变量与函数(1)
变量与函数的概念1说
数据可视化
函数还可以用于数据可视化，如 绘制图表、直方图和散点图等，
以更好地理解和分析数据。
系统建模
线性模型
线性函数可以用于建立线性模型，以描述两个变量之间的关系。
非线性模型
非线性函数可以用于建立非线性模型，以描述非线性关系。
微分方程
函数还可以用于建立微分方程，以描述动态系统的行为。
3
变量的类型和范围
根据函数的需求，变量可以有不同的数据类型 （如整数、浮点数、字符串等）和范围（如数组、 集合、字典等）。
变量作为函数
函数的结果通过变量返回
01
在函数中，经过计算或处理后，结果通常通过一个或多个变量
返回给调用者。
变量的类型和值
02
根据函数的设计，返回的变量可以有特定的数据类型和值，这
变量的分类
基本数据类型
根据存储的数据类型，变量可以 分为不同的基本数据类型，如整 数类型、浮点数类型、字符类如数 组、字符串、集合等。在这种情 况下，变量实际上存储的是对象 的内存地址，而不是对象本身。
变量的作用域
变量的作用域是指变量在程序中的可见 性和可用性范围。根据作用域的不同， 变量可以分为局部变量和全局变量。
函数可以提高代码的可重用性和可维护性，减少代码冗余。
函数的参数
参数是函数接受输入 的方式，它可以是变 量、常量、表达式等。
参数可以是必需的 （必须提供），也可 以是可选的（可以不 提供）。
参数的作用是传递数 据给函数，以便函数 能够执行所需的操作。
函数的返回值
返回值是函数执行后返回的结果。
返回值可以是任何类型的数据， 如整数、浮点数、字符串、数组
参数传递
在函数调用过程中，变量 可以作为参数传递给函数， 以影响函数的执行行为或 返回结果。
2.1.1函数(一)变量与函数的概念
f(a)＝f((a＋1)－1) ＝(a＋1)2－2(a＋1)＋7＝a2＋6.
(2)方法一
(配凑法)
f(x)＝f((x＋1)－1)＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6, (或 f(x－1)＝(x－1)2＋6), ∴f(x)＝x2＋6. ∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7. 方法二 (换元法)设 t＝x－1,即 x＝t＋1, ∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6, 故 f(x)＝x2＋6. f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
( B )
解析
1 2－1 2 2 －1 3 1 2 3 ∵f(2)＝ 2 ＝5,f2＝1 ＝－5 2 ＋1 2＋1 2
f(2) ∴ 1 ＝－1 f2
(x－1)0 4．函数 y＝ 的定义域是 |x|＋x A．(0,＋∞) B．(－∞,0) C．(0,1)∪(1,＋∞) D．(－∞,－1)∪(－1,0)∪(0,＋∞)
1 010.
1 2 2 2 x 2 4 1 1 2 解 (1)∵f(x)＝ 2,∴f(2)＝ 2＝ ,f ＝ 1 ＝5, 5 2 1＋x 1＋2 1＋22 1 2 2 3 9 1 1 3 f(3)＝ ,f3＝ 2＝ 1 ＝10. 1＋3 10 1＋32
(5)把满足 x≥a，x>a，x≤b，x<b 的全体实数 x 的集合分 别表示为 [a,＋∞),(a,＋∞),(－∞,b],(－∞,b) ．
对点讲练
知识点一 例1 已知解析式求函数的定义域 求下列函数的定义域： 1 3 (1)y＝3－ x；(2)y＝ ； 2 1－ 1－x －x 1 1 (3)y＝ 2 ；(4)y＝ 2x＋3－ ＋ . 2x －3x－2 2－x x 点拨
人教版八年级数学下册19.1.1 变量与函数(第1课时)
行星在宇宙中的位置随时间而变化
万物皆变
气温随海拔而变化
汽车行驶里程随行驶时间而变化
像这样在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.为了更深刻地认识和了解这些变化现象中所隐含的变化规律，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
变量
数值始终不变的量
常量
上述运动变化过程中出现的量，你认为可以怎样分类？
s = 60t
y = 10x
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
2（x+y)=10
S=πr2
提示：在同一个变化过程中，理解变量与常量的关键词：发生了变化和始终不变.
