浮点数的运算方法
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阶符 X： Y： 0 0 0 0 阶码 010 100 数符 0 0 1 1 尾 数
11011011 01010100
21
计算过程： ① 对阶操作 阶差∆E=［EX］补+［-EY］补 =00010+11100=11110 X阶码小，MX右移2位，保留阶码E=00100。 ［MX］补=00 00 110 110 11 下划线上的数是右移出去而保留的附加位。
权 22
010.01 110.1
23 ×0.01001 23 ×0.1101
对应位权值相同
对应位权不一样，不能直接相加减 对应位权不一样，
对阶：使两数阶码相等（小数点实际位置对齐）。 对阶：使两数阶码相等（小数点实际位置对齐）。
5
（1）“对阶”原则： ） 对阶”原则：
原则：小阶向大阶看齐。 原则：小阶向大阶看齐。
3.5 浮点数的运算方法
1
浮点数比定点数的表示范围宽， 浮点数比定点数的表示范围宽，有效精度 更适合于科学与工程计算的需要。 高，更适合于科学与工程计算的需要。当要 求计算精度较高时，往往采用浮点运算。 求计算精度较高时，往往采用浮点运算。
2
3.5.1 浮点数的加减法运算
浮点数的表示形式(以 为底进行讨论 为底进行讨论)： 浮点数的表示形式 以2为底进行讨论 ： N=M·2E M为浮点数的尾数，一般为绝对值小于1 为浮点数的尾数，一般为绝对值小于 为浮点数的尾数 的规格化二进制小数， 的规格化二进制小数，用原码或补码形式表 示； E为浮点数的阶码，一般是用移码或补码 为浮点数的阶码， 为浮点数的阶码 表示的整数。 表示的整数。
9
2、尾数的加/减运算（ MX±MY ） 、尾数的加 减运算 减运算（
执行对阶后，两尾数进行加 减运算 减运算， 执行对阶后，两尾数进行加/减运算，得到两数 之和/差 之和 差。
10
3、规格化操作 、
设尾数M的数值部分有 位 设尾数 的数值部分有n位，规格化数的 的数值部分有 范围为： 范围为： 如尾数M用原码表示时 用原码表示时： 如尾数 用原码表示时：
14
若运算结果是非规格化数， 若运算结果是非规格化数，例如尾数是 11.1XX…X或00.0XX…X形式，就需要 形式， 或 形式 将尾数左移，每左移一位，阶码减1， 将尾数左移，每左移一位，阶码减 ，直至 满足规格化条件为止（ 满足规格化条件为止（即尾数最高有效位的 真值为1，或尾数符与最高有效位不等）。 真值为 ，或尾数符与最高有效位不等）。 这个过程称为左规 左规。 这个过程称为左规。
25
1/2≤｜［ ］原｜≤1-2-n ｜［M］ ｜［
如尾数M用原码表示时： 如尾数 用原码表示时： 用原码表示时
1/2≤［M］补≤1-2-n (当M为正 ［ ］ 为正) 当 为正 1/2≤｜［ ］补｜≤1(当M为负 。 ｜［M］ 为负)。 ｜［ 当 为负
11
双符号位的原码规格化尾数， 双符号位的原码规格化尾数，其数值的 原码规格化尾数 最高位为1； 最高位为 ； 双符号位的补码规格化尾数， 补码规格化尾数 双符号位的补码规格化尾数，应是 00.1XX…X（正） （X可为 或1） 可为0或 ） （ 可为 可为0或 ） 或11.0XX…X（负） （X可为 或1） （ 可为
17
4、舍入 、
在执行右规或对阶时， 在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值 会移掉，使数值的精度受到影响，常用“ 会移掉，使数值的精度受到影响，常用“0” 入法。 舍“1”入法。 入法
18
5、检查阶码是否溢出 、
阶码溢出表示浮点数溢出。 阶码溢出表示浮点数溢出。在规格化和舍 入时都可能发生溢出，若阶码正常， 入时都可能发生溢出，若阶码正常，加/减 减 运算正常结束。 运算正常结束。 若阶码下溢，则置运算结果为机器零， 若阶码下溢，则置运算结果为机器零，若 上溢，则置溢出标志。 上溢，则置溢出标志。
22
② 尾数相加 ［MX］补+［MY］补 =000011011011+1101010100 =1110001010 11
23
规格化操作 ③ 规格化操作 左规，移1位，结果=1100010101 10;阶码 ， 左规， 位 结果 阶码-1， 阶码 E=00011。 。
24
④ 舍入 附加位最高位为1，在所得结果的最低 位+1，得新结果： ［M］补=1100010110,M=-0.11101010。 ⑤ 判溢出 阶码符号位为00，故不溢出，最终结果 为：X+Y=2011·(-0.11101010)
