多自由度系统振动分析典型教案
第10章 多自由度体系自由振动分析
kii {}i k {} j 0
T
(i j ) (i j )
特征系统的基本特性（续）
(3) Rayleigh商和特征值的极大极小性质
T 注意！！ 对于任意向量{x} ，R({x}) 的最小值是最小特征值λ1 。如果对{x} x k x 定义： R( x ) T 施加约束，即选定向量{v}，在满足{x}T{v}=0 （即两个向量正交）的约束下 x m x 选择{x} ，则在计算Ralyeigh商的极小值时，选取不同的{v}可得到不同的极小 值。当{v}为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的最大值是系统的第 由振型正交性可得，当{x}为系统的某阶特征向量时，则有: 二特征值。依此类推，如果使Ralyeigh商收敛到第i阶特征值，则需要i-1个约 T 束。通过极小和极大化过程，可以得到第i阶特征值。或写为： {} k {}
将（10－5）式振幅向量除以a1后，可以按以下红 由于式（10－6b）对应方程组是确定的，可以从中解 结构动力特性分析－特征值问题的性质
k
k 10 k 11a 0
k 00 e11 k 01 e12 k 10 e21
00
01
加荷载a： Waa
情况2（先加载荷载b，然后加载荷载a）：
加荷载b： Wbb
1 1 T pib yib pb yb 2 2 1 T T 加荷载a： Waa Wba pa ya pa yb 2
总功为：
W2 Wbb Waa Wba 1 pT yb 1 pT ya pT yb b a a 2 2
a2 0.751 1 a2 1 0.751 1
T T
振型正交性（1）Betti定理
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
汽车振动学——第十一讲：多自由度系统的振动.ppt
4k m
12
k m
3
D
将
2 n1
k 代入振型方程，即 m
HA (K n21M ) A(1)
3k
n21m
k
0
k
2k n21m
k
3k
0
k
n21m
A(1) 1
A(1) 2
A(1) 3
系统的振动微分方程：
MX KX 0
m 0 0
k1 k2 k2
0 3k k 0
M
0
m
0
K
k2
k2 k3
k3
k
2k
k
0 0 m
0
k3 k3 k4 0 k 3k
动力矩阵 D M 1K
K n2M B 0
B K1MB
1
这里 B A(1) A(2)
A(r)
2
r
取r个归一化的线性无关的n维向量，构成 n r 阶矩阵，作为初始矩阵 0
B0 0
归一化
1 K 1MB0
M1 K1
2 nn
特征值
代入振型方程可以得到与 ni 对应的非零向量 A(i)
A(i) 1
A(i ) 2
T
A(i ) n
称之为振型向量，它描绘了系统各质点的振动位移的一种形态，也称为主模态。
《多自由度系统振动》课件
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
第2章 多自由度系统振动
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
多自由度系统的振动(1)
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性 和阻尼
优点：模型较为精确，考虑了人 与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮 与地面之间的相互影响
建模方法3： 车、人、车轮的质量 分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼
优点：分别考虑了人与 车、车与车轮、车轮与 地面之间的相互耦合， 模型较为精确 问题：如何描述各个质 量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程 例：研究汽车上下振 动和俯仰振动的力学 模型 表示车体的刚性杆AB 的质量为m，杆绕质 心C的转动惯量为Ic
悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1 和k2 的两个弹簧来表示 选取D点的垂直位移 x D和绕D点的角位移 D 写出车体微振动的微分方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵A 正定 是指对于任意的n
y T Ay 0 维列向量y，总有
成立
并且等号仅在y = 0 时才成立 如果y ≠ 0 时，等号也成立，那么称矩阵A 是半正定的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：
1 T 动能： T X MX 2 1 T 势能： V 2 X KX
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K 的第j 列
kij (i 1 ~ n)
多自由度体系自由振动讲解
代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12
K22 m2 2
K1n
K2n
0
Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )
FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)
K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为 ： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记
1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1
《多自由度系统振动》PPT课件教案资料
2022/2/12 《振动力学》
代入，得： (FM I)φ 0 特征方程： FMI 0 18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
• 多自由度系统的模态（主振型）
正定系统： M X KX 0
主振动： X φ asi nt ()
XRn M、 KRnn
0 φRn
特征值问题： (K2M)φ0
7
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MXKXP(t) XRn
自由振动方程： MXKX0
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率。
在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同 步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动 。
则有：(TTAT)T＝TTAT(TT)T＝TTAT 正定性质：若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。
因此坐标变换X ＝TY 不改变系统的正定性质。 对于质量矩阵也如此。
2022/2/12
5
《振动力学》
回顾：单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
小结：
单自由度系统自由振动分析的一般过程：
1、由工程装置建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程； 2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值； 3、根据本征值，写出标准方程的通解； 4、根据初始条件，计算标准方程的特解。
f(t)asint(), 0
f(t)a tb,
0
主振动
（1）正定系统 0
只可能出现形如 X φ asi nt ()的同步运动。
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统 0
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
第4章：多自由度系统的振动
A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
A12 A22
sin(2t sin(2t
2 ) 2 )
(4.1.14)
令：
x(t) xx12((tt))
φ φ1
φ2
A11 A21
A12 A22
q(t
)
sin( sin(
1t 2t
12))
矩阵形式： x(t) φ q(t) (4.1.16)
第4章 多自由度系统的振动
§4-2 多自由度系统自由振动的一般理论
4.2.1 运动方程的建立 建立运动方程的基本方法
直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统；
能量法： 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。
研究对象： N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统
动能：
F1(t) F1 sin pt
x1 (t )ຫໍສະໝຸດ x2 (t)m1m2
k1
k2
k3
两个自由度系统的受迫振动
k11
p k21
2m1
k22
k12 p
2m2
X1 X2
0F1
(4.1.29)
