马尔科夫链例题
马尔科夫链例题
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q p 0 0 0 ...
P1
q 0
0 q
p 0
0 p
0 0
... ...
... ... ... ... ... ...
qp
0123 反 射 壁
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例3．一个圆周上共有N格〔按顺时针排列〕，一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规那么是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率
q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2,..., N}
假设X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求 一步转移概率。
状态空间I={1，2，3，4，5}，
参数集T={1，2，3，………}，
其一步转 移矩阵为
1
1
2
P1
0
0 0 1 2
0 1
2
0
0 0 1 2
0
0
0
0
0
1 2
0
1 2
0 0 0 0 1
有两个吸收壁的随机游动
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例2．带有反射壁的随机游动
(
即
q) p
p
a
(
q p
)c
1
(
q p
)cq 时，甲先输光 Nhomakorabea概率为b
c
用同样的方法可以求得乙先输光的概率
当
p
q
时，乙输光的概率为 1
(
q p
)a
当 p q 时，乙先输光的概率为 a c
1
(
q p
)
c
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例3 排队问题
顾客到效劳台排队等候效劳，在每一个效劳周期中只 要效劳台前有顾客在等待，就要对排在前面的一位提 供效劳，假设效劳台前无顾客时就不能实施效劳。
马尔科夫链例题整理通用课件
马尔科夫链的理论。
在其他领域的应用
要点一
总结词
除了大数据和人工智能领域，马尔科夫链在其他领域也有 广泛的应用前景。
要点二
详细描述
例如在物理学中的统计力学、生物学中的基因序列分析、 经济学中的市场预测和交通规划等领域，马尔科夫链都可 以发挥重要作用。随着科学技术的发展，马尔科夫链的应 用前景将更加广阔。
05
马尔科夫链的优化与改进
状态转移概率优化
状态转移概率矩阵调整
01
根据实际数据和业务需求，对状态转移概率矩阵进行优化，以
提高模型预测的准确性和稳定性。
状态转移概率学习
02
通过训练数据学习状态转移概率，利用监督学习或强化学习等
方法对状态转移概率进用平滑技术处理状态转移概率，以减少模型预测的误差和不
用户行为分析
总结词
利用马尔科夫链分析用户在互联网上 的行为模式和习惯。
详细描述
通过分析用户在互联网上的行为数据 ，利用马尔科夫链可以发现用户的行 为模式和习惯，从而更好地理解用户 需求，优化产品设计和服务。
自然语言处理
总结词
利用马尔科夫链进行文本生成、语言模型等自然语言处理任 务。
详细描述
马尔科夫链在自然语言处理领域有着广泛的应用，如文本生 成、语言模型等。通过建立状态转移概率矩阵，可以模拟文 本生成的过程，从而生成符合语法和语义规则的自然语言文 本。
详细描述
马尔科夫链可以用于对大量数据进行建模， 通过分析数据之间的转移概率，预测未来的 趋势和模式。在大数据领域，马尔科夫链可 以应用于推荐系统、股票市场预测、自然语 言处理等领域。
马尔可夫链例题讲解
马尔可夫链例题讲解
马尔可夫链是一个数学模型，用于描述一系列状态之间的随机转移。
每个状态的未来只取决于其当前状态，而与过去的状态无关。
以下是一个马尔可夫链的简单例题及其讲解：
例题：求销售状态的转移概率矩阵
题目描述：记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1。
试求其销售状态的转移概率矩阵。
表1 某抗病毒药24个季度的销售情况
季度销售状态
Q1 畅销
Q2 畅销
Q3 畅销
... ...
Q24 畅销
分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和
由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2。
由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）。
表2 市场状态转移情况表
下季度药品所处的市场状态 1（畅销） 2（滞销）本季度药品所处的市
场状态
1（畅销） 7 7 1（畅销）
2（滞销） 7 2 2（滞销）
现计算转移概率：以频率代替概率，可得连续畅销的概率：P(连续畅销) =
7/15。
同样得由畅销转入滞销的概率：P(畅销→滞销) = 7/15。
滞销转入畅销的概率：P(滞销→畅销) = 7/15。
连续滞销的概率：P(连续滞销) = 2/15。
综上，得销售状态转移概率矩阵为：P=(P(连续畅销) P(畅销→滞销) P(滞销→畅销) P(连续滞销))=(7/15 7/15 7/15 2/15)。
从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分母中的数为15减1是因为第24季度是
畅销，无后续记录，需减1。
马尔科夫链考试例题整理
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，分析它的
概率特性。
1
例 2 直 线 上 的 随 机 游 动 时 的 位 置 X(t),是 无后效性的随机过程.
例3 电话交换台在t时刻前来到的呼叫数X(t), 是无后效性的随机过程.
例4 布朗运动 无记忆性
未来处于某状态的概率特性只与现在状态 有关，而与以前的状态无关，这种特性叫 无记忆性（无后效性）。
6
q p 0 0 0 ...
P1 q0
0 q
p 0
0 p
0 0
... ...
... ... ... ... ... ...
