微积分ppt
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
微积分——无穷大量与无穷小量讲解.ppt
x 因为lim lim x 0, 当x 0时，x 2比x较高阶的 x 0 x x 0 无穷小量，可以记做 x 2 o( x )
反之，当 x 0时，x是比x 2较低阶的无穷小量。
x 1 1 lim lim , 当x 0时，x与2 x是同阶的 x 0 2 x x 0 2 2 无穷小量。
练习题答案
一、1、0； 3、 ； 二、0 x
1 . 4 10 2
2、 lim f ( x ) C ；
x x
1 4、 . f ( x)
（二）无穷小量
定义2.9: 以0为极限的变量，称为无穷小量.
亦即，对于任意给定的 正数，如果在变量y的 变化过程中，总有那么 一个时刻，在那个时刻 以后，不等式 | y | 无穷小量。 例如
1 1 lim n 0, 当n 时，变量yn n 是无穷小量. n 2 2
| y | M 又因为 是无穷小量，所以，对于任意的 0，总有
那么一个时刻，在那个时刻以后，恒有
| |
M
于是，在上述两个时刻 中较晚的时刻以后，恒 有
| y || || y | M
M
成立，故 y 是无穷小量。
推论
常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量
1 例4 求 lim x sin x 0 x 1 1 解 因为lim x＝0. 而 | sin | 1，即sin 是有界变量。 x 0 x x 1 故 lim x sin ＝0 x 0 x
0
显然，x2比x与2x趋于0的速度快得多。 快慢是相对的，是相互比较而言。因此有
定义2.10 设，是同一过程中的两个无穷小量，
如果 lim 0, 则称是比较高阶的无穷小量， 记做 o( ) 如果 lim c 0 c为常量） （ , 则称是比是同阶的 无穷小量。特别当 c 1时，称与是等价的 无穷小量，记做 ～。 如果 lim , 则称是比较低阶的无穷小量。
《微积分发展史》PPT课件
中国古代数学家对微积分也作出了重大 的贡献．例如三国时期的刘徽，他对积分学 的贡献主要有两点：割圆术及求体积问题的 设想．
刘徽
微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵跨了二千年的时间．相对来说， 微分学的历史就短得多．原因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的， 它涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学是不会产生的．
Байду номын сангаас
微积分的创立首先是为了处理下列四类问题：
1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度 ．反过来，已知物体 运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中，透 镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中涉及到行 星和太阳的最近和最远距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
积分学早期史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪， 但是，积分的思想早在古代就已经产生 了． 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学 家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆 的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分 学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面 积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双 曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思 想．
1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆而是 椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向径在相等 的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用于其他行星和 月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出，行星公转周期的 平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三定律为日后牛顿发现 万有引力定律奠定了基础．
刘徽
微分学早期史
上面概括地介绍了积分学的早期发展史，这段历史纵跨了二千年的时间．相对来说， 微分学的历史就短得多．原因是积分学研究的问题是静态的，而微分学则是动态的， 它涉及到运动．在生产力没有发展到一定阶段的时候，微分学是不会产生的．
Байду номын сангаас
微积分的创立首先是为了处理下列四类问题：
1．已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度 ．反过来，已知物体 运动的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与路程． 2 ．求曲线的切线．这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义．例如在光学中，透 镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识．在运动中也遇到曲线的切线问题． 3 ．求函数的最大值和最小值问题．在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题．在天文学中涉及到行 星和太阳的最近和最远距离． 4．求积问题．求曲线的弧长，曲线所围图形的面积，曲面所围立体的体积，物体的重心．
积分学早期史
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪， 但是，积分的思想早在古代就已经产生 了． 公元前3世纪，古希腊的数学家、力学 家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆 的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分 学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面 积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双 曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思 想．
1609年，他在《新天文学》一书中宣称火星的轨道不是圆而是 椭圆，太阳位于椭圆的两个焦点之一．他还发现火星的向径在相等 的时间内扫过相同的面积，并指出，这两定律也适用于其他行星和 月球．1619年开普勒在《宇宙和谐》一书中指出，行星公转周期的 平方与轨道半长轴的立方成正比．行星运动三定律为日后牛顿发现 万有引力定律奠定了基础．
微积分学广义积分敛散性判别ppt课件
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
11
证
x
F (x) a f (t) d t
在[a, ) 上单调增加且有上界. 由极限存在准则
可知极限 lim F(x) lim
x
f (t) d t
存在.
x
x a
即无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
10
定理 （ 比较判别法 ）
设函数 f (x) , g(x) 在[a, ) 上有界, A R , A a ,
若积分上限函数 F(x)
x
f (t) d t
在[a, )
a
上有上界, 则无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
9
证 因为 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 , 所以,
积分上限函数F(x) 在[a, ) 上单调增加.