B
B
元/升
数量、金额
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y = 3x －4;
(2) y=x;
(3) y= x2＋2x－8;
(4) S = πr2．
解：（1）3和-4是常量，x和y是变量．
（2）1是常量，x、y是变量．
（3）1、2、-8是常量，x、y是变量．
（4）π是常量，s、r是变量．
1. 结合实例，了解变量、常量的意义，并能正确区分常量与变量.
2. 体会运动变化过程中的数量变化.
学习目标
3. 能确定两个量之间的关系式.
t /h
1
2
3
4
5
s /km
1.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写下表，s的值随t 的值的变化而变化吗？ (1)请同学们根据题意填写上表：(2)在以上这个过程中，变化的量是______________, 不变化的量是_____.(3)试用含t的式子表示s 是_______.
第1课时 变量与函数(1)(导学案)
第十九章一次函数19.1 函数19.1.1 变量与函数第1课时变量与函数（1）——变量与函数的意义及关系一、新课导入1.导入课题汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h.在这个过程中，哪些量变化，哪些量不变？这些量之间有什么关系？这就是我们今天要学习的“变量与函数（1）”(板书课题).2.学习目标（1）知道常量、变量，感受两个变量之间的变化关系.（2）了解函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型.3.学习重、难点重点：能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.难点：函数的概念的理解.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P71到P72的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：仔细阅读课文内容，关键词语、重点内容做上记号.（4）自学参考提纲：①指出课本中四个问题中的变量和常量.②在同一个问题中，如果存在两个变量，那么这两个变量之间应存在什么关系？③完成P71的练习.④上面这些问题中的两个变量都有什么样的关系？⑤在圆的面积S和半径r中，r每取一个值，S都有唯一值与它对应吗？2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对同一个问题中的两个变量的相关联系和一一对应关系的理解.②差异指导：对个性和共性问题进行分类指导.（2）生助生：小组研讨，帮助解决疑难问题.4.强化（1）强调常量与变量的意义.（2）组织学生交流练习中的问题的答案.（3）强调同一问题中的两个变量之间的对应关系.1.自学指导（1）自学内容：P73例1上面的部分.（2）自学时间：4分钟.（3）自学要求：完成思考中的两个问题的阅读理解，对函数定义进行逐词逐句研读领会其含义.（4）自学参考提纲：①分别指出思考中的两个问题的自变量和函数.②什么叫做函数值？③给出自变量x的一个值，函数y可以有两个以上的值吗？会不会存在自变量x的多个值对应的函数y的值都相同呢？2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对思考中x与y的对应关系的确定与理解，是否能区别自变量与函数的意义.②差异指导：对学生学习中存在的疑问进行点拨、引导.（2）生助生：小组研讨，帮助解答疑难问题.4.强化（1）理解思考中的两个问题.（2）讲解归纳板书函数的定义.（3）展示本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表介绍自己本节课的学习收获和存在的疑惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在本节课学习中的态度、学习方式方法、学习成果进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时内容是学生的认知，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率p与时间t之间的关系，下列说法正确的是(C)A.数100和p，t都是变量B.数100和p都是常量C.p和t是变量D.数100和t都是常量2.(15分)下列关系式中，y不是x的函数的是(B)A.y+x=0B.|y|=2xC.y=|2x|D.y=2x2+43.(15分)下面分别给出了变量x，y之间的对应关系的图象，其中y是x的函数的是(D)4.(15分)在下表中，设x表示乘公共汽车的站数（站），y表示应付的票价(元).根据此表，下列说法正确的是(A)A.y是x的函数B.y不是x的函数C.x是y的函数D.以上说法都不对5.(15分)下列有序实数对中，是函数y=2x-1中自变量x与函数值y的一对对应值的是(D)A.(-2.5，4)B.(-0.25，0.5)C.(1，3)D.(2.5，4)二、综合运用(15分)6.如图，在一个半径为18 cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量、函数各是什么？答案：小圆半径、圆环面积.（2）如果挖去的圆半径为x(cm)，那么圆环的面积y(cm2)与x的关系式是y=324π-πx2；（3）当挖去圆的半径由1 cm变化到9 cm时，圆环面的面积由323πcm2变化到243πcm2.三、拓展延伸(15分)7.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系(其中0≤x≤30)：（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？答案：x是自变量,y是函数.（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？答案：13分钟（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？答案：2＜x＜13，13＜x＜20（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少?答案：52.9。
变量与函数
பைடு நூலகம்
π
2.25π
4π
6.76π 10.24π
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就 越大 ． ______
议一议
以上问题有什么共同特点？ 提示：可以从变量个数；一个变量确定， 另一个变量是否唯一确定等方面思考。
上面的三个问题中，有什么共同特点？
小试牛刀
2.用10m长的绳子围成长方形，设长方形的 面积为s(m),一边长为x(m)，用含x的式子表 S=x(5-x) (0<x<5) 示长方形的面积s为_________
s 两个 在本题中，有________变量，它们是________和 t t s ________ ，而且________ 是随着________ 的变化而 变化的，当x的值给定时，s的值也就跟着唯一确定了， 函数 ，这里用了________ 解析 法来表示它 所以s是x的________
新课推进
问题3 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用 米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些 对应的数值：
波长l（m）
频率f(kHz)
300
1000
500
600
600
500
1000
300
1500
200
同学们是否能从表格中找出波长l与频率f 的关系呢? l· f = 30000
问题4：圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满 πr2 ． 足下列关系：S=____ 利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、 2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
19.1.1 变量与函数(1)
初步应用 巩固知识 3、下列关系中，y不是x的函数的是（ ）
x A. y 2
C.
