2.利息理论

②所求本利和为：
5% 410 A(10)=1000 a (10) 1000 (1 ) 1643.62(元) 4
2.2.2 已知利息率，求a-1(t)


在前面的(2.2.1)中、讨论了本金和利息率均已知 的条件下的终值函数a(t)的计算式。与之关联的问 题是：已知利息率和终值，那么终值在投入之初 的值为多少呢? 假定时期t之末的终值为1，若用符号a-1(t)表示时 期t之初的现值函数(以下a-1(t)均意指终值为1个货 币单位的现值函数)。则在a(t)讨论的基础上，可 以获得不同利率条件下a-1(t)的计算式：

当a(t)由常数单利率i计算时， i n
i 1 (n 1) i

当n≠1时，in是n的递减函数。一般地， in ≠i。
当a(t)由常数复利率i计算时，in=i且与n无关。 从而1元本金在实际利率in（n＝1，2，…， t)的条件下，经时期t后的终值为： a(t)＝(1+i1) (1+i2) …(1+it) 特别地，当i1＝i2＝…＝it＝i时， a(t)＝(1+i)t
2.1.2 现值函数
现值函数是指1个货币单位的终值(或本利 和)，在时期长度之初的现值。通常当终值 为1个货币单位，且时期长度为t时，现值函 数被记作a-1(t)。 进一步，当终值为K个货币单位(K≠1)，时 期为t，在期初的现值函数记作A-1(t)。除a1(t)和A-1(t)一般随t递减外、一般地， a-1(t) 和A-1(t)具有a(t)和A(t)类似的性质。
a(t)=1+K i+ 其它不常用的方法：
每月按30天计算+实际天数 i 365

例2.2 某人于1999年1月8日将800元存入银 行，银行存款按年单利率4％计息。若该人 于1999年3月28日取出银行的存款，问按银 行家法则可取多少本利和?

解：按银行家法则计算终值的公式为：
实际天数S a(t)=1+K i+ i 360

在某个时刻t的利息，通常用利息力来度量。 利息力有时简称息力。如果用符号 t表示时 刻t的息力。那么 t 的定义是：

K1 1000 a 1 (3) 1000 1 1000 (1+3 5%)-1 869.56(元 ) 1+3 5%

1 K 2 1000 a 1 (3) 1000 V3 =1000 1000 (1+6%)-3 839.62(元 ) 3 （ 1+6%）

解：所求本金和利息为：
80 365
800（ 1+4%） =806.91（元）
3.己知实际利息率in，求a(t)

实际利息率，即一年计息或结算一次的年利息率。或全年 利息额与投入之初本金之比率。第n年的实际利息率记作in， 可用式子表达为：
A(n) A(n 1) a(n) a(n 1) in A(n 1) a(n 1)
a (t)=(1-d)
-1
t
3.已知实际贴现率dn，求a-1(t)

所谓实际贴现率，即一年贴现一次的年贴现率， 或者就是全年贴现额与到期日应付额之比率。 用终值函数或数量函数可表达第n年的贴现率 为： A(n) A(n 1) a(n) a(n 1)
dn A(n) a ( n)


a(t)具有以下基本性质： 第一，a(0)＝1，即投人本金1后的立刻的终值， 等于本金的值。 第二，a(t)是t的递增函数。在利息计量中，通常 忽略出现随t的增加，a(t)为负数的情形。另外， 一定时期内，允许t有一定变化，但不影响a(t)的 值。所以a(t)一般是关于t的非严格递增函数。 第三，当利息连续产生时，a(t)是t的连续函数。


例2.5 某人存入银行1000元，按年利息率5 ％计息，存入期限为10年，求：①年利息 率每年计息一次，到期时的本利和；②年 利息率每年计息四次，到期时的本利和。 解：①所求本利和为



A(10)=1000 a(10) 1000 (1 5%)10 1628.89(元)

