第二章 单因子试验的设计与分析

上
f A, fE
二、单因素方差分析
方差来源 偏差平方和 自由度 均方和
F
值
因素A
SA
f A r 1 VA S A f A
fe n r
F
VA Ve
误差e
Se
ST
Ve S e f e
总和T
二、单因素方差分析

简洁公式：
r m 2 r m 2
S T (Yij Y ) Yij
A3
A4
5.7，7.5，9.8，6.1，8.4 6.4，7.1，7.9，4.5，5.0，4.0 6.8，7.5，5.0，5.3，6.1，7.4
三、双因素方差分析

检验两个因素对试验结果有无影响。
这里仅介绍无重复试验的情况。对A、B
的每一个水平的一对组合，只进行一次
试验。
三、双因素方差分析
表 双因素试验结果
i 1
三、双因素方差分析
1 Y Yij n i 1 j 1
r s
T Yij nY
i 1 j 1
r
s
三、双因素方差分析

同样有单因素方差分析中的假设前提，
即： Yij ~ N ( ij , 2 )，各个样本 Yij ；相
互独立。
三、双因素方差分析
ST S e S A S B
布 N ( i , 2 )
；
• (2)在不同水平下，各方差相等；
第一节
方差分析
• （3）样本相互独立。
第一节
方差分析
• 上述总体均值是否相同的问
题归结为假设检验的问题，
检验如下假设是否为真：
•
H1
： 1
2 r
•
H0
：1 , 2 ,, r 不全
相等
第一节 方差分析
2
Ti
4
2
A1
A2
A3
3(9)
2(4) 6 36 14
7(49)
8(64) 21 441 149
-1(1)
-3(9) -9 81 35
9
7
81
49
T j
T j
2
2
T 18

i 1 3

i 1
3
3
Ti 134
2
T j 558
2
T 2 324
Y
i 1 j 1 3 2 ij
个水平，在每一水平下进行m次重复试验，
其结果用
表示， Yi1 , Yi 2 , , Yim
。
试验结果数据如表所示： i 1,2,, r
单因素试验结果数据
水平 试验数据 和 均值
A1
A2
…
Y11 , Y12 ,, Y1m
Y21 , Y22 ,, Y2 m
……
T1
T2
…
Y1
Y2
…
Ar
Yr1 , Yr 2 ,, Yr m
Tr
Yr
二、单因素方差分析

记第 i 水平下的数据均值为 Y i ，总的均值
为 Y。共有n rm个数据，这n个数据不
全相同，它们的波动可以用总的偏差平
方和来表示 S T：
S T (Yij Y ) 2
i 1 j 1 r m
二、单因素方差分析

引起数据波动的原因有以下两个：
Tr
T
Y r
总平均
Y j
T1 T.2 T. j T.S Y 1 Y.2 Y. j Y.S
Y
三、双因素方差分析

其中：
Y i
1 Yij s j 1
s
s
Y j
1 r Yij r i 1
r
Ti Yij sY i
j 1
T j Yij rY j
为
A1 , A2 , A3 , A4
。
第一节
方差分析
• 3.试验条件（也称处理）
• 在一次试验中，每个因子总取一特定 的水平，若干因子各取一个特定的水 平构成的组合，称其为一个试验条件。 本例中仅有一个因子，所以每一个水
平便是一个试验条件。
第一节
• 4.指标
方差分析
• 衡量试验结果好坏的量称为指
S A 63.29
fA 3
f e 16
VA 21.10 F 3.46
Ve 21.10
Se 97.50
ST 160.79 fT 19
二、单因素方差分析