B. D.
y 2x
2
y x ( x 0)
y x
对于x的每一个值，y 有两个值与它对应， 所以y不是x的函数。
初步应用 巩固知识
4、下列各曲线中哪些表示y是x的函数
x2 对于x的 每一个值， y只有唯 一确定的 值与它应， y才是x 的函数。
找一找
下面问题中变化的量和不变的量： （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆 的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？
找一找
下面问题中变化的量和不变的量： （4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边 长x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？在矩形改变形状的变化过程中，哪些量 是变化的？哪些量是固定不变的？ D C y
x1
x1
当堂反馈
1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变 量的函数?试写出用自变量表示函数的式子
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变。
____是自变量，___
是___的函数，关系式__________。
（2）秀水村的耕地面积是106 m2 ,这个村人均占有 耕地面积y随这个村人数n的变化而变化。 关系式____________。 ___是自变量，___是___的函数，
万物皆变
量的变化
研究变量之间的关系
把握运动变化规律
观察思考
分析变化
想一想：1前面的每个问题中各有几个变量？
2同一个问题中的变量之间有什么联系？ （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间 为t h，行驶的路程为s km； S=60t 行驶时间 t/h 行驶里程s/km 1 60 3 180 3. 4 204 4 240 9 540 … …
19.1.1变量与函数(1)
60 180 204 240 540
上述问题有共同之处吗？ 请同学们分组 交流。
1 每个变化的过程中都存在着两个变量，
2当其中的一个变量变化时，另一个变量也 在随着变化，
3当一个变量确定一个值时，另一个变量也随 着确定 唯一 个值。
你 能仿照此题编一道题目吗？
课堂小结
1.常量、变量、自变量、函数； 2.辨析是否是函数的关键：
(1)是否存在两个变量, (2)是否符合唯一对应性； 3、会根据题意写出函数解析式、自变量的 取值范围。
自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体， 叫做函数自变量的取值范围
1、 下列各式中，ｘ都是自变量，请判断ｙ是不
是ｘ的函数，为什么？ 若是，求出自变量的取值范围。
1.y＝ 2x
3.y＝ + x
2.y＝
4.y=
x3
1 对于x的每一个值，
x
y总有唯一的值与
它对应，y才是x的
函数。
2、根据所给的 条件，写出y与x的函数关系式，并 写出自变量的取值范围
例如： (1)S=60 t中，常量是60，变量是s、t,
t 叫做自变量 ，S是t 的函数；
（2）y=5-x中， 为常量，变量是 ， 自变量是 ， 是 的函数。
（3）n
200
t
中，自变量是 的函数。当t=10
，是 时，函数值是
。
1．请同学们找出这些函数的常量、变量、 自变量和函数：
(1)y =3000-300x (2) y=x (3) S= πr2
油？
用于表示自变量与函数之间的关系的式子， 叫做函数的解析式（关系式）
18.1变量与函数(第1课时)
18.1变量与函数（1）教学目标：1、掌握函数的概念，理解两个变量之间的对应关系．2、知道函数关系的三种表示方法。
3、能列出简单的函数关系式。
创设情景：看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？想一想：在这个变化过程中，任选时刻t的一个确定值，温度T有几个值和这个时刻对应？课堂研讨：问题1：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的？问题2：收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f就________．解 :(1) l 与f 的乘积是一个定值，即lf＝300 000，或者说(2)波长l越，频率f 就越。
函数的定义：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做。
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的。
试一试：下列变化中，哪些y是x的函数？哪些不是？说明理由。
（1）xy=2 （2）x2+y2=10 （3）x+y=5 （4）|y|=3x+1 （5）y=x2-4x+5 （6）x2+y=10函数关系的表示：表示函数关系的方法通常有三种：问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为，如问题2中的课堂练习：1.写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r 的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间 t（时）的关系式；(3)n 边形的内角和 S与边数n 的关系式．2.写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量：①时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式；②底边长为10的三角形的面积S与这边上的高h之间的关系式；③某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘米)与所挂重物x(千克)之间的关系式;3.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．4.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是: 。
18.1.1函数与变量(1)
18.1变量与函数自主学习（预习与交流）1.变量：在某个变化过程中，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的量。
2.常量：在某个变化过程中，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的量。
3.函数的概念：如果在一个＿＿＿＿＿＿＿过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个取值，y都有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么，y就叫做x的函数，x是＿＿＿＿＿，y是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4.函数的表示方法：＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿。