3
设有两浮点数X 设有两浮点数X，Y实现X±Y运算，其中： 实现X 运算，其中： X=MX·2EX; Y=MY·2EY。其中MX，MY均为规格化 其中M 数。 执行以下五步完成运算。 执行以下五步完成运算。 五步完成运算
4
1、对阶 、
例：
22×0.1001 23×0.1101
权 21
10.0 1 11 0.1
7
（3） “对阶”操作 ） 对阶”操作:
比较两浮点数阶码的大小， 比较两浮点数阶码的大小，求出其差 ∆E，并保留其大值 ，E=max(EX,EY)。 ，并保留其大值E， 。 当∆E≠0时，将阶码值小的数的尾数右移 时 ∆E位，并将其阶码值加上 ，使两数的 位 并将其阶码值加上∆E， 阶码值相等。 阶码值相等。
6
（2）小阶向大阶对齐的原因： ）小阶向大阶对齐的原因：
当阶码小的数将尾数右移并相应增加阶 码时，舍去的仅是尾数低位部分，误差很小。 码时，舍去的仅是尾数低位部分，误差很小。 若让阶码大的数将尾数左移并相应减少 阶码，就会丢失尾数的高位部分， 阶码，就会丢失尾数的高位部分，这会导致 错误的结果。 错误的结果。
19
为规格化浮点数加减运算流程。 图3.8为规格化浮点数加减运算流程。 为规格化浮点数加减运算流程
图3.8 规格化浮点数加减运算流程
20
两浮点数相加， 例3.45 两浮点数相加，求X+Y。 。 已知： 已知：X=2010·0.11011011, Y=2100·(-0.10101100) 在机器中的浮点补码表示形式为（ 解 ：X和Y在机器中的浮点补码表示形式为（双符号位） 和 在机器中的浮点补码表示形式为 双符号位）
15（2）右规 ）00 .0101 + 00 .1101 01. 0010 ｜M｜>1 ｜ 应右移规格化，右规， 应右移规格化，右规，M
，阶码+1 阶码
16
若运算结果尾数发生溢出， 若运算结果尾数发生溢出，例如尾数为
10.XX…X或01. XX…X形式，这并 或 形式， 形式 不表明浮点结果会溢出， 不表明浮点结果会溢出，此时需调整 阶码，将尾数右移一位，阶码加1， 阶码，将尾数右移一位，阶码加 ，称 右规。 为右规。
8
尾数右移时，对原码表示的尾数， 尾数右移时，对原码表示的尾数，符 号位不参加移位， 号位不参加移位，尾数数值部分的高位补 0；对补码表示的尾数，符号位参加右移， ；对补码表示的尾数，符号位参加右移， 并保持原符号位不变。 并保持原符号位不变。 为减少误差（保持精度）， ），可用附加 为减少误差（保持精度），可用附加 线路， 线路，保留右移过程中丢掉的一位或几位 的高位，供以后舍入操作用。 的高位，供以后舍入操作用。
其中， 除外（ 其中，M=-1/2除外（即[M]补=11.1000 ） 除外 补
12
当运算的结果(和 差 不是规格化数时 不是规格化数时， 当运算的结果 和/差)不是规格化数时，需 将它转变成规格化数。 将它转变成规格化数。
13
（1）左规 ）
11 .0001 + 00 .1001 11. 1010 尾数的绝对值小于二分之一 即｜M｜<1/2 ｜ 应左移规格化，左规， 应左移规格化，左规，M ，阶码-移位的位数 阶码 移位的位数
11011011 01010100
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计算过程： ① 对阶操作 阶差∆E=［EX］补+［-EY］补 =00010+11100=11110 X阶码小，MX右移2位，保留阶码E=00100。 ［MX］补=00 00 110 110 11 下划线上的数是右移出去而保留的附加位。
权 22
010.01 110.1
23 ×0.01001 23 ×0.1101
对应位权值相同
对应位权不一样，不能直接相加减 对应位权不一样，
对阶：使两数阶码相等（小数点实际位置对齐）。 对阶：使两数阶码相等（小数点实际位置对齐）。
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（1）“对阶”原则： ） 对阶”原则：
原则：小阶向大阶看齐。 原则：小阶向大阶看齐。
3.5 浮点数的运算方法
1
浮点数比定点数的表示范围宽， 浮点数比定点数的表示范围宽，有效精度 更适合于科学与工程计算的需要。 高，更适合于科学与工程计算的需要。当要 求计算精度较高时，往往采用浮点运算。 求计算精度较高时，往往采用浮点运算。