当t为非整年数时，令t= K+S，K为整数年，S为分数年， a(t)的计算有下列四种方法： 确切计算法：a(t) =1+K i+ 实际天数S i
365

普通计算法： a(t)=1+K i+ 每月按30天计算+实际天数 i
360
实际天数S i 360
银行家法则： a(t)=1+K i+




当K个货币单位的本金(K＞0，K≠1)，从投入之日起，经 过一定的时期后的终值，通常可用A(t)来表示。A(t)实质是 本金为K的终值函数。同样地，为方便起见，以下称函数 A(t)为数量函数。现实生活中，本金不为1的情形是普遍存 在的，亦即研究A(t)更接近现实。 不难得到，数量函数与终值函数具有的基本关系是： A(t)=K•a(t) (K≠1， K＞0，K为常数) 根据这一关系，A(t)具有与a(t)相似的性质： 第一，A(0)=K； 第二，一般地， A(t)是关于t的递增函数； 第三，当利息连续产生时，A(t)是t的连续函数。
2.利息的度量及其基 本计算
2.1 2.2 2.3 终值与现值函数 终值与现值的计算 等值方程及其求解



利息可以定义为资本借入者因使用资本而支付给 资本借出者的一种报酬。 也可以说，利息是资本借入者支付给资本借出者 因放弃资本的使用，所发生的损失的一种租金。 从理论上讲，资本和利息可以是货币，也可以不 用货币度量。 但是，本章所考虑的资本和利息均限于货币，且 内容将重点涉及利息的度量及其不同利息度量下 的有关的计算问题。

(2)复贴现率d对应于：
a (t)=（1-d）
-t

(3)实际贴现率d n对应于(n=1，2，…，t)
a (t)=（1-d1）（1-d2） （1-dt）
-1 -1
-1
d (m) (4)名义贴现率 m
对应于：
d ( m ) -mt a (t)=（1） m
2.2.5 已知息力，求a (t)或a-1 (t)
1 一年末的1元终值，在年初的现值为 1+i ，特 1
别地，通常用符号v表示 1+i 。v被称之为贴 现和折现因子；相应的(1+i)被称作累积或 终值因子。
例2.6 你应在现在投入多少本金，在单利率 5％和复利率6％下，均可在三年末获得 1000元。 解：在单利条件下，设应投入的本金为K1， 则：

因此，在实际贴现率条件下，
a (t)=(1-d1 )(1-d2 )(1-dt )

-1
特别地，当d1＝d2＝……＝dt＝d时，
a (t)=(1-d)
-1
t
4.已知名义贴现率 d ，求a-1(t)
(m)
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一般地，依贴现率计算贴现额时，若贴现的 单位期间不满一年，而按单纯的比例关系将 它换算为一年的贴现率，称为名义贴现率。 特用符号d (m)表示一年内贴现m次的年名义贴 1 现率。那么每 m 年的贴现率为 d 。 m 在名义贴现率的条件下，一年初的现值为：

例2.4 某人投入本金100元，复利率是4％， 那么这个人从第六年到第十年的五年间共 赚得多少利息? 解；设所求利息为I，则： I＝100(1+4％)10- 100(1+4％)5 ＝100(1.48-1.22) ＝26.00(元)

4.已知名义利息率i(m)，求a(t)

名义利息，又称虚利息，依利息率计算利息额时， 若计息的单位期间不满一年，而按单纯的比例关系 将它换算为一年的利息率则称为名义利息率。 一年内计息m次的名义利息率，记作i(m)。一年内的 1 i(m) 每 m 年，利息率为 。在名义利息率i(m)条件下， m 一年末的终值为： i(m) m a (1) (1 ) m 经时期t后，本金1的终值为： ( m ) i a(t ) (1 ) mt m