qp
0123 反 射 壁
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例3．一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率
q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2, ..., N }
0
0
p2
prp
1
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（3）
从而结束比赛的概率； 从而结束比赛的概率。 所以题中所求概率为
( p rp) 0 p(1 r)
16
例2 赌徒输光问题
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
2
一步转移概率矩阵的计算
引例 例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，移动的规则是：
1
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左
或向右 移动一单位；
离散时间马尔可夫模型例题
选择题在离散时间马尔可夫模型中，如果状态转移概率矩阵P的某一行所有元素之和不为1，这意味着什么？A. 该模型是稳态的B. 存在吸收状态C. 存在状态转移概率的误差（正确答案）D. 模型是周期性的设有一个三状态（S1, S2, S3）的离散时间马尔可夫模型，若从S1到S2的转移概率为0.4，从S1到S3的转移概率为0.5，则从S1到自身的转移概率是多少？A. 0.9B. 0.1（正确答案）C. 0.4D. 0.5在一个离散时间马尔可夫链中，如果一个状态是常返的，那么它满足什么条件？A. 平均返回时间为无穷大B. 在有限步内一定会返回到该状态（正确答案）C. 转移概率矩阵的对应行全为0D. 该状态是吸收状态假设一个离散时间马尔可夫模型有两个状态（A和B），从A到B的转移概率是0.7，从B 到A的转移概率是0.4，那么状态A是哪种类型的状态？A. 吸收状态B. 瞬时状态C. 常返状态（正确答案）D. 周期状态在离散时间马尔可夫链中，如果一个状态是瞬时的，那么它满足什么条件？A. 从该状态出发，最终会回到该状态B. 从该状态出发，永远不会回到该状态（正确答案）C. 该状态是链的起始状态D. 该状态是链的终止状态设有一个四状态（S1, S2, S3, S4）的离散时间马尔可夫模型，如果S1是吸收状态，那么从S1到其他状态的转移概率应该是多少？A. 大于0B. 小于1C. 等于0（正确答案）D. 无法确定在一个离散时间马尔可夫链中，如果状态转移概率矩阵P的某一列所有元素之和为1，这意味着什么？A. 存在一个吸收状态（正确答案）B. 模型是稳态的C. 存在状态转移概率的误差D. 模型是周期性的假设一个离散时间马尔可夫模型有三个状态（X, Y, Z），从X到Y的转移概率是0.3，从X到Z的转移概率是0.4，从X到自身的转移概率是0.2，那么从X状态出发，下一步不可能发生的情况是？A. 转移到Y状态B. 转移到Z状态C. 转移到一个新的未知状态（正确答案）D. 保持在X状态在离散时间马尔可夫模型中，如果一个状态是周期性的，且周期为2，那么这意味着什么？A. 该状态每隔一步就会返回到自身B. 该状态在两步之后才能返回到自身（正确答案）C. 该状态是吸收状态D. 该状态是瞬时状态。
马尔科夫链例题
一步转移概率矩阵的计算
引 例 例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生 一次随机游动，移动的规则是：
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 或向右 移动一单位；
1 2
向左
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
设随机游动的状态空间I = {0，1，2，…}，移动的 规则是：
（1）若移动前在0处，则下一步以概率p向右移 动一个单位，以概率q停留在原处（p+q=1）；
（2）若移动前在其它点处，则均以概率p向右移 动一个单位，以概率q向左移动一个单位。
设 X n 表示在时刻n质点的位置，
则
{ X n ， n 0 }是一个齐次马氏链，写出其一步转
例2 赌徒输光问题
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赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直
1
0
a 1
0
... 0
一步转移矩阵是
a
a
2
a2
0
0
... 0
P1 a
a
... ... ... ... ... ...
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0
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a 1 a
0
1
a
0
1
0
练习题． 扔一颗色子，若前n次扔出的点数的最大值为j，
就说 Xn j, 试问 Xn j, 是否为马氏链？求一步转移概率矩
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q p 0 0 0 ...
P1
q 0
0 q
p 0
马尔科夫计算例题
马尔科夫计算例题
马尔科夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）是一种统计模拟方法，用于从复杂的分布中抽样。
以下是一个简单的马尔科夫链蒙特卡洛计算例题：
假设我们有一个随机变量 \(X\)，其分布是 \(P(X)\)。
我们的目标是计算
\(P(X)\) 的期望值，也就是：
\(\text{E}[X] = \int x P(x) dx\)
但是，直接计算这个积分是非常困难的。
因此，我们使用马尔科夫链蒙特卡洛方法来近似这个积分。
步骤如下：
1. 初始化一个随机数 \(x_0\) 作为当前状态。
2. 生成一个随机数 \(r\) 服从均匀分布 \(U(0,1)\)。
3. 计算接受率 \(A = \min(1, \frac{P(x_i)}{P(x_j)})\)，其中 \(j\) 是 \(r\) 落入的区间中的状态。
4. 以概率 \(A\) 接受 \(x_j\) 作为新的状态 \(x_{i+1}\)。
5. 如果接受，回到步骤 2；否则，令 \(i = i+1\) 并回到步骤 2。
6. 重复步骤 2-5，直到达到足够的样本数量。
然后，我们可以用这些样本的平均值来近似期望值。
这是一个简单的例子，实际上马尔科夫链蒙特卡洛方法可以用于更复杂的问题，如高维积分、优化问题等。
离散时间马氏链例题
离散时间马氏链例题离散时间马氏链（离散时间马尔科夫链）是一种随机过程，其中每个状态的未来转变仅依赖于其当前状态，而不依赖于过去的状态或转变。
以下是离散时间马氏链的一个简单例题：天气预报问题假设明天的天气仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
如果今天下雨，那么明天下雨的概率为0.7；如果今天不下雨，那么明天下雨的概率为0.4。
我们要求出今天下雨并且四天后仍然下雨的概率（假设α=0.7，β=0.4）。
解：定义状态：我们可以定义两个状态，状态0表示不下雨，状态1表示下雨。
建立转移概率矩阵：根据题目描述，我们可以得到以下的转移概率矩阵P：P = [0.6 0.4; 0.3 0.7]其中，P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 应用马氏链的性质：我们知道马氏链的性质是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
因此，我们可以使用转移概率矩阵来计算四天后仍然下雨的概率。
我们从今天下雨（状态1）开始，想要知道四天后仍然下雨的概率。
我们可以通过连续应用转移概率矩阵来计算这个概率：今天下雨并且四天后仍然下雨的概率= P(1, 1)^4但是这是错误的，因为我们不能直接取四次方。
正确的做法是，考虑所有可能的路径，即在这四天中，天气可能如何变化。
例如，它可能一直保持下雨，或者可能在中间某天下雨然后再次下雨等等。
我们需要考虑所有这些可能性。
但是，对于较大的n值，直接计算所有路径是不切实际的。
我们可以使用一种称为“稳态概率”的概念来简化计算。
稳态概率是指，当时间趋于无穷大时，马氏链处于某个特定状态的概率。
在这个例子中，我们可以计算出稳态概率，然后用它来估计四天后下雨的概率。
然而在这个特定的例子中，由于转移概率矩阵不是对称的，因此没有简单的公式可以直接计算出n步转移概率。
我们需要使用矩阵的n次幂来计算这个概率。
但是注意，我们不能简单地取P(1,1)的四次幂，因为那将假设每天都独立地下雨，而实际上每天的天气都依赖于前一天的天气。
2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案
