2019-2020学年江苏省南京一中求真中学九年级(上)第一次月考数学试卷解析版

2019-2020学年江苏省南京一中求真中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择（每题2分，共12分）1．（2分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2y＝1B．x3﹣2x＝3C．x2+＝5D．x2＝02．（2分）如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°3．（2分）某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占40%，面试成绩占60%．应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是（）A．92.5分B．90分C．92分D．95分4．（2分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，由于改进操作技术，二、三月份平均每月钢铁产量的增长率相同，若设二、三月份平均每月的增长率为x，使得第一季度共生产钢铁1850吨，则可得方程（）A．560（1+x）2＝1850B．560+560（1+x）2＝1850C．560（1+x）+560（1+x）2＝1850D．560+560（1+x）+560（1+x）2＝18505．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm6．（2分）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（）A．70°B．64°C．62°D．51°二、填空（每题2分，共20分）7．（2分）已知关于x一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，则a+b+c＝．8．（2分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣5＝0，若两根之和为0，则m＝．9．（2分）已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是．10．（2分）把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x米，若要求出未知数x，则应列出方程（列出方程，不要求解方程）．11．（2分）若圆锥的底面半径是10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为．12．（2分）某校九年级有15名同学参加校运会百米比赛，预赛成绩各不相同，前7名才有资格参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，但他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这15名同学成绩的．（填“极差”、“众数”或“中位数”）13．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是．14．（2分）若（a2+b2）（a2+b2+3）＝10，则a2+b2＝．15．（2分）如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O1相切于点F，且AB ∥CD，AB＝6，则阴影部分的面积为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M 是CD的中点，则BM的最小值是．三、解答题17．（8分）解下列一元二次方程：（1）（x+1）2＝（2x﹣3）2；（2）用配方法解方程：x2+8x﹣2＝0．18．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．19．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表年级参加英语听力训练人数周一周二周三周四周五七年级1520a3030八年级2024263030合计3544516060（1）填空：a＝；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：年级平均训练时间的中位数参加英语听力训练人数的方差七年级2434八年级14.4（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．20．（8分）已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣mx+1＝0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）若m为整数，当m为何值时，方程有两个不相等的整数根．21．（8分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（）（填推理的依据）．22．（7分）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？23．（8分）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求证：CD与⊙O相切．（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径．24．（8分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为．25．（7分）可以用如下方法估计方程x2+2x﹣10＝0的解：当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，当x＝﹣5时，x2+2x﹣10＝5＞0，所以方程有一个根在﹣5和2之间．（1）仿照上面的方法，找到方程x2+2x﹣10＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；（2）若方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．26．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为点D、E、F，（1）若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径；（2）当AD＝5，BD＝7时，求△ABC的面积；（3）当AD＝m，BD＝n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）为．27．（11分）若一条弧经过一个多边形相邻两边中点，并且该弧上所有点都在该多边形的内部或边上，则称该弧为此两边中点连线的EVA弧．例如，图1中，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为DE的一条EVA弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D，E分别是BC，AC的中点，画出DE的最长的EVA弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝1，求DE的EVA弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围；②若在△ABC中存在一条DE的EVA弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019-2020学年江苏省南京一中求真中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择（每题2分，共12分）1．【解答】解：A、x2+2y＝1是二元二次方程，故A错误；B、x3﹣2x＝3是一元三次方程，故B错误；C、x2+＝5是分式方程，故C错误；D、x2＝0是一元二次方程，故D正确；故选：D．2．【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．故选：B．3．【解答】解：根据题意得：95×40%+90×60%＝92（分）．答：她的最终得分是92分．故选：C．4．【解答】解：依题意得二月份的产量是560（1+x），三月份的产量是560（1+x）（1+x）＝560（1+x）2，∴560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850．故选：D．5．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．6．【解答】解：连接OC．则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．∴∠CAO＝∠BAO．∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵BD＝OB，∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝×78°＝26°．∠ADO＝180°﹣∠ABD﹣∠DAB＝180°﹣90°﹣26°＝64°．故选：B．二、填空（每题2分，共20分）7．【解答】解：根据题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为1，即x＝1时，ax2+bx+c＝0成立，即a+b+c＝0，故答案为0．8．