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3.5.1 浮点数的加减法运算
浮点数的表示形式(以 为底进行讨论 为底进行讨论)： 浮点数的表示形式 以2为底进行讨论 ： N=M·2E M为浮点数的尾数，一般为绝对值小于1 为浮点数的尾数，一般为绝对值小于 为浮点数的尾数 的规格化二进制小数， 的规格化二进制小数，用原码或补码形式表 示； E为浮点数的阶码，一般是用移码或补码 为浮点数的阶码， 为浮点数的阶码 表示的整数。 表示的整数。
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2、尾数的加/减运算（ MX±MY ） 、尾数的加 减运算 减运算（
执行对阶后，两尾数进行加 减运算 减运算， 执行对阶后，两尾数进行加/减运算，得到两数 之和/差 之和 差。
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3、规格化操作 、
设尾数M的数值部分有 位 设尾数 的数值部分有n位，规格化数的 的数值部分有 范围为： 范围为： 如尾数M用原码表示时 用原码表示时： 如尾数 用原码表示时：
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若运算结果是非规格化数， 若运算结果是非规格化数，例如尾数是 11.1XX…X或00.0XX…X形式，就需要 形式， 或 形式 将尾数左移，每左移一位，阶码减1， 将尾数左移，每左移一位，阶码减 ，直至 满足规格化条件为止（ 满足规格化条件为止（即尾数最高有效位的 真值为1，或尾数符与最高有效位不等）。 真值为 ，或尾数符与最高有效位不等）。 这个过程称为左规 左规。 这个过程称为左规。
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1/2≤｜［ ］原｜≤1-2-n ｜［M］ ｜［
如尾数M用原码表示时： 如尾数 用原码表示时： 用原码表示时
1/2≤［M］补≤1-2-n (当M为正 ［ ］ 为正) 当 为正 1/2≤｜［ ］补｜≤1(当M为负 。 ｜［M］ 为负)。 ｜［ 当 为负
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双符号位的原码规格化尾数， 双符号位的原码规格化尾数，其数值的 原码规格化尾数 最高位为1； 最高位为 ； 双符号位的补码规格化尾数， 补码规格化尾数 双符号位的补码规格化尾数，应是 00.1XX…X（正） （X可为 或1） 可为0或 ） （ 可为 可为0或 ） 或11.0XX…X（负） （X可为 或1） （ 可为
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4、舍入 、
在执行右规或对阶时， 在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值 会移掉，使数值的精度受到影响，常用“ 会移掉，使数值的精度受到影响，常用“0” 入法。 舍“1”入法。 入法
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5、检查阶码是否溢出 、
阶码溢出表示浮点数溢出。 阶码溢出表示浮点数溢出。在规格化和舍 入时都可能发生溢出，若阶码正常， 入时都可能发生溢出，若阶码正常，加/减 减 运算正常结束。 运算正常结束。 若阶码下溢，则置运算结果为机器零， 若阶码下溢，则置运算结果为机器零，若 上溢，则置溢出标志。 上溢，则置溢出标志。
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② 尾数相加 ［MX］补+［MY］补 =000011011011+1101010100 =1110001010 11
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规格化操作 ③ 规格化操作 左规，移1位，结果=1100010101 10;阶码 ， 左规， 位 结果 阶码-1， 阶码 E=00011。 。
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④ 舍入 附加位最高位为1，在所得结果的最低 位+1，得新结果： ［M］补=1100010110,M=-0.11101010。 ⑤ 判溢出 阶码符号位为00，故不溢出，最终结果 为：X+Y=2011·(-0.11101010)
