锐角三角函数的技巧及练习题含答案

∵ AE EB ， ∴ CD AB ，
∴ AD BD ， ∴ BOD AOD 2ACD 30 ， ∴ AOB 60 ， ∵ OA OB ，
∴ AOB 是等边三角形，
∵ AE 3， ∴ OE AE tan 60 3 3 ，
故选 D． 【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型．
∴BE= 1 AB=2，∠BEF=90°， 2
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A’处，并使折痕经过点 B， ∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′， ∴∠EA′B=30°， ∴∠EBA′=60°， ∴∠ABM=30°，
∴在 Rt△ABM 中，AB=BM cos∠ABM，即 4=BM cos30°，
解：连接 BD ，如图，
AB 为直径，
ADB ACB 90 ， AD CD，
DAC DCA，
而 DCA ABD ，
DAC ABD ， ∵DE⊥ AB ，
ABD BDE 90 ，
而 ADE BDE 90 ， ABD ADE ， ADE DAC ，
FD FA 5 ， 在 RtAEF 中， sin CAB EF 3 ，
锐角三角函数的技巧及练习题含答案
一、选择题
1．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P， 连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）
A． 3
【答案】A 【解析】 连接 OC，
B．2 3
C． 3 2
D． 2 3 3
∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3，
∴
c ab
c
a b
c2 cb a2 ab
a bc b
a2 ac
c2 ab bc ab bc b2
b2 ac ab bc ac ab bc b2
1.
故选 C．
【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
∴在 Rt△AGM 中，sin∠GAM＝ GM ，cos∠GAM＝ AM ，
AG
AG
∴GM＝AG•sin30°＝ 3 ，AM＝AG•cos30°＝3，
同理可得 HT＝ 3 ，CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°， ∴四边形 ABNM 为矩形，
∴MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝ 3 ，
A．3
B．4
C．5
D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作 GM⊥AD 于 M 交 BC 于 N，作 HT⊥BC 于 T．通过解直角三角形求出 AM、GM 的
长，同理可得 HT、CT 的长，再通过证四边形 ABNM 为矩形得 MN＝AB＝2 3 ，BN＝AM＝
3，最后证四边形 GHTN 为平行四边形可得 GH＝TN 即可解决问题．
5
A．10
B．12
C．16
D．20
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明 ADE DAC 得到 FD FA 5 ，再根据正
弦的定义计算出 EF 3，则 AE 4 ， DE 8 ，接着证明 ADE∽DBE ，利用相似比得
到 BE 16 ，所以 AB 20 ．
【详解】
详解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BA=BC，AC⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵点 A（1，1）， ∴OA= ，
∴BO=
，
∵直线 AC 的解析式为 y=x， ∴直线 BD 的解析式为 y=-x， ∵OB= ， ∴点 B 的坐标为（− ， ），
∵点 B 在反比例函数 y= 的图象上，
解得：BM= 8 3 ， 3
故选 A. 【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
6．如图，为了测量某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30°，向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45°，则建筑物 MN 的高度等于( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】
【分析】
设 a＝ 1 BC，∠B＝∠C＝α，求出 CN、DM、EN 的长度，利用 y＝S△BMD−S△CNE，即可求解． 2
【详解】
解：设 a＝ 1 BC，∠B＝∠C＝α，则 MN＝a， 2
∴CN＝BC−MN−BM＝2a−a−x＝a−x，DM＝BM·tanB＝x·tanα，EN＝CN•tanC＝（a−x）·tanα，
故选 A. 点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长.
7．如图，四边形 ABCD 内接于 O ， AB 为直径， AD CD ，过点 D 作 DE AB于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 ， DF 5 ，则 AB 的长为( )
【详解】
∵菱形 ABCD 的周长为 20cm ∴AD=5cm
∵sinA= 3 5
∴DE=3cm（①正确） ∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确） ∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
∵DE=3cm,BE=1cm
∴BD= 10 cm（④不正确）
所以正确的有三个．
∴OC=PC•tan30°= 3 ，
故选 A
2．如图， AB 是 O 的弦，直径 CD 交 AB 于点 E ，若 AE EB 3 ， C 15 ，则 OE 的长为( )
A． 3
【答案】D
B．4
C．6
D． 3 3
【解析】 【分析】
连接 OA ．证明 OAB 是等边三角形即可解决问题．
【详解】
如图，连接 OA ．
2
化简可得即 a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于 1．
【详解】
解：过 A 点作 AD⊥BC 于 D，在 Rt△BDA 中，由于∠B=60°，
∴ DB 1 c, At△ADC 中，DC2=AC2﹣AD2，
∴
a
1 2
2
c
b2
3 4
c2，
即 a2+c2=b2+ac，
∴
，
解得，k=-3， 故选 C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题 意，利用反比例函数的性质解答．
11．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO 的平分线相交于 点 C，过点 C 作 CD∥x 轴交 AB 于点 D，则点 D 的坐标为（ ）
点的完整运动过程．
4．菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE⊥AB,垂足为 E,sinA= 3 ,则下列结论正确的个数有（ ） 5
①DE=3cm; ②BE=1cm; ③菱形的面积为 15cm2; ④BD=2 10 cm．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案
A． 8( 3 1) m
C．16( 3 1) m
【答案】A 【解析】 设 MN=xm， 在 Rt△BMN 中,∵∠MBN=45∘， ∴BN=MN=x，
在 Rt△AMN 中,tan∠MAN= MN ， AN
B．8( 3 1) m D．16( 3 1) m
∴tan30∘= x =3√3， 16 x
解得：x=8( 3 +1)， 则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m；
∴y＝S△BMD−S△CNE＝ 1 （BM·DM−CN·EN）＝ 2
1 2
tan
x2
tan
a
x2
a
tan 2
2x
a
，
∵ a tan 为常数， 2
∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，
故选：A． 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识 点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动
（）
A． 1 2
【答案】C 【解析】
B． 2 2
C．1
D． 2
【分析】
先过点 A 作 AD⊥BC 于 D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用 sin60 3 ，cos60°= 1 ,
2
2
可求 DB 1 c, AD 3 c, 把这两个表达式代入到另一个 Rt△ADC 的勾股定理表达式中，
2
所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的
弦是直径．也考查了解直角三角形．
8．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2 3 ，BC＝10，E、F 分别在边 BC，AD 上，BE＝DF．将
△ABE，△CDF 分别沿着 AE，CF 翻折后得到△AGE，△CHF．若 AG、CH 分别平分∠EAD、∠ FCB，则 GH 长为（ ）
∴GN＝HT， 又∵GN∥HT， ∴四边形 GHTN 是平行四边形， ∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4， 故选：B．