课堂导学（合作与探究）（一）函数的有关概念：例1：下列几个式子:①y=x,②x≧2），③y=±2x.其中那些表示y是x的函数？它的自变量、因变量、常量各是什么？分析：判断是不是函数，必须要看两个方面：一是是否又两个变量，二是对x的每一个值，y是否有唯一的对应值。
在分析表达式中的常量和变量时，要紧扣定义。
解：表示y是x的函数的函数有①②，①中的自变量是x，因变量是y,常量是1；②中的自变量是x，因变量是y,常量是1、-2.学点训练：1.用总长为100m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（m2）与一边长L（m）之间的关系式为S=L(50-L)那么下列说法正确的是（）A.L是常量、S是变量、S是L的函数B.50是常量、S和L是变量、L是S的函数C. 50是常量、S和L是变量、S是L的函数D. L是变量、50是常量、L是S的函数2.下列变量之间：⑴凸多边形的对角线条数和变数;⑵三角形面积与它的底边（高为定值）；⑶x-y=3中的y与x; ⑷y与x；⑸圆的面积与圆的半径，其中成函数关系的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个反馈与诊断1.小花用40元钱购买5元／件的商品，则她剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x(件)之间的关系式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中常量是＿＿＿＿，变量是＿＿＿＿。
2.在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么对于下列式子s=vt,下列说法正确的是（）A.s,v,t三个量都是变量B. s与v是变量，t是常量C. s是常量,v与t是变量D. s与t是变量，v是常量3.指出下列数学表达式中的常量与变量（1）y=2x2 (2)y=ax2+b(a,b是常数，且a≠0) (3)y=90+13x课堂反思：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿1.我今天学到什么知识？2.我感受到了什么？3.还存在什么疑惑呢？。
19.1.1变量与函数(1)教学设计【精品教案】
《19.1.1 变量与函数（1）》教学设计一、教学目标知识与技能1.了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.过程与方法经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.情感、态度与价值观引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.二、教学重难点【重点】认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系.【难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量.三、教学过程设计活动一：情境感知，新课导入万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.【师生活动】学生说出自己的看法.教师也可以让学生举出自己熟悉的例子,据此引出今天学习的课题:变量与函数.【设计意图】由学生经历的事情提问题,能引起学生的好奇心.活动二：问题探究，新知领悟（一）变量与常量的概念问题1:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?(出示教材表19-1)表19-1t/h 1 2 3 4 5s/km【师生活动】学生填表,并思考.教师引导学生交流:1.根据题意填写下表:t/h 1 2 3 4 5s/km2.在以上这个过程中,变化的量是.不变化的量是.3.试用含t的式子表示s.4.这是个行程问题，发现：随着时间t的变化，汽车行走的路程S_____________________.【设计意图】挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量.问题2:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y元,y的值随x的值的变化而变化吗?【师生活动】学生分析问题,并同桌交流.教师引导解析.1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元; 第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元; 第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元. 2．在以上这个过程中，变化的量是_________,不变化的量是______．3．试用含x的式子表示y．_______4.这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．【设计意图】通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.问题3:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S 分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?【师生活动】学生活动填表,并讨论.教师引导学生交流.1.填表:半径r(cm) 10 20 30圆面积S(cm2)2.圆面积S与圆的半径R之间的关系式是；其中变化的量是；不变化的量是.3.这个问题反映了________随______的变化过程．【设计意图】挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.问题4:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?【师生活动】学生活动小组讨论后,教师进行解析:因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10 m的一半,即5 m.若矩形一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).若矩形一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).若矩形一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).若矩形一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.【设计意图】在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照某种标准进行分类吗?【师生活动】学生分组讨论,交流自己的看法.