第4章 多自由度系统的振动
设系统的固有频率为ω1和ω 2，系数矩阵可表示为：
D k11 p2m1
1 k / m 2 3k / m
1
A11 A21
2k
k
2 1
m
1,
2
A12 A22
2k
k
22m
1
φ1
1 1
,
φ
2
1 1
第4章 多自由度系统的振动
【例4.1.2】试求图示系统的固有频率与振型。
第四章 多自由度系统的振动分析
(
T qi
)
T qi
1 2
U qi
2
dt
Q i 0 , i 1, 2 , 3 ... n
U 1 2 kx
2
例：无阻尼单自由度自由振动系统：
T
mx
d dt
(
T qi
)
d dt
( (
1
mx ) ) m x 1 kx ) kx
4.2 多自由度系统的运动微分方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令
x1 1 x2 x3 0
k 1变形量 1 1， k 2 变形量 2 1， k 3 变形量 3 0
在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力
k 11 、 k 21 、 k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
2
2
2 x ( 2 x
T qi
0
U qi
m kx 0 x
Qi 0
对于系统中质量较多时，运用牛顿力方程较为复杂，而拉格朗日方程 或能量法较为简便。拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的 一个普遍的简单而又统一的方法。
10
4.2 多自由度系统的运动微分方程
mg k
带入方程2中，得到系统的运动微分方程为：
mg l g 0 k
15
4.2 多自由度系统的运动微分方程
三、刚度影响系数和作用力方程
一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式：
m 1 1 x 1 m 1 2 x 2 m 1 n x n k 1 1 x 1 k 1 2 x 2 k 1 n x n 0 m 21 x 1 m 22 x 2 m 2 n x n k 21 x 1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 m n1 x 1 m n 2 x 2 m nn x n k n1 x 1 k n 2 x 2 k nn x n 0
多自由度系统振动分析典型教案
多自由度系统振动分析典型教案第一篇：多自由度系统振动分析典型教案第2章多自由度系统的振动基本要点：① 建立系统微分方程的几种方法；② 固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；③ 多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1 多自由度系统的振动方程λ方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力§2.2 建立系统微分方程的方法λ影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数λ刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法§2.3 无阻尼系统的自由振动λ二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
λ二自由度系统的自由振动λ二自由度系统的运动耦合与解耦⌝弹性耦合，惯性耦合；⌝振动系统的耦合取决于坐标系的选择；λ多自由度系统的固有振动⌝固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；⌝固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；⌝刚体模态；λ运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
λ多自由度系统的自由振动§2.4 无阻尼系统的受迫振动λ频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反共振问题。
λ时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速度法。
§2.5 比例阻尼系统的振动λ多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
λ自由振动λ受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6 一般粘性阻尼系统的振动λ自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
λ受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：① 刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解释？② 为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？③ 证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
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第2章多自由度系统的振动
基本要点：
①建立系统微分方程的几种方法；
②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性；
③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。
引言
多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。
§2.1多自由度系统的振动方程
●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力
§2.2建立系统微分方程的方法
●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数
●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法
§2.3无阻尼系统的自由振动
●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。
●二自由度系统的自由振动
●二自由度系统的运动耦合与解耦
➢弹性耦合，惯性耦合；
➢振动系统的耦合取决于坐标系的选择；
●多自由度系统的固有振动
➢固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度；
➢固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性；
➢刚体模态；
●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。
●多自由度系统的自由振动
§2.4无阻尼系统的受迫振动
●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反
共振问题。
●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速
度法。
§2.5比例阻尼系统的振动
●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。
●自由振动
●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。
§2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。
●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。
思考题：
①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解
释？
②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？
③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。
④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？
参考书目
1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002
2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005
3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。
（图书馆索引号：TH113.1/1010）
4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。
（图书馆索引号：
TH113.1/1003-A）
5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引
号：TH113.1/WR32)。