第三章波动

习题三 波动 声波

基本要求

掌握平面简谐波方程，理解波速、波长，波的频率和周期。理解波的能量。理解惠更斯原理，了解波的衍射。理解波的叠加原理，掌握波的相干条件及波的干涉。理解驻波的形成条件和特点。理解声波的声强级和响度级了解超声的特点。

[3-1] 波动与振动有什么区别和联系？

答：振动是物体在一定位置附近来回重复的运动。波动是振动在弹性介质中的传播。振动是波动的起源，波动是振动的扩展。波动包含着振动。

[3-2] 设在介质中有振源作谐振动并产生平面余弦波。问：（1）振动的周期与波动的周期数值是否相同？（2）振动的速度与波动的速度数值是否相同？

答：（1）振动的周期与波动的周期在数值上是相同的。因为波动是由振动引起的，波的频率由波源的振动频率所决定。

（2）振动的速度与波动的速度在数值上不同。振动的速度由振源决定，其大小随时间t 作周期性变化。波动的速度与介质的性质有关，即与介质的密度和弹性模量有关。

[3-3] 波动在通过不同介质时，它的波长λ、频率υ和波速c ，哪些要改变？哪些不会改变？

答：波动在通过不同介质时，波的频率υ不变，波长λ和波速c 改变。因为波的频率由波源决定，而波速c 由介质的性质决定，波在不同介质中传播时波速不同。又因为c=λυ，频率υ不变，故波长λ随波速c 的变化而变化。

[3-4] 一沿着很长弦线进行的横波的方程由y=6.0cos (0.020πx -4.0πt) 给出，其中x 与y 的单位为厘米，t 的单位为秒。试求振幅、波长、频率、波速、波传播的方向以及弦线质点的最大横向速率。

解：将已知波动方程改写成y=6.0cos2π(2.0t -0.010 x)

并与波动方程标准形式y=Acos2π(υt -x/λ)

比较可得：振幅A=6.0cm

波长λ=1/0.01cm=100cm

频率υ=2.0Hz

波速C =λυ=200cm/s

波传播的方向沿x 轴的正方向。

最大横向速率V m =ωA=2πυA=75.4cm/s 。

[3-5] 一波动沿x 轴的负方向行进，其振幅为0.010m ，频率为550Hz ，波速为330m/s,试写出这行波的波动方程。

解：因为沿x 轴负方向行进的波动方程为 将已知量代入，则得 [3-6] 平面简谐波的波动方程为

求（1）t=2.1s 时波源及距波源0.10m 处的位相；（2）离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差。 解：（1）由已知波动方程，当x=0时得波源的振动方程为：y 0=8cos4πt

当t=2.1s 时，波源的位相φ=ωt=4π×2.1=4.8π；x=0.10m=10cm 处质点的振动方程为：

)(cos )(cos c x t A c x t A y +=+=πυω2)(cos .x t y 3

5550210012+⨯=-π厘米)(cos 100

228x t y -=π

当t=2.1s 时，此振动质点的相位为ωt+φ=2π(2×2.1-0.1)=8.2π

（2）当x=0.80m 及0.30m 处的振动方程分别为：

)(cos )(cos 1032285422821-=-

=t y t y ππ

这两处的位相差为：

[3-7] 有一频率为500Hz 的平面简谐波，在空气中以c=340m/s 的速度传播，达人耳

时振幅为A=1.0×10-6m ，设空气的密度ρ=1.3kg/m 3。

求：（1）耳中的平均能量密度；（2）声强。

解：（1）平均能量密度

（2）声强

[3-8] 设A 、B 为两个相干波源，其振动 方程为y 1=0.4cos4πt ，y 2=0.4cos(4πt -π)，如图 3-22所示，它们到达P 处相遇并产生迭加。已知 波速为20cm/s ，AP 为40cm ，BP 为50cm ，试求 两波传到P 处时的位相差以及合振动的振幅。

解：A 、B 两波源在P 点引起的两分振动的振动方程分别为： 则两波传到P 点时的位相差为πππφφφ381112=-=-=∆

P 点的合振幅0044021=-=-=..A A A

[3-9] 为了保持波源的振动不变，需要消耗4W 的功率。如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m 和1m 处的波的强度（设介质不吸收波的能量）。

解：以N 表示功率，对于球面波有 22212144I r I r N ππ==

当r 1=0.5m 时有 2221127150143444m W r N I /...=⨯⨯==

π 当r 2=1m 时有 2222231801

143444m W r N I /..=⨯⨯==

π ).(cos )(cos 1022810010228-=-=t t y πππππφφφωφωφ=⨯-⨯=-=---=∆10325422112)()(t t 2

62

26221041650021001312121m J A /.)().(.--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==πωρε2362210182340104162

1m W c cA I /..--⨯=⨯⨯===εωρ)cos(.)(cos .)cos(.)(cos .ππππππ1144020

50414408440204044021-=--=-=-=t t y t t y A P

[3-10] 声音在长度l 为100m 的管内传播，其平均吸收系数μ为10-2/m 。如果管子的

始端声强是60dB 。问在管子的终端声强级是多少？

解：设始端的声强为I ，因为始端的声强级：dB I I L 60100==lg

所以 )/(261260610101010m W I I --=⨯==

设终端的声强为I ˊ，则有 )/(.26100210

610368010m W e Ie I x -⨯--⨯==='μ 则终端的声强级 )(..lg lg dB I I L 75510103680101012

6

0=⨯='='-- [3-11] 某人配戴了一个能使声强级增加30 dB 的助听器，问该助听器使声强增大为原来的多少倍？ 解：根据声强级的定义有：01110I I L lg

=、02210I I L lg = dB I I I I I I L L 3010101

2010212==-=-lg lg lg 即：10001031

2==I I

[3-12] 人们能够区分的声强级为1.0 dB 。问对应的两声强之比是多少？ 解：同上题有：dB I I L 1101

2==lg

即：261101012..==I I [3-13] 有人说，30dB 的声音一定比10dB 的声音听起来要响，你认为怎样？为什么？ 答：这种说法不一定。因为响度是人耳对声音的主观感觉，不仅与声音的强度有关，还与声音的频率有关。不同频率的声音在人耳引起相等响度时，它们的声强级并不相等。换言之，由于频率不同，30dB 的声音不一定比10dB 的声音听起来响。由等响曲线可知，200Hz30dB 的声音与1000Hz10dB 的声音等响。又如，1000Hz10dB 的声音听起来比150Hz30dB 的声音还响。

[3-14] 试计算低语时空气分子振动的振幅和这时的声强级。已知低语的声强为10-8W

/m 2，并设其振动频率为1000Hz 。

解：由式 222

1ωρcA I =

则有 c I c I A ρωωρ2122== m A 928

1010110

164102100021--⨯=⨯⨯⨯=..π 假定空气的温度为20℃，则空气的声阻ρc=4.16×102kg/s •m 2，已知υ=1000Hz ，所以 这时的声强级为

dB I I L 4010

101010128

0===--lg lg