按照有无变化,我们发现其中有些量(例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……)的值是变化的,有些量的值始终不变(例如速度60 km/h;电影票的单价10元……),因此可分为两类.师生共同总结出变量和常量的定义并板书.变量和常量的定义:在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.【设计意图】通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念.练习1 指出下列问题中的变量和常量：(1)某市的自来水价为4元／t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt，月应交水费为y元．(2)某地手机通话费为0.2元／min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率(圆周长与直径之比)为π．(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．【解答】(1)变量是x,y；常量是4.(2)变量是t,w；常量是0.2, 30.(3)变量是r,C；常量是π.(4)变量是x,y；常量是10.活动三:典例分析，知识理解例1 填空(1)某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y （元）与学生数n（个）的关系式是。
19.1.1变量与函数(1)
当堂检测
请在6分钟内完成教材第71页的练习 题，看哪一组完成的又快又好。
4 3 1、若球的体积为V,半径为R，则 V 3 π R
当堂训练
,其中
变量是 ，常量是 。 2、某本书的单价是14元，当购买x本这种书时， 花费为y元，则y与x之间的关系式为 ，其中变 量是 ，常量是 。 3、一汽车油箱中有油60升，若每小时耗油6升， 则油箱中剩余油量y（升）与时间t（时）之间的关 系式为 ，其中变量是 ，常量是 。 4、已知矩形的周长为6，设它的一条边长为x，那 么它的面积y与x之间的关系式是 ，其中变量 是 ，常量是 。
19标
1、理解并掌握常量与变量的概念； 2、能够根据题意区别变量与常量，并 能写出变量之间的关系.
自学指导
看P71页练习以上内容，完成下列问题： 1.在（1）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含t的式子表示s？ 2.在（2）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含x的式子表示y？ 3.在（3）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含r的式子表示S？ 4.在（4）中哪些是变化的量？哪些是不变的 量？如何用含x的式子表示y？ 5.总结什么是变量、常量。 8分钟时间内看哪些同学能快速完成
《变量与函数(1)》导学案2
变量与函数（1）【学习目标】知识与技能：理解变量、常量的概念以及相互之间的关系；能指出一个变化过程中的变量与常量。
过程与方法：能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式。
情感态度与价值观：学生通过对实际问题的讨论和分析，感受事物变化过程的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。
【学习重点】1．认识变量、常量．2．变量、常量必须存在于一个变化过程中【学习难点】常量与变量之间的关系，准确判断变量。
【课时安排】：1课时一、新课导入问题一：我到超市购买了若干瓶矿泉水，这种矿泉水的单价是每瓶元，花费的总金额为y元，购买的瓶数为x瓶，先填写下表，再用含x的式子表示y. 1．请同学们根据题意填写下表：2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3．试用含x的式子表示y. y=_________________．这个问题反映了购买矿泉水需要的钱____随购买的数量___的变化过程．问题二：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．1.请同学们根据题意填写下表：请说明你的道理：路程=__________________2.．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3．试用含t的式子表示s．s=_________________这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程___随行驶时间___的变化过程． 二、预习导学【活动一】以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如______________），有些量的数值是始终不变的（如______________ ） 结论： 在一个变化过程中，我们称数值发生变化．．．．的量为________； 在一个变化过程中，我们称数值始终不变．．．．的量为________； 【活动二】例题讲解指出下列关系式中的变量与常量：(1) y = 5x －6 (2) y=(3) y= 4x 2＋5x －7 (4) S = Лr 2解：（1）5和-6是常量，x 和y 是变量。
1变量与函数(1)
当堂检测
1、若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝3
4Ｒ3．其中变量是_______、•_______，常量是________ ．自变量是 ， 是 的函数，R 的取值范围是
2、校园里栽下一棵小树高1．8米，以后每年长0．3米，则n 年后的树高L 与年数n 之间的 函数关系式__________其中变量是_______、•_______，常量是________．自变量是 ， 是 的函数,n 的取值范围是
3、在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v= ，则这个关系式中变量是_______、
•_______，
常量是________．自变量是 ， 是 的函数,自变量的取值范围是
4、已知2x-3y=1，若把y 看成x 的函数，则可以表示为___________．其中变量是_____、•_____， 常量是________．自变量是 ， 是 的函数,x 的取值范围是
5、等腰△ABC 中，AB=AC ，则顶角y 与底角x 之间的函数关系式为_____________．其中变量是
_______、•
_______，常量是________．自变量是 ， 是 的函数,x 的取值范围是 6、汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，•则油箱内剩余油量Ｑ升与行驶时间 t 小时的关系是_____________．其中变量是_______、•_______，常量是________．自变量
是 ，是 的函数,t 的取值范围是。
第1课时 变量与函数(1)PPT课件
运用新知
1.常量和变量在研究“某一变化过程中”时是 确定的，以s=vt为例（t为时间， _______；
②若时间t固定，则常量是_______，变量是 _______.