实际利息率和名义利息率，分别表示每年结算利息一次的 年利息率和每年结算利息数次的年利息率。这就是说，已 知实际利息率和名义利息率，便可以分别度量一年和一年 以内的分数年的利息。实际利息率和名义利息率在实际中 有着广泛的应用，大多数涉及利息的问题，其利息由它们 来度量。但是，在理论上，或者实际中的某些问题，需要 度量某一时刻或某个微小区间的利息。此时，实际利息率 和名义利息率均表现出一定的局限性。
1.己知单利率i，求a(t) 单利是投入本金经过一定的时期，按照一 定的利率在本金上计息，但在下期结算利 息时上期所结算利息并不随同本金计算， 也就是利上无利。 据此，若本金为1，单利率为i，经过时期t 后的终值：a(t)=1+i· t。其中的t为整年数。





例2.1 某人存入银行1000元本金，银行存款按年 单利率5.5%计息，存款期限为3年，计算该人在 第3年可获的利息大小？ 解：设该人在第3年利息的理论值为I，则： I＝A(3)-A(2)＝1000[(1+5.5%×3)-(1+5.5%×2)] ＝1000×5.5% ＝55(元)
2.1终值与现值函数
2.1.1 终值函数

终值函数是指1个货币单位的本金从投入之日起， 经过一定时期后的终值。显然，当利率一定，时 期不同，一般地，终值也在变化。即使时期相同， 利息的不同度量或相同利息度量但不同的利息率， 终值也会有所差异。可见，在本金和确定利息度 量方式下，终值是关于时期长度的函数。为以下 论述的方便，约定函数a(t)表示1个货币单位经过 时期t后的终值函数。
在复利条件下，设应投入的本金为K2，则：
2.2.3 己知贴现率，求a-1(t)
1.已知单贴现率d，求a-1(t) 在单贴现率条件下，系以到期日应付额为 基准，算出单位贴现期间的折扣额的方法， 就是单贴现法。显然，

a (t)=1-d t
-1
2.已知复贴现率d，求a-1(t)

复贴现率以最初的单位期间的贴现现值当 做次期的到期应付额，反复贴现的方法。 据此有：

所以，所求值应为：
80 800（ 1+ 4%） =807.9（元） 360
2.已知复利率i，求a(t)


复利是投入本金经过一定的时期，按照一定的利 率在本金上计算利息，并将当年结算的利息并入 本金，在下期结算利息时随同本金一并计算，也 就是利上有利。 当本金为1，复利率为i，经过时期t后的终值为； a(t)＝(1+i)t 其中：t既可以是正整数，也可以是正分数。 例2.3 在例2.2中，若银行存款按年复利率4％计 息，其它条件不变，问那人在3月28日可以取得 多少本金和利息?

2.2 终值与现值的计算

由于A(t)和a(t)的关系是A(t)＝K· (t)，所以 a 作为理论上的研究，只需讨论a (t)的计算即 可。由于a(t)的表达式受利息具体的度量方 式的影响，所以以下将讨论不同利息率或 贴现率度量利息方式下，a (t)的计算。
2.2.1 已知利息率，求a (t)

(m)
d (m) m a (1)=(1) m
-1

连续考察一年以后的(t-1)年，那么t年初的现值为
d mt a (t)=(1) m
-1
(m)

例2.7 王某准备向一公司贷款10000元，贷款期 限二年，该公司要求第一年按实际年贴现率6％计 息，第二年按贴息两次的8％的名义年贴现率计息。 问王某年初实际可贷得多少元款额?

解：设可贷款额为x，则：
8% 21 x 10000(1 ) (1 6%) 2 8663.04(元)
2.2.4 已知贴现率，求a (t)
现在假定投入本金1，在贴现率d的条件下， 经过时期t以后的终值用a(t)表示，a(t)相应 地具有如下表达式： (1)单贴现率d对应于： -1 a (t)=（1-d t）

(1)在单利率的条件下：
a -1 (t)=（ t） 1+i -1

(2)在复利率的条件下：
a -1 (t)=（ ） 1+i -t

(3)在实际利息率的条件下：
a (t)=（ 1） 1+i2） 1+it） 1+i （ （
-1 -1 -1 -1

(4)在名义利息率的条件下：
i(m) -mt a -1 (t)=（ 1+ ） m