又已知函数F(x) 在[a, ) 上有上界, 从而
c
对 f (x) d x 而言，由定积分对区间的可加性，
显然其收敛性与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c 0.
2
例1 解
计算 x ex2 d x . 0
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
,
a
a 1 p
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分的基本公式PPT幻灯片课件
一个原函数, 则
b a
f
(x)d x
F ( x)
b a
F (b)
于是
0 | F(x) | |
x x
f (t)dt |
xx
| f (t) | dt Mx
x
x
由夹逼定理及点 x 的任意性, 即可得 F (x) C([a,b]) .
7
定理1说明: 定义在区间[a,b] 上的 积分上限函数是连续的.
积分上限函数是否可导?
8
由 F(x x) F(x)
xx
f (t)dt,
x
如果 f (x) C([a,b]), 则由积分中值定理, 得
xx
F(x x) F(x) x f (t)dt f ( )x ,
( 在 x 与 x x 之间)
故 lim F (x x) F (x) lim f ( )x
x0
推论2 基本初等函数在其定义域内原函数存在.
推论3 初等函数在其有定义的区间内原函数存在.
17
2. 微积分基本公式
如果 f (x) C([a,b]), 则
x
f (t)dt
为 f (x) 在[a,b] 上
a
的一个原函数.
若已知 F (x) 为 f (x) 的原函数, 则有
x
a f (t)dt F (x) C0.
( x)
F(x) ( a f (t)dt ) f ((x)) (x) .
14
例3
e1 t2 d t
计算 lim x0
cos x
x2
.
解
e1 t2 d t
cos x et2 d t
《微积分》PPT课件
x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2
微积分--极限与连续 ppt课件
考虑当
x
，函数
y1 x
的变化情况
y
O
x
lim 1 0. x x
ppt课件
15
定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X， 使得当 x >X时，f (x)-A < ,则称当x 时， f (x)以A为极限，记为 lim f (x)=A.
x
ppt课件
16
x 的理解：
10. x 情形 : lim f ( x) A x
ppt课件
35
§2.5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
x0时的极限,
记作
lim
x x0
f (x)=A.
" "定义
0, 0,使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
注意 :{x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
ppt课件
24
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关; 2.与任意给定的正数有关.
ppt课件
33
高等数学微积分教学ppt(2)
2、自变量趋于无穷大时函数的极限
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作
定积分与微积分基本定理ppt课件
1
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+
2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+
2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=
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两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形
区域. 如, [a,b][c,d] ( x, y) x [a,b], y [c,d ]
即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 轴上的投影分别为闭区间 [a,b]和闭区间 [c,d ].
映射与函数
常用的逻辑符号
在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
、. AEnxyi(s每t(存一在个))的或A字ll头(所E有的的倒)写的字头A的倒写
掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它 来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不 规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和 计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体 的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产 量、总成本等等经济量…….
高等数学既为其它学科提供了便利的计算工 具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学 基础 .
U (a, )表示 :与点a距离小于的一切点x的全体.
几何表示
O a
a
a x
映射与函数
U(a, )有时简记为 U (a).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U(a, ), 即
U(a，） {x 0 x a }.
xa
开区间 (a ,a) 称为a的左 邻域,
开区间
邻域 .
(6) 答疑 答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到
疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不 可将问题放置一旁不理.
除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大 力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团 队精神对于学好高等数学同样重要.
四 几点说明
第一章 函数与极限
(function and limit)
数学教研室 王学顺
绪论
高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学 生必修的重要基础理论课.
随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识 到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就. 科 学技术发展越快，对数学的需求就越多.
如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科 学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的 要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地 经历了一场数学化的进程——在基础科学和工程建 设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济
(2)时间长
每次授课两节，共110分钟.