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设有两浮点数X 设有两浮点数X，Y实现X±Y运算，其中： 实现X 运算，其中： X=MX·2EX; Y=MY·2EY。其中MX，MY均为规格化 其中M 数。 执行以下五步完成运算。 执行以下五步完成运算。 五步完成运算
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1、对阶 、
例：
22×0.1001 23×0.1101
权 21
10.0 1 11 0.1
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（3） “对阶”操作 ） 对阶”操作:
比较两浮点数阶码的大小， 比较两浮点数阶码的大小，求出其差 ∆E，并保留其大值 ，E=max(EX,EY)。 ，并保留其大值E， 。 当∆E≠0时，将阶码值小的数的尾数右移 时 ∆E位，并将其阶码值加上 ，使两数的 位 并将其阶码值加上∆E， 阶码值相等。 阶码值相等。
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（2）小阶向大阶对齐的原因： ）小阶向大阶对齐的原因：
当阶码小的数将尾数右移并相应增加阶 码时，舍去的仅是尾数低位部分，误差很小。 码时，舍去的仅是尾数低位部分，误差很小。 若让阶码大的数将尾数左移并相应减少 阶码，就会丢失尾数的高位部分， 阶码，就会丢失尾数的高位部分，这会导致 错误的结果。 错误的结果。
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为规格化浮点数加减运算流程。 图3.8为规格化浮点数加减运算流程。 为规格化浮点数加减运算流程
图3.8 规格化浮点数加减运算流程
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两浮点数相加， 例3.45 两浮点数相加，求X+Y。 。 已知： 已知：X=2010·0.11011011, Y=2100·(-0.10101100) 在机器中的浮点补码表示形式为（ 解 ：X和Y在机器中的浮点补码表示形式为（双符号位） 和 在机器中的浮点补码表示形式为 双符号位）
15（2）右规 ）00 .0101 + 00 .1101 01. 0010 ｜M｜>1 ｜ 应右移规格化，右规， 应右移规格化，右规，M
，阶码+1 阶码
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若运算结果尾数发生溢出， 若运算结果尾数发生溢出，例如尾数为
10.XX…X或01. XX…X形式，这并 或 形式， 形式 不表明浮点结果会溢出， 不表明浮点结果会溢出，此时需调整 阶码，将尾数右移一位，阶码加1， 阶码，将尾数右移一位，阶码加 ，称 右规。 为右规。
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尾数右移时，对原码表示的尾数， 尾数右移时，对原码表示的尾数，符 号位不参加移位， 号位不参加移位，尾数数值部分的高位补 0；对补码表示的尾数，符号位参加右移， ；对补码表示的尾数，符号位参加右移， 并保持原符号位不变。 并保持原符号位不变。 为减少误差（保持精度）， ），可用附加 为减少误差（保持精度），可用附加 线路， 线路，保留右移过程中丢掉的一位或几位 的高位，供以后舍入操作用。 的高位，供以后舍入操作用。
其中， 除外（ 其中，M=-1/2除外（即[M]补=11.1000 ） 除外 补
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当运算的结果(和 差 不是规格化数时 不是规格化数时， 当运算的结果 和/差)不是规格化数时，需 将它转变成规格化数。 将它转变成规格化数。
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（1）左规 ）
11 .0001 + 00 .1001 11. 1010 尾数的绝对值小于二分之一 即｜M｜<1/2 ｜ 应左移规格化，左规， 应左移规格化，左规，M ，阶码-移位的位数 阶码 移位的位数