2025高考数学专项复习马尔科夫链含答案马尔科夫链1.(2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,⋯次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,B两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n n∈N*次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为X n，恰有1个红球的概率为p n.(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值.理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯⋯X t-2,X t-1,X t,X t+1，⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1X t．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为A A∈N*,A<B一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n元-A≤n≤B,n∈Z时，最终欠债A元(可以记为该赌徒手中有-A元)概率为P(n)，请回答下列问题：(1)请直接写出P(-A)与P(B)的数值．(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d．(3)当A=100时，分别计算B=300,B=1500时，P(A)的数值，论述当B持续增大时，P(A)的统计含义．状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n．(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值．4.(2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n+1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第n -1,n-2,n-3，⋯次的状态无关，即P(X n+1|X1,X2,⋯,X n-1,X n)=P(X n+1|X n)．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n 次(n∈N∗)这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X n，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为b n．(1)求a1,b1和a2,b2．为等比数列．(2)证明：a n+2b n-65(3)求X n的数学期望(用n表示)．5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a>0，都有Pξ≥a≤Eξa.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为P A.则P A的最大值为()A.271000B.2431000C.427D.496.(2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n(n∈N*)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，则p1的值是；X n的数学期望E X n是.7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N∗次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，则p1=；p n=．8.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.9.(2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n n∈N*次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n.(1)求X1的分布列；(2)求数列a n的通项公式；(3)求X n的期望.10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n，恰有2个黑球的概率为q n，恰有0个黑球的概率为r n.(1)求p1,p2的值；(2)根据马尔科夫链的知识知道p n=a⋅p n-1+b⋅q n-1+c⋅r n-1，其中a,b,c∈0,1为常数，同时p n+q n+ r n=1，请求出p n；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值.11.(2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯1701∼1763在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2,⋯,A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪A n=Ω，且P A i>0,i=1，2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω,P B >0，有P A i∣B=P A iP B∣A iP(B)=P A iP B∣A i∑n k=1P A kP B∣A k,i=1，2,⋯,n.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3%，其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为0,1,⋯,10，有一个小球在格子中运动，每次小球有34的概率向左移动一格；有14的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记P i为以下事件发生的概率：小球开始位于第i个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.马尔科夫链1.(2024·高三·广东·开学考试)马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,⋯次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A ,B 两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A ,B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n n ∈N * 次这样的操作后，记A 盒子中红球的个数为X n ，恰有1个红球的概率为p n .(1)求p 1,p 2的值；(2)求p n 的值(用n 表示)；(3)求证：X n 的数学期望E X n 为定值.【解析】(1)设第n n ∈N * 次操作后A 盒子中恰有2个红球的概率为q n ，则没有红球的概率为1-p n -q n .由题意知p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59，q 1=C 12C 11C 13C 13=29,p 2=p 1⋅C 12C 12+C 11C 11C 13C 13+q 1⋅C 12C 13C 13C 13+1-p 1-q 1 ⋅C 13C 12C 13C 13=4981．(2)因为p n =p n -1⋅C 12C 12+C 11C 11C 13C 13+q n -1⋅C 12C 13C 13C 13+1-p n -1-q n -1 ⋅C 13C 12C 13C 13=-19p n -1+23.所以p n -35=-19p n -1-35 .又因为p 1-35=-245≠0，所以p n -35 是以-245为首项，-19为公比的等比数列.所以p n -35=-245×-19 n -1，p n =-245×-19 n -1+35．(3)因为q n =C 12C 11C 13C 13p n -1+C 11C 13C 13C 13q n -1=29p n -1+13q n -1，①1-q n -p n =C 11C 12C 13C 13p n -1+C 13C 11C 13C 131-q n -1-p n -1 =29p n -1+131-q n -1-p n -1 ,②．所以①一②，得2q n +p n -1=132q n -1+p n -1-1 .又因为2q 1+p 1-1=0，所以2q n +p n -1=0，所以q n =1-p n 2.X n 的可能取值是0,1,2，P X n =0 =1-p n -q n =1-p n 2,P X n =1 =p n ,P X n =2 =q n =1-p n 2．