(3)进度快
高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少 (同中学数学相比)，平均每次课要讲授教材内容一至 两节(甚至更多). 另外，大学与中学的教学要求有很 大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分 析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得 多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教 师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子.
(4)知识体系的连惯性
高等数学的教学特点
对于大学课程，特别是作为基础理论课的高 等数学，课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂 教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显 著的差别:
(1)课堂人数多
高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课 堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基 础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是 教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、 听不全懂的少数同学细讲、重复讲.
映射与函数
注 研究某个问题时所考虑的对象的全体 称为 全集或基本集,并用 I 表示, 并把差积 I A 特别称为A的 余集或补集.记作 AC .
例如,在实数集R中, 集合 A { x 0 x 1} 的余集
AC {x x 0或x 1}.
映射与函数
3. 区间(interval) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲
③ 对应法则f , 使对 x X ,有唯一确定的
y f ( x)与之对应.
(2) 对 x X ,元素 x 的像y是唯一的; 而对 y Rf , 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是Y 的一个子集, 即Rf Y , 不一定 Rf Y .
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y . 若Rf Y , 即Y 中任一元素y 都是X中某
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
个从 Rf 到X 的新映射g, 即 g : Rf X,
对y Rf ,规定 g( y) x, 这 x 满足f ( x) y. 这个映射g称为 f 的逆映射,记作 g f 1, 其定义域 D f 1 Rf , 值域 R f 1 X .
若x1, x2 X , x1 x2 ,必有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f 是单射.
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
3. 逆映射与复合映射
设有两个映射 g :X Y1, f : Y2 Z , 其中Y1 Y2 . 由 g和f 可确定出从 X到Z 的一个 对应法则, 它将 x X 映成 f [g( x)] Z .
Rf f ( X ) f ( x) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x) sin x, 正弦函数
注 (1) 构成一个映射必须具备以下 三个要素:
① 集合X, 即定义域 Df X; ② 集合Y, 即值域的范围: Rf Y;
真子集 若A B且A B, 则称 A是B的
真子集, 记作 A B.
映射与函数
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (2) 集合的运算
集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集.
差集 由所有属于A 而不属于B的元素 组成的集 称为A与B的差集,记作 A B, 即
A B { x x A 且x B }. A B
若a是A的元素, 则说a属于A,记作 a A; 否则记 a A 或 aA
映射与函数
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (1) 集合的关系 子集 若x A,则必x B, 则称 A是B的子集,记作
A B (读作A包含于B) 或 B A
集合相等 若A B且B A,
则称 集合A与B相等,记作 A B.
元素的像, 则称f 是满射. 若 x1, x2 X , x1 x2 , 必有 f ( x1 ) f ( x2 ),
则称f 是 单射.
若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是
一 一 映射(或双射).
3. 逆映射与复合映射
设有单射 f : X Y , 则由定义, 对y Rf , 有唯一的 x X ,适合 f ( x) y.于是, 可定义一
这两个实数叫做区间的端点.
设a和b都是实数, 且a b. { x a x b}称为开区间, 记作 (a,b)
Oa
b
x
{ x a x b} 称为 闭区间,记作[a,b]
Oa
b
x
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
映射与函数
{xa {xa
x x
b} b}
记作 [a,b) 记作 (a,b]
第一节 映射与函数
集 合 ( set ) 映 射 ( mapping ) 函 数 ( function ) 小结
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1. 集合(set)概念与记号 集合(集) 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 (简称元) 组成这个集合的事物. 通常以大写字母 A, B, M,
以小写字母 a,b,m, 等表示集合的元素.
(4) 复习
学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为 了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课 上所讲的内容. 但是，在翻开教材与笔记之前，应先 回顾一下课上所讲的主要内容. 另外，应该经常地、 反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是为了避 免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理 解，使知识水平上升到更高的层次.
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定
“ ” ” 表.示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到
”,
”.
符号 “ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推
符号 “ ”出表”示. “等价 ”,或 “充分必
要”.
映射与函数
二、映射 (mapping)
1. 映射概念
定义域 记 Df ,即 Df X .
定义 设 X、Y 是两个非空集合,如果存在
高等数学有四个显著特点：
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.