某团队项目是在仪器制造中降低材料消耗，
对用各种结构的仪器分别测定其材料消耗量，
数据如表所示，想要了解仪器的结构（记为
总的均值为 yi
数据。
。此时共有 rm个 y
单因素试验结果数据
水平 试验数据 和 均值
A1
A2
…
Y11 , Y12 ,, Y1m
Y21 , Y22 ,, Y2 m
……
T1
T2
…
Y1
Y2
…
Ar
Yr1 , Yr 2 ,, Yr m
Tr
Yr
第一节 方差分析
方差分析需要对数据作三项假定：
• (1)在水平 A 下，指标服从正态分 i
从正态分布，且各种配合的方差相等。
试分析不同饲料与不同品种对猪的生长 有无显著影响？
三、双因素方差分析
因素 B
体重增长量 （品种）
B1
A1
51 53 52
B2
56 57 58
B3
45 49 47
（饲料） A
因 素
A2
A3
三、双因素方差分析
因素B 因素A
B1
1(1)
B2
6(36)
B3
-5(25)
Ti
取5个垫片测定其断裂强度，
数据如下表：
生产线
1 86.5
2 93.4
3 88.6
4 94.3
断 裂 强 度
92.0 85.2 87.9
86.0
87.9 90.6 85.5
88.4
93.2 88.8 92.7
90.9
93.3 92.0 89.2
92.5
第一节 方差分析
• 试问4条生产线生产的垫片的
标，用y表示，它是一个随机
变量。本例中的断裂强度就是
试验指标。
第一节
• 5. 单因素试验
方差分析
• 如果一个试验中所考察的因素
只有一个，那么这种试验称为
单因素试验。
第一节
方差分析
• 假设A因素有r个水平，在每一水
平下进行m次重复试验，其结果 用 yi1, yi 2, yim 表 ， 示， i 1, 2, r 。在第i水平下 的数据和为 Ti ，数据均值为
2
S B r (Y j Y ) 2
j 1 j 1
s
s
T j
T2 r rs
2
S e ST S A S B
三、双因素方差分析

例 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生
长影响的差异，对3种不同品种的猪各选
3头进行试验，分别测得其3个月间体重
增加量如表所示。假定其体重增长量服
生产线 1 86.5 92.0 2 93.4 87.9 90.6 85.5 88.4 3 88.6 93.2 88.8 92.7 90.9 4 94.3 93.3 92.0 89.2 92.5
断 裂 强 度
85.2 87.9 86.0
二、单因素方差分析
方差来源 偏差平方和 自由度 均方和 F值
因素A 误差e 总和T
S e (Yij Y i )
i 1 j 1
r
m
2
二、单因素方差分析

总偏差平方和 S 、组间偏差平方和 S A 以
T
及组内偏差平方和
之间满足关系 ： Seຫໍສະໝຸດ Baidu
ST S A S e
二、单因素方差分析

自由度的计算：
fT f A f e
二、单因素方差分析
f T 试验次数 1 n 1
2
FA (r 1, (r 1)( s 1))
因素B
S B r (Y j Y )
j 1
r s
s
s 1
FB
(r 1) S B FB (s 1, (r 1)( s 1)) Se
误差
S e (Y ij Y i Y j Y ) 2 (r 1)( s 1)
S e (Yij Y i Y j Y ) 2
i 1 j 1
r
r
s
S A s (Y i Y ) 2
i 1
s
S B r (Y j Y ) 2
j 1
三、双因素方差分析
( s 1) S A FA Se
( r 1) S B FB Se
i 1 j 1
总和
S T (Yij Y ) 2
i 1 j 1
r
s
rs 1
三、双因素方差分析
S T (Yij Y ) Yij
2 i 1 j 1 i 1 j 1 r s r s 2
T2 rs
2 T T 2 i S A s (Y i Y ) rs i 1 i 1 s r r
第二章 单因子试验设计
第一节 方差分析
• 方差分析：鉴别各因素效应 的一种有效的统计方法。
第一节 方差分析
• 一、几个基本概念
1．因素
有时我们会遇到需要比较
多个总体均值的问题，现举
例如下：
第一节 方差分析
• 现有4条生产线生产同一种垫
片，为了了解不同生产线的垫
片的断裂强度有无明显的差异，
现分别从每一个生产线随机抽
f A 水平数 1 r 1
f e fT f A n r
二、单因素方差分析