所以X n 的概率分布列为X n012p 1-p n2p n 1-p n2所以E X n =0×1-p n 2+1×p n +2×1-p n 2=1.2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯⋯X t -2,X t -1,X t ,X t +1，⋯，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P X t +1⋯,X t -2,X t -1,X t =P X t +1X t ．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为A A ∈N *,A <B 一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A 元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n 元-A ≤n ≤B ,n ∈Z 时，最终欠债A 元(可以记为该赌徒手中有-A 元)概率为P (n )，请回答下列问题：(1)请直接写出P (-A )与P (B )的数值．(2)证明{P (n )}是一个等差数列，并写出公差d ．(3)当A =100时，分别计算B =300,B =1500时，P (A )的数值，论述当B 持续增大时，P (A )的统计含义．【解析】(1)当n =-A 时，赌徒已经欠债-A 元，因此P (-A )=1．当n =B 时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P (B )=0；(2)记M :赌徒有n 元最后输光的事件，N :赌徒有n 元上一场赢的事件，P M =P N P M N +P N P M N ，即P (n )=12P (n -1)+12P (n +1)，所以P (n )-P (n -1)=P (n +1)-P (n )，所以{P (n )}是一个等差数列，设P (n )-P (n -1)=d ，则P (n -1)-P (n -2)=d ,⋯,P (-A +1)-P (-A )=d ，累加得P (n )-P (-A )=(n +A )d ，故P (B )-P (-A )=(A +B )d ，得d =-1A +B ；(3)A =100，由(2)P (n )-P (-A )=(n +A )d =-n +A A +B ，代入n =A 可得P (A )-P (-A )=-2A A +B ，即P (A )=1-2A A +B ，当B =300时，P A =12，当B =1500时，P (A )=78，当B 增大时，P (A )也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光并负债．3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n∈N*次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n，恰有1个黑球的概率为p n．(1)求p1,p2的值；(2)求p n的值(用n表示)；(3)求证：X n的数学期望E X n为定值．【解析】(1)设恰有2个黑球的概率为q n，则恰有0个黑球的概率为1-p n-q n．由题意知p1=C12C12+C11C11C13C13=59，q1=C12C11C13C13=29，所以p2=C12C12+C11C11C13C13p1+C12C13C13C13q1+C13C12C13C131-p1-q1=4981．(2)因为p n=C12C12+C11C11C13C13p n-1+C12C13C13C13q n-1+C13C12C13C131-p n-1-q n-1=-19p n-1+23，所以p n-35=-19p n-1-35．又因为p1-35=-245≠0，所以p n-35是以-245为首项，-19为公比的等比数列．所以p n-35=-245×-19n-1，p n=-245×-19n-1+35．(3)因为q n=C12C11C13C13p n-1+C11C13C13C13q n-1=29p n-1+13q n-1①，1-q n-p n=C11C12C13C13p n-1+C13C11C13C131-q n-1-p n-1=29p n-1+131-q n-1-p n-1②．所以①-②，得2q n+p n-1=132q n-1+p n-1-1．又因为2q1+p1-1=0，所以2q n+p n-1=0．所以q n=1-p n 2．所以X n的概率分布列为：X n012p1-p n-1-p n2p n1-p n2所以E X n=0×1-p n-1-p n 2+1×p n+2×1-p n2=1．所以X n的数学期望E X n为定值1．4.(2024·高三·江西·开学考试)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n+1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第n -1,n-2,n-3，⋯次的状态无关，即P(X n+1|X1,X2,⋯,X n-1,X n)=P(X n+1|X n)．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n 次(n∈N∗)这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X n，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为bn．(1)求a1,b1和a2,b2．(2)证明：a n+2b n-65为等比数列．(3)求X n的数学期望(用n表示)．【解析】(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率a1 =23；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率b1=1 3，研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a1=2 3，此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×13×12=16a1；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1×13×12=16a1；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a1×23×12=13a1；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×23×12=13a1，②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b1=1 3，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b1×23=23b1若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b1×13=13b1，综上，a2=16a1+13a1+23b1=59,b2=13a1+13b1=13.(2)依题意，经过n次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为a n，恰有1个白球的概率为b n，则甲盒中恰有3个白球的概率为1-a n-b n，研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a n，此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a n×13×12=16a n；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a n×13×12=16a n；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a n×23×12=13a n；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a n×23×12=13a n，②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b n，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为b n×2 3=23b n；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b n ×13=13b n ，③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1-a n -b n ，此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为1-a n -b n ，综上，a n +1=13a n +16a n +23b n +1-a n -b n =1-12a n -13b n ,b n +1=13a n +13b n 则a n +1+2b n +1-65=1-12a n -13b n +23a n +23b n -65=16a n +13b n -15，整理得a n +1+2b n +1-65=16a n +2b n -65 ，又a 1+2b 1-65=215>0，所以数列a n +2b n -65 是公比为16的等比数列.