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(5)做作业
要把高等数学学到手,及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成,但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段,同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调,认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此,要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭,尽 量不先看书后的答案.
个从 Rf 到X 的新映射g, 即 g : Rf X,
对y Rf ,规定 g( y) x, 这 x 满足f ( x) y. 这个映射g称为 f 的逆映射,记作 g f 1, 其定义域 D f 1 Rf , 值域 R f 1 X .
若x1, x2 X , x1 x2 ,必有 f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f 是单射.
一个法则f ,使得对 x X ,通过f , 在Y中有唯一
确定的元素 y 与之对应,则称f 为从 X 到 Y 的映
射(或算子), 记作 f : X Y,
并称y为x(在映射f下)的 像, 并记作 f ( x), 即
y f ( x), x称为y的 原像.
映射与函数
X中所有元素的像所组成的集合称为 值域, 或f 的 像集,记作 Rf 或f ( X ), 即
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定
“ ” ” 表.示 “存在 ”,“至少存在一个或“能够找到
”,
”.
符号 “ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推
符号 “ ”出表”示. “等价 ”,或 “充分必
要”.
映射与函数
二、映射 (mapping)
1. 映射概念
定义域 记 Df ,即 Df X .
定义 设 X、Y 是两个非空集合,如果存在
3. 逆映射与复合映射
设有两个映射 g :X Y1, f : Y2 Z , 其中Y1 Y2 . 由 g和f 可确定出从 X到Z 的一个 对应法则, 它将 x X 映成 f [g( x)] Z .
两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形
区域. 如, [a,b][c,d] ( x, y) x [a,b], y [c,d ]
即为xOy平面上的矩形区域, 这个区域在x轴与y 轴上的投影分别为闭区间 [a,b]和闭区间 [c,d ].
映射与函数
常用的逻辑符号
在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号
、. AEnxyi(s每t(存一在个))的或A字ll头(所E有的的倒)写的字头A的倒写
称为 半开半闭区间.
有限区间
[a,) {x a x}
Oaቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
(,b) {x x b}
无限区间
O
b
x
全体实数的集合R 也可记作 (, ), 是无限区间.
映射与函数
邻域(neighbourhood)
设a与是两个实数 , 且 0.
数集{x | x a | }称为点a的 邻域,记作 U (a, ). 它是以点a中心 , 为半径的开区间. 即 U(a, ) { x a x a }.
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况,这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课,应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号,继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研,或找同学讨论,或找教师答疑,或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是,课堂学习的中心任务是听、 看、想,记笔记的目的是便于课后复习,便于消化 课上所讲的内容. 因此,记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整,不必全面,不必连贯,但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
(2)时间长
每次授课两节,共110分钟.
(3)进度快
高等数学的内容极为丰富,而学时又相对较少 (同中学数学相比),平均每次课要讲授教材内容一至 两节(甚至更多). 另外,大学与中学的教学要求有很 大的不同,教师讲课主要讲重点、难点、疑点,讲分 析问题的方法,讲解题的思路,而例题要比中学少得 多,不象中学上数学课那样,对一个重要的定理,教 师要仔细讲、反复讲,讲完之后又举大量典型的例子.
计划方面,甚至在人类思维方面,都可以看到强大 的数学化的进程…. .
高等数学主要学习内容 通过《高等数学》这门课程的学习,要使学生获得: (1)函数、极限、连续; (2)一元函数微积分学; (3)向量代数和空间解析几何; (4)多元函数微积分学; (5)无穷级数; (6)常微分方程. 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学 习后继课程奠定必要的数学基础.
同学们要注意抓好学习的六个环节
高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最 重要的基础课. 由于在教学方法上、在对学生能力 的培养目标上与中学时有很大的不同,因此,同学 们在一开始可能会感到有些不适应. 为了尽快适应 新的学习环境,要注意抓好以下六个学习环节.
(1)预习 为了提高听课效果,每次上课前应对教师要讲
高等数学有四个显著特点:
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字,却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式,而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理,不论验证了多少实例, 只有当它在逻辑上被严格证明时,才能在数学中
(4)知识体系的连惯性
高等数学的教学特点
对于大学课程,特别是作为基础理论课的高 等数学,课堂教学是重要环节. 高等数学的课堂 教学与中学数学的课堂教学相比,有下述三个显 著的差别:
(1)课堂人数多
高等数学课堂是一百多人的大课堂,在这种大课 堂上不可能经常让同学们提问题. 同学们在学习的基 础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异,但是 教师授课的基点只能是照顾大多数,不可能给跟不上、 听不全懂的少数同学细讲、重复讲.
(4) 复习
学习包括“学”与“习”两个方面. “学”是为 了获取知识,“习”是为了消化、掌握、巩固知识. 每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课 上所讲的内容. 但是,在翻开教材与笔记之前,应先 回顾一下课上所讲的主要内容. 另外,应该经常地、 反复地复习前面所讲过的内容, 这样一方面是为了避 免边学边忘,另一方面可以加深对以前所学内容的理 解,使知识水平上升到更高的层次.