分析：①速度v固定，即在这个变化过程中 v的取值保持不变，此时s随t的变化而变化， 可以取不同的数值，故v为常量，s和t为变 量；②t固定，即为常量，此时s和v可以取 不同的数值，是变量.
解 如图能发现涂黑的格子成一条直线．
如果把这些涂黑的
格子横向的加数用
x表示，纵向的加 数用y 表示，试写 出y 与x 的函数关
系式．
函数关系式：
y＝10－x
图 17.1.2
例1
y x
试写出等腰三角形中顶角的度
数y与底角的度数x之间的函数
关系式．
解 : y与x的函数关系式：
y＝180－2x．
例2
试写出重叠部分面积ycm2与MA长 度x cm之间的函数关系式．
5.下列说法不正确的是( A ) A．公式V=4/3πr3中，4/3是常量，r是变量，V 是πr的函数 B．公式V=4/3πr3中，V是r的函数 C．公式v=s/t中，v可以是变量，也可以是常量 D．圆的面积S是半径r的函数
填写如图所示的加法表，然后把所有填 有10的格子涂黑，看看你能发现什么?
对应的函数y 的值y=10-3=7 ，则把7做
这个函数当x=3时的函数值
例1 求下列函数中自变量x的取值范围：
1 y 3x 1 2 y 2x2 7 3 y 1
x2
4 y x 2
⑴ 函数的解析式是整式时，自变 量可取全体实数；
⑵ 函数的解析式分母中含有字母 时，自变量的取值应使分母≠0；
2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
17-1-1 变量与函数(1)-2020-2021学年八年级数学下册教材配套教学课件(华东师大版)
函数解析式是数学式子的自变量取值范围：
1.当函数解析式是只含有一个自变量的整式时，
自变量的取值范围是全体实数.
2.当函数解析式是分式时，
自变量的取值范围是使分母不为零的实数.
3.当函数解析式是二次根式时，
自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数.
例4 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：
（2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕
地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，
y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y 不是x的函数.
时间t、
1．在以上这个过程中，变化的量是_______
速度60千米/时
路程s
_________．不变化的量是_____________．
60 t
2．试用含t的式子表示s．s=_______
s
t
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化
过程.
问题3：下面是收音机上一些波长与频率的对应的数值：
2
则S与r之间满足下列关系：S＝____________．
πr
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆
的面积，并将结果填入下表：
半径r（cm)
圆面积S（ cm2
1
）
1.5
2
2.6
3.2
…
2.25 4
6.76 10.24 …
人教版数学八年级下册19.1.1变量与函数(1)课件
)
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
角度 例2：圆周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是( )
今天我们学习了哪些知识？
化过程
例1：指出下列变化过程中的变量和常量：
火车行驶路程随 其中常量是____ ,变量是_____；
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
确的是( C ) 3．如图，△ABC底边BC上的高是6 cm，当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化，在这个变化过程中
，变量是________________________,常量是_______________. 1．某人要在规定的时间内加工200个零件，对于工作效率n与时间t之间的关系，下列说法正确的是( )
小球的高度随滚
行驶时间而变化 行星在宇宙中的位置随时间而变化
动时间而变化
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律
新课讲解 思考:(1)汽车以60 km/h 的速度匀速行 驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．填写下表，s 的值随t的值的变化而变化吗？
t/h s/km
1 2345 60 120 180 240 300
19.1.1变量与函数（1）
导入新课
万物皆变
行星在宇宙中的 位置随时间而变化
导入新课
万物皆变 气温随海拔而变化
导入新课
万物皆变 树高随树龄而变化
导入新课
万物皆变