(3)由(2)知a n +2b n -65=215×16 n -1，则a n +2b n =65+215×16n -1，随机变量X n 的分布列为X n123P b n a n 1-a n -b n所以E (X n )=b n +2a n +3-3b n -3a n =3-(a n +2b n )=95-215×16 n -1.5.在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若ξ是只取非负值的随机变量，则对∀a >0，都有P ξ≥a ≤E ξ a.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A ，其概率为P A .则P A 的最大值为()A.271000 B.2431000 C.427 D.49【答案】B【解析】记该市去年人均收入为X 万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为Y .设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为p ，则根据马尔可夫不等式可得p =P X ≥100 ≤E X 100=10100=110，∴0≤p ≤110，因为Y ~B (3,p )，所以P A =P Y =1 =C 13p 1-p 2=3p 1-p 2=3p 3-6p 2+3p ，令f (p )=3p 3-6p 2+3p ，则f (p )=9p 2-12p +3=3(3p -1)(p -1)，∵0≤p ≤110,∴3p -1<0,p -1<0，即f (p )>0，∴f (p )在0,110上单调递增.∴f (p )max =f 110 =3×110×1-110 2=2431000，即P (A )max =2431000.故选：B6.(2024·广东肇庆·模拟预测)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n (n ∈N *)次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，则p 1的值是；X n 的数学期望E X n 是.【答案】4932-1213 n【解析】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得p 1=13×23+23×13=49；记X n -1取0，1，2，3的概率分别为p 0，p 1，p 2，p 3，推导X n 的分布列：P X n =1 =p 0+49p 1+49p 2，P X n =2 =49p 1+49p 2+p 3，P X n =3 =19p 2，则E X n =0⋅P X n =0 +1⋅P X n =1 +2⋅P X n =2 +3⋅P X n =3 =p 0+43p 1+53p 2+2p 3=1+13p 1+2p 2+3p 3 =1+13E X n -1 ，则E X n -32=13E X n -1 -32，故E X n -32=E X 1 -32 ×13n -1给合E X 1 =43，可知E X n =32-1213 n .故答案为：49;32-1213n .7.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n ∈N ∗ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，则p 1=；p n =．【答案】5925⋅-19 n +35【解析】由题意，p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59；当n ≥2n ∈N ∗ 时，p n =C 12C 12+C 11C 11C 13C 13p n -1+C 12C 13C 13C 13P X n -1=0 +C 13C 12C 13C 13P X n -1=2 =59p n -1+23P X n -1=0 +P X n -1=2 =59p n -1+231-p n -1 =-19p n -1+23，整理得p n -35=-19p n -1-35 ，p 1-35=59-35=-245，故可知p n -35 是以-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以p n =25⋅-19 n +35.故答案为：59；25⋅-19 n +358.马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，X t -2,X t -1,X t ,X t +1,⋯，那么X t +1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t ，即P X t +1∣⋯,X t -2,X t -1,X t =P X t +1∣X t .著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率.【答案】93100/0.93【解析】设当赌徒手中有n 元0≤n ≤1000,n ∈N 时，最终输光的概率为P (n )，当n =0时，赌徒已经输光了，所以P (0)=1，当n =1000时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率为P (1000)=0，记M ：赌徒有n 元最后输光的事件，N ：赌徒有n 元下一次赢的事件，所以P M =P N P (M |N )+P N P (M |N )，即P (n )=12P (n -1)+12P (n +1)，所以P (n +1)-P (n )=P (n )-P (n -1)，所以P (n ) 为等差数列，设P (n )-P (n -1)=d ，由于P (1000)=P (0)+1000d =1+1000d =0，所以d =-11000，所以P (n )=P (0)+nd =1-n 1000，故P (70)=1-701000=93100故答案为：931009.(2024·广东茂名·二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n +1次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关，与第n -1,n -2,n -3,⋅⋅⋅次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n n ∈N * 次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n ，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n ，恰有2个黑球的概率为b n .(1)求X 1的分布列；(2)求数列a n 的通项公式；(3)求X n 的期望.【解析】(1)(1)由题可知，X 1的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：P X 1=0 =13×23=29；P X 1=1 =13×13+23×23=59；P X 1=2 =23×13=29，故X 1的分布列如下表：X 1012P 295929(2)由全概率公式可知：P X n +1=1=P X n =1 ⋅P X n +1=1X n =1 +P X n =2 ⋅P X n +1=1X n =2 +P X n =0 ⋅P X n +1=1X n =0=13×13+23×23 P X n =1 +23×1 P X n =2 +1×23 P X n =0 =59P X n =1 +23P X n =2 +23P X n =0 ，即：a n +1=59a n +23b n +231-a n -b n ，所以a n +1=-19a n +23，所以a n +1-35=-19a n -35 ，又a 1=P X 1=1 =59，所以，数列a n -35 为以a 1-35=-245为首项，以-19为公比的等比数列，所以a n -35=-245⋅-19 n -1=25⋅-19 n ，即：a n =35+25⋅-19n .(3)由全概率公式可得：P X n +1=2 =P X n =1 ⋅P X n +1=2X n =1 +P X n =2 ⋅P X n +1=2X n =2 +P X n =0 ⋅P X n +1=2X n =0=23×13 ⋅P X n =1 +13×1 ⋅P X n =2 +0⋅P X n =0 ,即：b n +1=29a n +13b n ,又a n =35+25⋅-19 n ,所以b n +1=13b n +2935+25-19 n ,所以b n +1-15+15-19 n +1=13b n -15+15-19 n,又b 1=P X 1=2 =29,所以b 1-15+15×-19 =29-15-145=0,所以b n -15+15-19 n =0,所以b n =15-15-19n ,所以E X n =a n +2b n +01-a n -b n =a n +2b n =1.10.