题传到了瑞士著名数学家欧拉 (Euler)那里。经过周密的思 考，欧拉解决了这一问题，一笔画的问题也由此提出。
思路剖析
如果将圆柱型的制品的侧面沿A口剪开，就得到一个如图6所示的长 方形ABB'A’，从A起绕圆柱一周的金线在长方形中反映为从A到B’的一
条金线，使金线用量尽量少就要使得金线的长度尽量短，于是问题归结为 找从A到B’的最短距离。在前面的公理中知道连结两点的最 短线段是 直线段，因此从A到B’的最短距离为长方形的对角线AB’，如图7所示。