高等工程数学试题--校内工硕-2012-04-08复习课程

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）

考试日期：2012年 4 月 日 时间1０0分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 对方程()ln(2)0f x x x =-+=，写出该方程存在正数根的一个区间 ，构造迭代公式 ，使其产生的序列

{}n x 可以收敛于方程的这个正数根*

x ；

2. 用Cholesky (乔勒斯基) 分解法求解方程：1239631861311303113549x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

则：L = ; 方程组的解x = ； 3．建立最优化模型的三要素： ； ； ； 4．已知函数411.0)4.0(=f , 578.0)5.0(=f , 697.0)6.0(=f ，用此函数表作Newton 插值多项式，那么插值多项式2

x 的系数是 ；

5．设总体222

0~(,),X N μσσσ=已知,X 是样本均值，在检验假设00:H μμ=时选用的检验统计量

为 ，拒绝域为 ；

6. 设总体X 服从],0[θ上的均匀分布，则θ的矩法估计为 ，极大似然估计为 ； 7．影响数学模型求解结果的误差有： ， ， 。 8．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =L ，则其三次样条插值函数)(x S 是满足 ， ， ；

二、（本题6分）设有钢材100根，长17米，需轧成配套钢料。每套由7根5米长与2根6米长的钢梁组成，问如何下料使钢材废料最少（不计下料损耗）？建立该问题的数学模型（不要求计算）。

三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：

用三次Lagrange 插值多项式3()L x 计算(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 3的可容性与温度之间的关系，对一系列不同的温度（C 0

），观察它在100的水中溶解的NaNO 3的重量（g ），得观察结果如下：

温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43

重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10

（1） 求Y 对X 的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）

29310

1

=∑=i i

x

,81101

=∑=i i y ,∑==10

1

2574i i i y x ,

957710

1

2

=∑=i i

x

,70110

1

2=∑=i i y

（2）对回归方程的显著性进行检验。（检验水平α=0.05, 0.025(8) 2.3060,t =） 五、（本题12分）利用单纯形法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

{}1231235135135max 33..32522226015j x x x s t x x x x x x x x x x x j -+⎧

⎪

+++=⎪⎪

++≤⎨⎪++≤⎪

≥=⎪⎩

:，

六、（本题10分）已知数值求积公式

1

0121

11()(1)()()33

f x dx A f A f A f -≈-+-+⎰，试确定012,,A A A ，使该数值积分公式对次数2≤的一切多项式都精确成立，并确定其代数精度为多少。

七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表

用)2(7

8L 安排试验，并将秧龄、苗数、氮肥分别放在第一、二、四列，测得产量为60, 63，58，67，70，

74，69，81 。将数据统计在下表中

在05.0=α下检验各因素及每两个因素的交互作用对产量有无显著影响。 八、（本题14分）设方程组为

122958313x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ （1）对方程组直接用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时，判断其收敛性。

（2）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛； （3）写出调整后所对应的Jacobi (雅可比) 迭代格式的分量形式和矩阵形式；

（4）在（3）的基础上，取初始向量(0)(0,0)T x =，用Jacobi (雅可比) 迭代格式求准确解*

x 的近似解)

1(+k x

，

使 (1)*

510k x x +-∞

-≤ ，至少需要迭代多少次？