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n n ∈N * 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为X n ，恰有1个黑球的概率为p n ，恰有2个黑球的概率为q n ，恰有0个黑球的概率为r n .(1)求p 1,p 2的值；(2)根据马尔科夫链的知识知道p n =a ⋅p n -1+b ⋅q n -1+c ⋅r n -1，其中a ,b ,c ∈0,1 为常数，同时p n +q n +r n =1，请求出p n ；(3)求证：X n 的数学期望E X n 为定值.【解析】(1)由题意恰有0个黑球的概率为1-p n -q n .由题意知p 1=C 12C 12+C 11C 11C 13C 13=59,q 1=C 12C 11C 13C 13=29，所以p2=C12C12+C11C11C13C13p1+C12C13C13C13q1+C13C12C13C131-p1-q1=4981.(2)因为p n=C12C12+C11C11C13C13p n-1+C12C13C13C13q n-1+C13C12C13C131-p n-1-q n-1=-19p n-1+23，所以p n-35=-19p n-1-35.又因为p1-35=-245≠0，所以p n-35是以-245为首项，-19为公比的等比数列.所以p n-35=-245×-19n-1,p n=-245×-19n-1+35.(3)因为q n=C12C11C13C13p n-1+C11C13C13C13q n-1=29p n-1+13q n-1①，1-q n-p n=C11C12C13C13p n-1+C13C11C13C131-q n-1-p n-1=29p n-1+131-q n-1-p n-1②所以①-②，得2q n+p n-1=132q n-1+p n-1-1 .又因为2q1+p1-1=0，所以2q n+p n-1=0.所以q n=1-p n 2.所以X n的概率分布列为：X n012p1-p n-1-p n2p n1-p n2所以E X n=0×1-p n-1-p n 2+1×p n+2×1-p n2=1.所以X n的数学期望E X n为定值1.11.(2024·云南·模拟预测)材料一：英国数学家贝叶斯1701∼1763在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1,A2,⋯,A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪A n=Ω，且P A i>0,i=1，2,⋯,n，则对任意的事件B⊆Ω,P B >0，有P A i∣B=P A iP B∣A iP(B)=P A iP B∣A i∑n k=1P A kP B∣A k,i=1，2,⋯,n.材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，X t-2,X t-1,X t,X t+1,⋯，那么X t+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态X t，即P X t+1∣⋯,X t-2,X t-1,X t=P X t+1∣X t.请根据以上材料，回答下列问题.(1)已知德国电车市场中，有10%的车电池性能很好.W公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比3%，其中有25%的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是W公司的，求该汽车电池性能很好的概率；(结果精确到0.001)(2)为迅速抢占市场，W公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为0,1,⋯,10，有一个小球在格子中运动，每次小球有34的概率向左移动一格；有14的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记P i 为以下事件发生的概率：小球开始位于第i 个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率.【解析】(1)记事件A 为一辆德国市场的电车性能很好，事件B 为一辆德国市场的车来自W 公司.由全概率公式知：P A =P A |B P B +P A |B P B ,故：P A |B =P A -P A |B ⋅P B P B=10%-0.25×3%97%≈0.095.(2)记事件A i i =0,1,⋯,10 表示小球开始位于第i 个格子，且最终停留在第10个格子，事件C 表示小球向右走一格.小球开始于第i 格，此时的概率为P i ，则下一步小球向左或向右移动，当小球向右移动，即可理解为小球始于P i +1，当小球向左移动，即可理解为小球始于P i -1，即P i =14P i +1+34P i -1.由题知P 0=0,P 10=1，又4P i =3P i -1+P i +1，故P i +1-P i =3P i -P i -1 ，所以P i -P i -1 是以P 1-P 0为首项，3为公比的等比数列，即：P i -P i -1=3i -1P 1-P 0 ，即：P 10-P 9=39P 1-P 0 ，P 9-P 8=38P 1-P 0 ，⋯P 1-P 0=30P 1-P 0 ，故P 10=39+38+⋯+30P 1-P 0 =310-12P 1，P 5=34+33+⋯+30 P 1-P 0 =35-12P 1，则P 5=P 5P 10=35-1310-1=135+1=1244，故这名顾客获得代金券的概率为1244.。
连续时间马尔可夫链例题
连续时间马尔可夫链例题假设有一个连续时间马尔可夫链，描述一个人的健康状态。
该马尔可夫链包含三个状态：健康、生病和康复。
人的健康状态可以根据以下转移概率进行模拟：1. 在任何时间点，一个健康的人以0.1的速率生病。
2. 在任何时间点，一个生病的人以0.2的速率康复。
3. 在任何时间点，一个康复的人以0.05的速率重新生病。
现在假设一个人的初始状态是健康，我们可以使用连续时间马尔可夫链模型来模拟他的健康状态随时间的变化。
假设每个时间单位是一周，我们希望模拟他一年内的健康状态。
根据上面的转移概率，我们可以得到如下的转移矩阵：```| 健康 | 生病 | 康复 |----------------------------健康 | 0.9 | 0.1 | 0 |生病 | 0.05 | 0.75 | 0.2 |康复 | 0 | 0.05 | 0.95|```该矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
例如，一个健康的人在一周后仍然健康的概率为0.9，在一周后生病的概率为0.1，在一周后康复的概率为0。
使用该转移矩阵，我们可以模拟一个人一年内的健康状态。
假设每个时间单位是一周，则一年共有52个时间单位。
我们可以使用随机数生成器来生成每个时间单位的状态。
假设生成的随机数在[0,1)之间，我们可以根据转移概率进行状态转移。
例如，如果生成的随机数小于0.9，则人在下一个时间单位仍然健康；如果生成的随机数介于0.9和0.95之间，则人在下一个时间单位康复；如果生成的随机数大于等于0.95，则人在下一个时间单位重新生病。
使用这种方法，我们可以模拟一个人一年的健康状态，并观察他在这段时间内的状态变化。
这可以帮助我们更好地了解和预测一个人的健康动向。
马尔可夫链作业
1.假设某地有1600户居民，某产品只有甲乙丙三家厂家在该地销售，经调查，8月份购买甲乙丙三层的户数分别为480,320,800. 9月份里，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品。
原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品，原买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。
用状态1,2,3分别表示甲乙丙三厂。
试求：
<!--[if !supportLists]-->a)<!--[endif]-->一步转移概率矩阵。
<!--[if !supportLists]-->b)<!--[endif]-->10月份市场占有率的分布。
<!--[if !supportLists]-->c)<!--[endif]-->稳定状态下的市场占有率的分布。
若甲厂考虑采用不同的策略来增加市场占有率，策略I为通过广告宣传等策略占领其他厂家的市场，则在原来的基础上改变为：原买乙的有45户转买甲产品，原买丙的有80户转买丙产品。
策略II为采用提高服务质量以挽留顾客减少顾客外流，则原买甲的减少为有40户转买乙产品，有50户转买丙产品。
采用这两种策略的成本分别为15万，和8万元。
请问甲厂为了在长期经营中获取最大利润，应采取哪种策略？假定策略一经采取就不再改变。