成立. 在数学中要证明一个定理,必须是从条件和 已有的数学公式出发,用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如,掌握了导数 概念及其运算法则,就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量;就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量;就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量;……
元素的像, 则称f 是满射. 若 x1, x2 X , x1 x2 , 必有 f ( x1 ) f ( x2 ),
则称f 是 单射.
若映射f 既是满射, 又是单射, 则称f 是
一 一 映射(或双射).
3. 逆映射与复合映射
设有单射 f : X Y , 则由定义, 对y Rf , 有唯一的 x X ,适合 f ( x) y.于是, 可定义一
这两个实数叫做区间的端点.
设a和b都是实数, 且a b. { x a x b}称为开区间, 记作 (a,b)
Oa
b
x
{ x a x b} 称为 闭区间,记作[a,b]
Oa
b
x
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
映射与函数
{xa {xa
x x
b} b}
记作 [a,b) 记作 (a,b]
若a是A的元素, 则说a属于A,记作 a A; 否则记 a A 或 aA
映射与函数
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (1) 集合的关系 子集 若x A,则必x B, 则称 A是B的子集,记作
A B (读作A包含于B) 或 B A
集合相等 若A B且B A,
则称 集合A与B相等,记作 A B.
的内容进行预习. 预习的重点是阅读一下要讲的定 义、定理和主要公式. 预习的主要目的是:第一, 在听课时能做到心中有数,不至于被动地听课;第 二,知道哪些地方是重点和自己的难点,从而在听 课时能提高效率;第三,可以弥补由于基础、理解 力上的差异所造成的听课困难.
(2) 听课
听课是在大学中获取知识的主要环节. 因此,应 带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着 预习中的疑点和难点,专心致志地听教师如何提出问 题、分析问题和解决问题,并且积极主动地思考.
(6) 答疑 答疑是高等数学学习的一个重要的环节. 遇到
疑问时应该及时地与同学讨论,与教师交流,切不 可将问题放置一旁不理.
除了要重视上述学习环节之外,还有一点应该大 力提倡,那就是互助合作、共同研讨、共同提高. 团 队精神对于学好高等数学同样重要.
四 几点说明
第一章 函数与极限
(function and limit)
掌握了定积分概念及其运算法则,就可以用它 来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不 规则立体的体积等等几何量;就可以用它来刻画和 计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体 的重心等等物理量;就可以用它来刻画和计算总产 量、总成本等等经济量…….
高等数学既为其它学科提供了便利的计算工 具和数学方法,也是学习近代数学所必备的数学 基础 .
真子集 若A B且A B, 则称 A是B的
真子集, 记作 A B.
映射与函数
2. 集合(set)的关系及集合的运算 (2) 集合的运算
集合的基本运算有三种: 并集, 交集, 差集.
差集 由所有属于A 而不属于B的元素 组成的集 称为A与B的差集,记作 A B, 即
A B { x x A 且x B }. A B
U (a, )表示 :与点a距离小于的一切点x的全体.
几何表示
O a
a
a x
映射与函数
U(a, )有时简记为 U (a).
点a的 去心(空心) 的邻域,记作U(a, ), 即
U(a,) {x 0 x a }.
xa
开区间 (a ,a) 称为a的左 邻域,
开区间
(a,
a
)称为a的右
邻域 .
映射与函数
注 研究某个问题时所考虑的对象的全体 称为 全集或基本集,并用 I 表示, 并把差积 I A 特别称为A的 余集或补集.记作 AC .
例如,在实数集R中, 集合 A { x 0 x 1} 的余集
AC {x x 0或x 1}.
映射与函数
3. 区间(interval) 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.
③ 对应法则f , 使对 x X ,有唯一确定的
y f ( x)与之对应.
(2) 对 x X ,元素 x 的像y是唯一的; 而对 y Rf , 元素 y 的原像不一定是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是Y 的一个子集, 即Rf Y , 不一定 Rf Y .
2. 几类重要映射 设映射 f : X Y . 若Rf Y , 即Y 中任一元素y 都是X中某
第一节 映射与函数
集 合 ( set ) 映 射 ( mapping ) 函 数 ( function ) 小结
第一章 函数与极限
映射与函数
一、集合
1. 集合(set)概念与记号 集合(集) 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 (简称元) 组成这个集合的事物. 通常以大写字母 A, B, M,
以小写字母 a,b,m, 等表示集合的元素.
数学教研室 王学顺
绪论
高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学 生必修的重要基础理论课.
随着科学技术的发展,人们越来越深刻地认识 到:没有数学,就难于创造出当代的科学成就. 科 学技术发展越快,对数学的需求就越多.
如今,伴随着计算机技术的迅速发展、自然科 学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的 要求,使许多学科都在直接或间接地,或先或后地 经历了一场数学化的进程——在基础科学和工程建 设研究方面,在人事管理和军事指挥方面,在经济
Rf f ( X ) f ( x) x X .
在中学数学中所接触的函数实际是: 实数集(或其子集) 到实数集的映射. 例如, 映射f : R R, y f ( x) sin x, 正弦函数
注 (1) 构成一个映射必须具备以下 三个要素:
① 集合X, 即定义域 Df X; ② 集合Y, 即值域的范围: Rf Y;