短时傅里叶变换STFT

前面推导了测不准定理，知道STFT不具备自动调节能力
时频窗在时间 轴频率轴方向 上的宽度确定
窗函 数选定
形状不会 发生改变
不随时间、 频率的变 化而变化
时频分辨 率确定
从上面的分析我知道，如果要改变分辨率，则需要重新 选择窗函数。因为受到不确定准则的限制，时频窗的面积 不小于2，故不能兼顾频率与时间分辨率的需求，这也就 从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率 分辨率不能同时达到最优，我们对时间分辨率和频率分辨 率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低， 反之亦然。 短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳 信号犹可，但是对于非平稳信号，对频率分辨率和时间分 辨率的要求是要按照一定的规律变化的，但短时傅里叶变 换的函数一旦选定时频分辨率是确定不随时间、频率的变 化而变化。
x( )
0.3
m( t )
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
（1.1）式内积的结果即可实现对进行时－频 j m ( ) m ( t ) e 定位的功能。对 两边 ,t 做傅里叶变换，有
g a t

1
2 a
e

4a
以Gabor函数为窗函数的STFT称为Gabor变换，其定义为
s(, t )

e
i
f g a t d
1
则Gabor函数的中心和半径为：
t* ga
2 2



x | g a ( x ) |2 d x
根据窗函数半径公式，可知道Gabor窗函数的半径为：
3.短时傅里叶变换缺陷

2


1
m,t

t1
t2
短时傅里叶变换
t 窗口
t
窗函数 m,t 的特点：
随着 , t 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取 被变换函数的信息； 函数族 m ,t 确定的时频窗口只是随 , t 发生平移， 窗口的大小和形状固定不变.


当我们对信号作时-频分析时，一般，对快变的信号， 我们希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲 等），即观察的时间宽度要小，受时宽-带宽积的影响，这 样，对该信号频域的分辨率必定要下降。由于快变信号对应 的是高频信号，因此对这一类信号，我们希望有好的时间分 辨率，但同时就要降低高频的分辨率。反之，对慢变信号， 由于它对应的是低频信号，所以我们希望在低频处有好的频 率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。
STFT定义:
1946年，Gabor就提出了STFT，给定一信号，其STFT定义为:
S x ( , t ) x( )m( t )e j d x( ), m( t )e j （1.1）
窗函数
短时谱的特点：
1)时变性：既是角频率ω 的函数又是时间t的函数。 2)周期性：是关于ω 的周期函数，周期为2π 。
窗函数的中心和半径：
定义非平凡函数 w L2 R 称为一个窗函数，如果 xwx 也是属于 L2 R 的，这个窗函数的中心定义为：
t
*
w
2 2
1

x wx
2
dx
半径定义为：
w
1 1 2 * 2 { ( x t ) w( x ) dx} 2 w 2
M ,t ( ) m( t )e
e
j ( ) t
j
e
j
d
dt
M ( )e
m(t)e
j ( ) 来自百度文库
j ( )t
式中 和 是等效的频率变量
Parseval定理
x(t ), m ,t ( ) 21 X ( ), M ,t ( )
短时傅里叶变换
1.短时傅里叶变换简介
FT在信号处理中的局限性:
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部 时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成 分的变化情况。
提出与基本思想
鉴于傅里叶变换的缺陷提出了窗函数的概念，提出一个灵活 可变的时间-频率窗，使得在这个窗内能够体现频率的信息， 这种信号分析方法称为时间-频率分析。而窗固定的时间-频 率分析方法即为短时傅里叶变换。 短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform）。 其主要思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变 换，加窗后使得变换为时间t附近的很小时间上的局部谱， 窗函数可以根据t的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗 函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化。
g的
b ，则 b ，再代入上式得出 ga g ga

1 1 b g a 4a 2 a

则有：
1 b 2 ga 2 g 4 a 2 a 2 a 可以证明，不论采用何种函数作为窗函数，其时间窗和 频率窗宽度的乘积的最小值都是2，这就是测不准原理，此 定理告诉我们，不可能在时间和频率两个空间同时以任意精 度逼近被测信号，因此就必须在信号的分析上对时间或者频 率的精度做取舍。 当利用STFT时，若我们希望能得到好的时-频分辨率， 或好的时-频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函 数 g ( ) ，遗憾的是，由于受不定原理的限制，我们无法做到 使同时为最小。
gb
a
1 b ga

{ x t
2

* 2

b x dx} ga 2
1 2
a
，
2 ，对于Gabor窗函数说 因为窗的面积为2


g b
a
因为 为 的傅里叶变换，则对于Gabor函数就要求出
傅里叶变换 经计算得



1 2



X ( )M ( )e
信号谱
j ( ) t
d
窗谱
所以
S x (, t ) e
jt 1 2



X ( )M ( )e jt d
该式指出，对 x( ) 在时域加窗 m( t ) ，引导在 频域对 X ( ) 加窗 M ( ) 。

这样我们可以认为函数 w 集中定义在以 t *为中 * 2 w t 心， w 为半径，长为 的区间 w , t * w 上， 取此区间为的有效区间是合适的。
对函数 w其中心为 t * 半径为 w ，对 w 的 Fourier变换 w设其中心为 w* 半径为 w 矩形

， 频窗。该窗的面积为 2 w 2

[t * w , t * w ] ×
w* , w* w w
称为函数 w 的时-
w

2.测不准定理
以Gabor函数为例，令Gabor数函为窗函数，已知Gabor函数的 表达式如下： t2
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公式涵义：
在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号 作傅里叶变换，即在t时刻得该段信号的傅里叶变 换，不断地移动t，也即不断地移动窗函数的中心 位置，即可得到不同时刻的傅里叶变换，这些傅 里叶变换的集合，即是 S x (, t ) 。
j m ( ) m ( t ) e STFT可以看成是用基函数 ,t 来 代替傅里叶变换中的基函数。