截止日期2014年12月17日下午11时59分00秒。
连续时间马尔可夫链例题
连续时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是马尔可夫链在连续时间下的一种模型。
它受到时间的连续性限制，可以用于描述一些随机过程。
马尔可夫链基本概念马尔可夫链是指具有“无记忆性”的随机过程。
在离散时间中，马尔可夫链指的是一个随机变量序列，其中每个随机变量的取值依赖于其前一时刻的取值。
这个过程可以用一个状态转移概率矩阵来描述。
在连续时间中，马尔可夫链则是一个具有无记忆性的连续随机过程。
与离散时间不同，连续时间马尔可夫链的状态在一定时间段内可以发生任意多次的改变。
连续时间马尔可夫链的定义连续时间马尔可夫链是一个随机过程，其状态空间为有限个数。
该过程在任意时刻处于某个状态，并且满足无记忆性的马尔可夫性质。
连续时间马尔可夫链的演变是通过指数分布来描述的。
在每个状态之间的转移时间服从指数分布，转移时间的参数与当前状态有关。
连续时间马尔可夫链的转移速率矩阵与离散时间马尔可夫链中的状态转移矩阵类似，连续时间马尔可夫链使用转移速率矩阵来描述状态之间的转换关系。
设连续时间马尔可夫链的状态空间为{1, 2, …, n}，转移速率矩阵为Q。
矩阵Q的元素qij表示从状态i到状态j的速率，且满足以下条件：•qij≥0, i≠j;•对于每一个状态i，有qii = -∑qij（i≠j）。
在连续时间马尔可夫链中，从状态i到状态j的转移概率为pij(t)，t表示时间。
转移概率在给定时间段内满足以下等式：equation1其中X(t)表示在时刻t的状态，P表示概率。
连续时间马尔可夫链的性质连续时间马尔可夫链有许多属性与离散时间马尔可夫链类似。
•遍历性：如果状态空间中的每一个状态在有限时间内是可达的，则称连续时间马尔可夫链是遍历的。
•稳态概率分布：马尔可夫链可能存在稳态概率分布，对于连续时间马尔可夫链也是如此。
稳态概率分布表示在长时间内各个状态的概率分布。
•等距离转换概率：等距离转换概率描述了在任意的相同时间间隔内，从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔科夫转移概率例题
马尔科夫链是一种随机过程，具有“马尔科夫性质”，即未来状态的概率仅仅取决于当前状态，而与过去状态无关。
转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
下面是一个简单的马尔科夫链的例子，包含一些状态和它们之间的转移概率。
假设有三个天气状态：晴天（Sunny）、多云（Cloudy）和雨天（Rainy）。
状态之间的转移概率如下：
- 如果今天是晴天，明天是晴天的概率为0.7，多云的概率为0.2，雨天的概率为0.1。
- 如果今天是多云，明天是晴天的概率为0.3，多云的概率为0.4，雨天的概率为0.3。
- 如果今天是雨天，明天是晴天的概率为0.2，多云的概率为0.3，雨天的概率为0.5。
这些转移概率可以用矩阵表示，该矩阵称为转移矩阵。
假设状态按照晴天（S）、多云（C）、雨天（R）的顺序排列，则转移矩阵如下：
```
P = | 0.7 0.2 0.1 |
| 0.3 0.4 0.3 |
| 0.2 0.3 0.5 |
```
其中，P(i, j) 表示从状态i 转移到状态j 的概率。
如果当前是晴天，我们可以使用转移矩阵来计算明天各种天气的概率。
假设今天是晴天（S），我们想知道明天是晴天（S）、多云（C）或雨天（R）的概率，可以将转移矩阵与当前状态向量相乘：
```
State vector today: | 1 |
| 0 |
| 0 |
State vector tomorrow = P * State vector today
```
计算结果将给出明天各种天气的概率。
这个过程可以一直迭代下去，得到未来时间点的状态概率。
应用随机过程markov链经典例题
应用随机过程markov链经典例题
随机过程是指随机事件随时间的推移而发生的过程，而马尔可夫过程则是一种特殊的随机过程，其特点是未来状态的概率只取决于当前状态，而与过去状态无关。
经典的马尔可夫链例题是假设某个小球在三个盒子之间随机跳跃，每次跳跃只能移动到相邻的盒子，且概率相等。
问当小球在盒子1时，经过n次跳跃后恰好回到盒子1的概率是多少
首先，我们可以用矩阵表示小球在不同盒子之间跳跃的概率。
假设矩阵P表示小球从一个盒子跳到另一个盒子的概率，即：
P = [0 1/2 1/2; 1/2 0 1/2; 1/2 1/2 0]
其中，第i行第j列的元素表示小球从盒子i跳到盒子j的概率。
例如，P(1,2)表示小球从盒子1跳到盒子2的概率为1/2。
接下来，我们需要用这个矩阵来计算小球从盒子1跳跃n次后回到盒子1的概率。
假设矩阵P的n次方为P^n，则小球从盒子1跳跃n次后回到盒子1的概率为P^n(1,1)。
例如，当n=2时，P^2为：
P^2 = [1/2 1/4 1/4; 1/4 1/2 1/4; 1/4 1/4 1/2]
则小球从盒子1跳跃2次后回到盒子1的概率为P^2(1,1)=1/2。
因此，当小球在盒子1时，经过n次跳跃后恰好回到盒子1的概率为P^n(1,1)。
我们可以通过不断计算矩阵P的幂来得到不同次数下的概率。
随机过程的马尔可夫链
随机过程的马尔可夫链当然，请看以下的20道试题：1. 什么是马尔可夫链？- A. 一个随机过程- B. 一个确定过程- C. 一个线性过程- D. 一个非随机过程2. 马尔可夫链具有什么样的记忆特性？- A. 有限记忆- B. 无限记忆- C. 完全没有记忆- D. 部分记忆3. 马尔可夫链的状态空间是指什么？- 空格填空：__________4. 马尔可夫链状态的转移概率是指什么？- 空格填空：__________5. 马尔可夫链状态转移概率的性质是什么？- A. 非负性- B. 可加性- C. 归一性- D. 全部正确6. 马尔可夫链的平稳分布是指什么？- 空格填空：__________7. 马尔可夫链收敛到平稳分布的条件是什么？- A. 非周期性- B. 非简并性- C. 正常性- D. 所有选项都是8. 马尔可夫链的平稳分布可以通过什么方法求解？- 空格填空：__________9. 马尔可夫链的平稳分布与其初始分布之间的关系是什么？- A. 线性关系- B. 非线性关系- C. 比例关系- D. 无关系10. 马尔可夫链的遍历性质指的是什么？- 空格填空：__________11. 马尔可夫链的马尔可夫性质是指什么？- A. 状态的独立性- B. 未来状态只依赖于当前状态- C. 状态转移是确定的- D. 初始状态不影响最终状态12. 马尔可夫链的时间反转性质是指什么？- 空格填空：__________13. 马尔可夫链的条件转移概率公式是什么？- 空格填空：__________14. 马尔可夫链的转移概率矩阵具有什么性质？- A. 非负性- B. 可加性- C. 归一性- D. 所有选项都是15. 马尔可夫链的瞬时状态概率是指什么？- 空格填空：__________16. 马尔可夫链的延迟时间是指什么？- 空格填空：__________17. 马尔可夫链的重现时间是指什么？- 空格填空：__________18. 马尔可夫链的复发时间是指什么？- 空格填空：__________19. 马尔可夫链的周期性质是指什么？- A. 完全周期性- B. 非周期性- C. 部分周期性- D. 无关20. 马尔可夫链的平稳分布可以通过什么方法求解？- A. 特征向量法- B. 特征值法- C. 特征分布法- D. 特征过程法。
马尔科夫链考试例题
I={1，2，3，4，5，6}
11
1 1 1 1 1 1
6
6
6
6
6
6
0
2 6
1 6
1 6
1 6
1 6
P
0
0
3 6
1 6
1 6
1
6
0
0
0
4
1
1
6 6 6
0
...
0
0
5
1
6 6
0 ... 0 0 1 0
12
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率
是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ，
0
0
p2
prp
1
15
（3）
从而结束比赛的概率； 从而结束比赛的概率。 所以题中所求概率为
( p rp) 0 p(1 r)
16
例2 赌徒输光问题
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
前言：马尔可夫过程的描述分类
例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，移动的规则是：
1
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左
或向右 移动一单位；
2
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
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q q P1 0 ...
p 0 q ...
0 p 0 ...
0 0 p ...
0 0 0 ...