A．200和n，t都是常量
从数学 研究变 1、什么叫变量？什么叫常量？
1．某人要在规定的时间内加工200个零件，对于工作效率n与时间t之间的关系，下列说法正确的是(
19.1.1《变量与函数(1)》【课件】
知识应用
6、指出下列问题中的变量和常量，及它们之间的关系式
（2）瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放。
层数x 1 2
瓶子总数y 1 3
3…
x
6 … 1+2+3+ …y 1 x( x 1) 2
知识小结
1. 常量和变量的概念 2. 常量与变量不是绝对的，而是对于一个
4、章引言中的一张图表和图象反映了什么量随什么量变化而变化？ 分别是用什么方式反映它们的变化规律的？
问题1：在事物的运动变化中，一个量随另一个量的变化而变化的现 象大量存在，请你再举出一个具有这种特征的相关例子加以说明。
行星在宇宙中的位置随时间而变化
问题1：在事物的运动变化中，一个量随另一个量的变化而变化的现 象大量存在，请你再举出一个具有这种特征的相关例子加以说明。
问题引入
4、用10m长绳子围成一个矩形，当矩形的一边长x为3m，3.5m，4m，4.5m 时，它的相邻的边长y分别为 2 、 1.5 、 1 、 0.5 m。
（1）这个过程中，变化的量是_________，不变化
的量是_____ ．
（2）试用含x的式子表示y，y= __________．
（3）这个问题反映了矩形的
变量：服装每天的售价x（元/件）和当日的销售量y（件） 当日的销售量y随服装每天的售价x的变化而变化。
知识应用
6、指出下列问题中的变量和常量，及它们之间的关系式 （1）在计算器上按照下面的程序进行操作：
输入x（任意一个数）
按键 × 2 显示y（计算结果）
+ 5=
x 1 3 －4 0 101
y
7
11 －3 5 207
形的一边长x,矩形的邻边长y
变量与函数的定义及应用
变量与函数的定义及应用变量和函数是编程语言中最基本的概念之一，在编写代码时经常需要使用它们。
本文将介绍变量和函数的定义、用途和应用。
1. 变量的定义和应用变量是用来存储数据的容器，编写程序时必须首先定义变量，然后才能在程序中使用它们。
通常在定义变量时需要为其指定名称和数据类型。
（1）变量的定义在大多数编程语言中，变量的定义语句通常包含变量类型和名称。
例如，要定义一个整数类型的变量，可以使用如下语句：int num;这条语句定义了一个名为num的变量，它的数据类型是整数类型。
如果需要定义多个变量，可以使用逗号隔开，例如：int num1, num2;这条语句定义了两个整型变量num1和num2。
在有些编程语言中，定义变量时需要指定初始值。
例如，要定义一个初始值为10的整型变量，可以使用如下语句：int num = 10;（2）变量的应用定义变量后，可以在程序的任何地方使用它们。
例如，在使用C++编写的程序中，可以在函数中使用定义的变量，例如：int main(){int num = 10;cout << "num的值为：" << num << endl;return 0;在这个例子中，声明了一个名为num的变量，它的数据类型是int，值为10。
在main函数的第二行，输出了num的值。
2. 函数的定义和应用函数是一组预定义好的指令，用于执行特定的操作。
在编写程序时，通常需要多次调用函数，以实现不同的任务。
函数中通常包含输入参数、输出参数和一组操作。
（1）函数的定义函数的定义通常包含函数名称、输入参数、输出参数和操作。
例如，要定义一个名为add的函数，用于计算两个数值的和，可以使用如下语句：int add(int num1, int num2){return num1 + num2;在这个例子中，定义了一个名为add的函数，它接受两个整数类型的输入参数num1和num2，并返回它们的和。
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变量与函数(1)
【学习内容】14．1．1变量与函数
【学习目标】
（1）理解变量、常量的概念以及相互之间的关系；能指出一个变化过程中的变量与常量。
（2）能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式。
（3）学生通过对实际问题的讨论和分析，感受事物变化过程的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。
【学习重点】1．理解变量、常量．
【学习难点】常量与变量之间的关系，准确判断变量。
【学习过程】
【创设情境】
问题一：我到超市购买了若干瓶矿泉水，这种矿泉水的单价是每瓶 1.2元，花费的总金额为y元，购买的瓶数为x瓶，先填写下表，再用含x的式子表示y.
1.
2.．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含x的式子表示y. y=_________________
这个问题反映了购买矿泉水需要的钱____随购买的数量___的变化过程．
问题二：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．
1.