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣5＝0的两根之和为0，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，故答案为：2．9．【解答】解：由平均数的公式得：（1+x+3+2+5）÷5＝3，解得x＝4；∴方差＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]÷5＝2．故答案为：2．10．【解答】解：设小圆的半径为x米，则大圆的半径为（x+5）米，根据题意得：π（x+5）2＝4πx2，故答案为：π（x+5）2＝4πx211．【解答】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2＝2π×10，解得x＝20．故答案为20．12．【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了．故答案为中位数．13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得：m≥﹣2，又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m≥﹣2且m≠2，故答案为：m≥﹣2且m≠2．14．【解答】解：设t＝a2+b2，（t≥0）则t（t+3）＝10，整理，得（t+5）（t﹣2）＝0，解得t＝2或t＝﹣5（舍去）．故a2+b2的值为2．故答案为：215．【解答】解：设大圆圆心为O，作EO⊥AB，垂足为E．连接OA，则OA是大圆半径，∵AB∥CD，∴EO的长等于小圆的半径，由垂径定理知，点E是AB的中点．由勾股定理知，OA2﹣EO2＝AE2＝9，∴阴影部分的面积＝（OA2﹣EO2）π＝π．故答案为：π．16．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝5，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝2，∴BN﹣MN≤BM≤BN+NM，∴5﹣2≤BM≤2+5，∴3≤BM≤7，∴BM的最小值为3，故答案为：3．三、解答题17．【解答】解：（1）（x+1）2＝（2x﹣3）2，（x+1）2﹣（2x﹣3）2＝0，（x+1+2x﹣3）（x+1﹣2x+3）＝0，即（3x﹣2）（﹣x+4）＝0，∴3x﹣2＝0或﹣x+4＝0，∴x1＝，x2＝4；（2）x2+8x﹣2＝0，x2+8x＝2x2+8x+16＝2+16，即（x+4）2＝18，∴x+4＝3或x+4＝﹣3，∴x1＝﹣4+3，x2＝﹣4﹣3．18．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．19．【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；故答案为：25；（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，∴八年级平均训练时间的中位数为：27；故答案为：27；（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为（35+44+51+60+60）＝50，∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480×＝400（人）．20．【解答】（1）证明：当m﹣1＝0时，即m＝1，方程变形为﹣x+1＝0，解得x＝1；、当m﹣1≠0时，△＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，则△≥0，此时方程有两个实数根，所以不论m为何值时，方程总有实数根；（2）解；x＝，则x1＝1，x2＝，当m﹣1＝﹣1时，方程方程有两个不相等的整数根，此时m＝0．21．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理，切线的判定．22．【解答】解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+）千克，依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+）＝41600，整理，得：x2﹣110x+2400＝0，解得：x1＝30，x2＝80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）∵为尽可能让利于顾客，∴x＝80，∴×10＝8．答：该店应按原售价的8折出售．23．【解答】证明：（1）连OM，过O作ON⊥CD于N；∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．解：（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝1，∠B＝90°，∠ACD＝45°，∴AC＝，∠MOC＝∠MCO＝45°，∴MC＝OM＝OA，∴OC＝；又∵AC＝OA+OC，∴OA+OA＝，∴OA＝2﹣．24．【解答】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122解得：r＝13；答：该圆的半径r为13；（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；②当r＞8时，如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC，则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即：r2＝（r﹣8）2+a2，整理得：r＝a2+4．故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．25．【解答】解：（1）∵当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，当x＝3时，x2+2x﹣10＝5＞0，∴方程的另一个根在2和3之间；（2）∵方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，∴或，解得：﹣3＜c＜0．26．【解答】解：（1）连接OD、OE、OF，如图，设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AB＝＝5，∵Rt△ABC的内切圆⊙O，切点分别为点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，CE＝CF，AE＝AD，BF＝BD，易得四边形CFOE为正方形，∴CE＝CF＝OE＝r，∴AD＝AE＝3﹣r，BD＝BF＝4﹣r，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1，即△ABC的内切圆半径为1；（2）设⊙O的半径为r，由（1）得AE＝AD＝5，BF＝BD＝7，∴AC＝5+r，BC＝7+r，在Rt△ABC中，（5+r）2+（7+r）2＝（5+7）2，解得r＝﹣6或r＝﹣﹣6（舍去），∴AC＝﹣6+5＝﹣1，BC＝﹣6+7＝+1，∴S△ABC＝（﹣1）（+1）＝35；（3）设⊙O的半径为r，由（1）得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，∴AC＝m+r，BC＝n+r，在Rt△ABC中，（m+r）2+（n+r）2＝（m+n）2，解得r＝或r＝（舍去），∴AC＝（m﹣n+），BC＝（﹣m+n+），∴S△ABC＝×＝（m﹣n+）×（﹣m+n+）＝[）2﹣（m ﹣n）2]＝mn．故答案为mn．27．【解答】解：（1）如图2，以DE为直径画弧，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE＝AB＝4，∵DE的最长的EVA弧，是以DE为直径的弧，∴＝×4π＝2π；（2）如图3，A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，①当t＝1时，C（4，0），∴D（0，2），E（2，2），F（1，2），若圆心在线段DE上方时，设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，∴m≥2，当圆心在线段DE下方时，∵OA＝OC，∠AOC＝90°∴∠ACO＝45°，∵DE∥OC∴∠AED＝∠ACO＝45°作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝1，根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；∴m≤1，综上所述，m≤1或m≥2．②如图4，设圆心P在AC上，∵P在DE中垂线上，∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝3，∴P（t，3），∵DE∥BC∴∠ADE＝∠AOB＝90°∴AE＝＝＝，∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，∴∠DAE＝∠ADP∴AP＝PD＝PE＝AE由三角形中内弧定义知，PD≤PM∴AE≤3，∴AE≤6，即≤6，解得：t≤2，∵t＞0∴0＜t≤2．如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）∴PD＝PE＝＝，∵PC＝3t，CE＝AC＝＝2，由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，∴PE2+CE2≥PC2∴（）2+（2）2≥（3t）2，∵t＞0∴0＜t≤；综上所述，t的取值范围为：0＜t≤2．。