... ... ... ...
q 0 反 射 壁
p 1 2 3
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例3．一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率 q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2,..., N }
d j u j u j 1
则可得到两个相邻差分间的递推关系
于是
d j rd j 1
d j rd j 1 r d j 2 L r d0
2 j
需讨论 r
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当
r 1 c 1 1 u0 uc (u j u j 1 )
j 0
c 1
d j
X n 1 Yn , X n1 Yn , 若 Xn 1
p
k
k
1
记 X n 为服务周期 n 开始时服务台前顾客数 则有 在第n周期已有一个
若 Xn 0
顾客在服务，到第n+1 周期已服务完毕
此时{ X n ，n 1 }为一马氏链， 求其转移矩阵
解
先求出转移概率
p00 P( X1 0 | X 0 0) P(Y0 0) p0
根据全概率公式有
u j u j 1 p u j 1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
u0 1, uc 0
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欲求
于是
ua
uj （p + q）u j pu j 1 qu j 1
先求
q u j u j 1 ( )(u j 1 u j ) p
设
q r p
0 0 0 1 2 1
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有两个吸收壁的随机游动
例2．带有反射壁的随机游动
设随机游动的状态空间I = {0，1，2，…}，移动的 规则是： （1）若移动前在0处，则下一步以概率p向右移 动一个单位，以概率q停留在原处（p+q=1）； （2）若移动前在其它点处，则均以概率p向右移 动一个单位，以概率q向左移动一个单位。
前言：马尔可夫过程的描述分类
例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生 一次随机游动，移动的规则是： 1 （1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左 2 或向右 移动一单位； （2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
1 2 3 4 5
质点在1，5两点被“吸收”
p20 P( X n1 0 | X n 2) P( X n 1 Yn 0 | X n 2) P(Yn 1) 0 p21 P( X n1 1 | X n 2) P( X n 1 Yn 1 | X n| X n 1) P( X n 1 Yn 1 | X n 1) P(Yn 1) p1
解 这是一个齐次马氏链，其状态空间为 0 0 I={0，1，2，…，a} 0 1 1 a 1 0 0 a a 一步转移矩阵是 2 a2 0 0 P a a 1 ... ... ... ... a 1 0 ... 0 a 首页 0 ... 0 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... 1 0 a 1 0
P(Yn 0) p0
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所以转移矩阵为
p0 p 0 P 0 1 0 L
E {..., 2, 1,0,1,2,...}
... ... P1 ... ...
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... 0 0 ...
... p 0 ...
... r p ...
... q r ...
... 0 q ...
... 0 0 ...
... ... ... ...
5．设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随 机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的 球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k， 试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特 模型），并求转移概率矩阵。
i j c 1
j 0 c 1
而
u j u j uc
c 1
j 0
1 rc j r d0 d0 1 r
(ui ui 1 )
c 1 i
di r d 0 j c i j i j r r j c j 1 d0 r (1 r L r )d0 1 r j c 两式相比 r r 首页 uj c 1 r
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一步转移概率矩阵的计算
引 例
例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动） 设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生 一次随机游动，移动的规则是： 1 （1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左 2 或向右 移动一单位； （2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
1 2 3 4 5
质点在1，5两点被“吸收”
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求 一步转移概率。
状态空间I={1，2，3，4，5}， 参数集T={1，2，3，………}，
1 其一步转 1 移矩阵为 2 P 0 1 0 0
0 0 1 2 0 0
0 1 2 0 1 2 0
0 0 1 2 0 0
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由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
q c 1 ( ) p b 当 r 1 即 p q 时， 甲先输光的概率为
用同样的方法可以求得乙先输光的概率
q a q c ( ) ( ) p p
c
q a 当 p q 时，乙输光的概率为1 ( ) p a 当 p q 时，乙先输光的概率为 c
1 6 1 6 1 6 4 6 0 0
1 6 1 6 1 6 1 6 5 6 1
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 0
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率 是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ， （ p q r 1 ）。设每局比赛后，胜者记“+1” 分，负者记“—1”分，和局不记分。当两人中有 一人获得2分结束比赛。以 X n 表示比赛至第n 局时甲获得的分数。 （1）写出状态空间； （2）求 P(2) ； （3）问在甲获得1分的情况下，再赛二局可 以结束比赛的概率是多少？
练习题． 扔一颗色子，若前n次扔出的点数的最大值为j， 就说 X n j, 试问 X n j, 是否为马氏链？求一步转移概率矩 阵。
I={1，2，3，4，5，6}
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1 1 1 6 6 6 0 2 1 6 6 3 0 0 P 6 0 0 0 0 ... 0 0 ... 0
p01 P( X1 1 | X 0 0) P(Y0 1) p1
p10 P( X n1 0 | X n 1) P( X n 1 Yn 0 | X n 1)
P(Yn 0) p0 p22 P( X n1 2 | X n 2) P(Yn 1) p1
q c 1 ( ) p
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例3 排队问题 顾客到服务台排队等候服务，在每一个服务周期中只 要服务台前有顾客在等待，就要对排在前面的一位提 供服务，若服务台前无顾客时就不能实施服务。
设在第 n 个服务周期中到达的顾客数为一随机变量 Yn
且诸Yn 独立同分布：
P Yn k ) pk ， k 0,1, 2, L ， （
设 X n 表示在时刻n质点的位置， 则 { X n ， n 0 }是一个齐次马氏链，写出其一步转 移概率。 首页
q
p
q
p
0 左反射壁 1 2 m-1 m 右反射壁
q q 0 P1 ... 0 0
p 0 0 0 ... 0 0 0 0 p 0 0 ... 0 0 0 q 0 p 0 ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... q 0 p 0 0 0 0 ... 0 q p
0 q 0 P 1 ... 0 p p 0 q 0 p 0 0 ... 0 0 ... 0 p ... 0 q 0 0 q q 0 0 ... p 0
... ... ... ... ... 0 ... 0 0 ... 0
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4．一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移 动的规则是：以概率p从i移到i-1，以概率q从i移到 i+1，以概率r停留在i，且 r p q 1 ，试 求转移概率矩阵。
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解
（1） 记甲获得“负2分”为状态1，获得 “负1分”为状态2，获得“0分”为状态3， 获得“正1分”为状态4，获得“正2分”为 状态5，则状态空间为
I {1 2，3，4，5} ，
一步转移概率矩阵
1 q P 0 0 0
0 r q 0 0
0 p r q 0
0 0 p r 0
故
r r ua c 1 r
a
c
q a q c ( ) ( ) p p
当
q c 1 ( ) p
r 1
u0 uc 1 cd0
c j uj c
而 因此 故
u j (c j )d0
ca b ua c c
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例2 赌徒输光问题 赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直 赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲 获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ， 求甲输光的概率。 分 析 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向 右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达c状态的概率。