请说明你的道理：路程=__________________
2.．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．s=_________________
这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．
【探索新知】
【活动一】以上这些问题都反映了不同事物的变化过程，其实现实生活中还有好多类似的问题，在这些变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的（如______________），有些量的数值是始终不变的（如______________ ）
结论：在一个变化过程中，我们称数值发生变化
．．．．的量为________；
在一个变化过程中，我们称数值始终不变
．．．．的量为________；
【活动二】例题讲解
指出下列关系式中的变量与常量： (1) y = 5x －6 (2) y=
(3) y= 4X 2
＋5x －7 (4) S = Лr 2
解：（1）5和-6是常量，x 和y 是变量。
【活动三】 生活中
1、每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？ •设一场电影票售出票X 张，票房收入y 元，则y 与X 的关系式是________，常量是 ，变量是 .
2.某移动套餐打长途话费为0.6元每分钟，若打x （分），话费为y （元），则 y 与x 的关系式是________常量是 ，变量是 .
3.某种练习本的单价为a 元，x （本）表示购买这种练习本的本数，y （元）表示买练习本的总价，试用含x 的式子表示 y. ________
4.我国淡水资源总量约为2.75×104亿立方米，则人均占有淡水资源量y 立方米与人口数n 的关系式是________，
常量是 ，变量是
讨论：判断是常量还是变量：①看它是否在_________________________中，②看它在____________中的取值情况。
5.汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量Q 升与行驶时间t 小时的关系是_______.变量是 .
6.小颖爸爸开车到加油站给汽车加93号油，她观察了加油的全过程，加油后她把加油站油表上油量刚好是20升的数据记录下来如图：
（1）根据你的经验，指出常量是_______，变量是_______ （2）则金额y （元）与油量x （升）的关系式是
科学常识中
7、在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm ，设重物质量为mkg ，受力后的弹簧长度为L cm, L=_________________常量是_______，变量是_______ 数学问题中
8、如果直角三角形中一个锐角的度数为α，那么另一个锐角的度数β与α间的关系式 是 其中常量是 ,变量
x
6金额（元） 144.6
油量（升） 20
9、等腰三角形的顶角为x度，那么底角y的度数用含x的式子表示为__________，常量是变量是______.
10、一个三角形的底边为5，高h能够任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.面积s 随高h变化的关系式是，其中常量是，变量是，
讨论：现在我们知道了什么是常量，什么是变量，你能举出例子来吗？试一试。
【水平提升】
1、顽皮的小孩向平静的湖面扔了一块石头，水中波纹呈圆形，
问1：怎样用含圆半径r的式子表示圆面积S？
问2：怎样用含圆半径r的式子表示圆周长C?
问3：变量S与变量C的关系?
2、用10m长的绳子围成矩形，试改变矩形的长度，观察矩形的面积怎样变化．记录不同的矩形的长度值，计算相对应的矩形面积的值，探索它们的变化规律。
设矩形的长为xm，面积为Ｓm2，试用含x的式子表示s． _______________；
3、在回来的路上，途径一个小摊，有个阿姨在卖栗子，看到我们阿姨说：“糖炒栗子好吃，5元钱一斤，如果多买我给你们优惠，即一次购买4斤以上，超过4斤部分的桔子价格打8折。
（1）写出付款金额Y与购买栗子重量X之间的关系式？
（2）爸爸说：我还剩下100元，问最多能买多少斤桔子？
【反思归纳】
小组推荐一位代表，谈谈他们一组在学习中遇到的问题，以及本节课所要掌握的知识。
【课下作业】
☆我能选
1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q•（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（）
A．Q=8x B．Q=8x-50 C．Q=50-8x D．Q=8x+50
2．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）
A．S是变量 B．t是变量 C．v是变量 D．S是常量
3.圆周长公式C=2πR中,下列说法准确的是( ) π
A. π,R是变量,2为常量
B.C,R为变量,2,π为常量
C.R为变量,2,π,C为常量
D.C为变量,2,π,R为常量
☆我能填
4．在一个变化过程中，__________________的量是变量，•________________的量是常量．
5．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y．
x与y之间的关系是_________________．
6.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝4
3
πＲ3．其中变量是_______、•_______，常量是
________．
7．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y与上升高度x之间关系式为__________．
8．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，•则油箱内余油量Ｑ升与行驶时间t小时的关系是_________．
☆我能答
9、某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.。