将因素及误差的偏差平方和与相应的自由
度之比称为因素的均方和及误差的均方和，
分别记为：
VA S A f A Ve S E f E
二、单因素方差分析
VA F Ve
当 F F ( f A , f e ) 时认为因子A在显著性水平 是显著的，其中 F ( f A , f e ) 是自由度为 的F分布的 分位数。
平均断裂强度是否相同？
第一节 方差分析
• 对指标有影响的试验条件就是
因素。
• 试验中可改变的（可控制的）
试验条件称为因素，它们常用
大写字母A、B、C等表示。
第一节 方差分析
• 在本例中，生产线对指标－垫
片的断裂强度有影响，因此生
产线就是一个因子，记为A。
第一节
• 2.水平
方差分析
• 因素所处的各个状态（等级） 称为因素的水平，用因素的字 母加下标来表示，譬如本例中 因素A有四个水平，可以记
FA ~ F (r 1, (r 1)( s 1))
FB ~ F ( s 1, (r 1)( s 1))
三、双因素方差分析
方差 来源 因素A 偏差平方和 自由度
F值
FA ( s 1) S A Se
F
临界值
S A s (Y i Y ) 2
i 1
r
r 1
二、单因素方差分析

茶是世界上最为广泛的一种饮料，但很
少人知其营养价值。任一种茶叶都含有
叶酸，它是一种维他命B。如今已有测定
茶叶中叶酸含量的方法。这里将要研究
各地的绿茶的叶酸含量是否有显著差异？
二、单因素方差分析
产地 数据（毫克） 7.9，6.2，6.6，8.6，8.9，10.1，9.6
A1
A2
（a）因素不显著
（b）因素显著
第一节 方差分析

方差分析是在相同方差下检验若干个正
态总体均值是否相等的一种统计分析方
法。
第一节 方差分析

5.双因素试验
如果在试验中所要考察的影响指标的
因素有两个，这种试验为双因素试验，
可采用双因素方差分析方法。
二、单因素方差分析

设在一个试验中只考察一个因素A，它有r
i 1 j 1 i 1 j 1
2 T T S A m(Y i Y ) 2 i n i 1 i 1 m r r 2
T2 n
S e ST S A
二、单因素方差分析

式中： T ——第 个水平的数据和；
i
T ——所有 n rm个数据的总和。
i
二、单因素方差分析
(1)由于因素A的水平不同，当假设H 0不
真时，各个水平下指标的均值不同，这
必然会使试验结果不同，可用组间偏差 平方和S A来表示：
二、单因素方差分析
S A m(Y i Y )
i 1 r 2
这里乘以m是因为在每一水平下进行了m次试验。
二、单因素方差分析

(2)随机误差 :组内偏差平方和
Y
i 1
3
ij
198
方差分析表
方差来源 偏差平方 和 自由度
f
F的值
FA 2 26 3 5.2 10 3
F的临界值
F0.05 (2,4) 6.94
F0.01 (2,4) 18
因素
A
B
26 SA 3
2
因素
S B 150
10 Se 3
2
因 素 试验结果
B
行和
行平均
B1
Y11 Y21
B2 B j BS
Ti
Y i
Y 1 Y 2
Y i
因 素
A1 A2
A
列和 列平均
Ai

Y12 Y1 j Y1S Y22 Y2 j Y2 S
Yi 2 Yij YiS
Ar
T j

Yi1
Yr1
Ti
总和
T1 T2
Yr 2 Yrj YrS
因素A）对材料消耗量的影响是否显著（这 里假定每一种结构下的材料消耗量服从等方 差的正态分布）。
二、单因素方差分析
水平 材料消耗量
结构
A1
A2
A3
61.0，62.8，57.6，58.3，54.7，55.5，59.3，60.3
结构 结构
52.8，54.5，48.5，50.2 54.3，56.1，51.4，53.6