圆锥曲线的焦点弦

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圆锥曲线焦点弦的一个优美恒等式及应用

Ｄ
有Ｉ１ — ｎ－十 — ｍＩ１：。ｌ。１，其中为离心率．
分析：由于椭圆是轴对称图形，故只需证明其过右焦点的情况．我们先证明倾斜角为锐角的情况．
已知椭圆＋：１（。＞６＞０）的右焦点为Ｆ，过腿倾
过Ｂ作ＢＢ。垂直准线于日。，过Ｂ作ＢＡ＿ＬＡＡ１于Ａ
由圆锥曲线统一性定义知
ＢＦ＝ＢＢ１＝ｎ，ＡＦ＝ＡＡ１＝ｍ，
ＡＩＯ榀
图２
＝ｅ．—
—
：ｅ．
—
＼
．
ＢＢＪ
ｌ
夕ｎＡＡ
，Ａｌ
ｆ［ＪＢＢｌ： — ｎ —，ＡＡ１： — ｉｎ —
ｅｅ
，
￣［ＩＢＢ１： — ｍ —，ＡＡ１： — ｎ —
ｅｅ
，
ｎＡ２：— ｍ－
—
．
彭Ａ２＝ — ｎ－ — ｍ．
Ｉｌ
则有Ｉ１ — ｒｎｔ－十 — ｍＩ１：ｃｏｓｌ，其中为离心率．
分析：由于双曲线是轴对称图形，故只需证明其过右焦点的情况．我们先证明倾斜角ｏ／为锐角的情况．
已知双曲线一：１（ｎ＞０，６＞０）的右焦点为Ｆ，过Ｆ
ＩＩ
证：Ｉ — ｎ－ — ｍＩ：ｌ。Ｉ，其中为离心率．
Ｉｎ＋，孔Ｉ
证明：如图２，作ＡＡ垂直右准线于Ａ，
证明：如图１，作ＡＡ。垂直右准线于Ａ，过Ｂ作ＢＢ垂直右准线于Ｂ，过作ＢＡ＿Ｉ＿ＡＡ于Ａ》

圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案

圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。

例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。

例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。

例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。

例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。

三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。

2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。

3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。

4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。

练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。

圆锥曲线焦点弦的定点分比

圆锥曲线是数学中的一个重要概念，而焦点弦则是圆锥曲线上的一个特殊线段，连接两个焦点。在圆锥曲线中，焦点弦具有特定的定点分比性质，这一性质在解决与圆锥曲线相关的问题时具有关键作用。本文详细探讨了圆锥曲线焦点弦的定点分比，首先阐述了括其长度、中点位置以及与曲线的其他几何关系。此外，还深入探讨了焦点弦在圆锥曲线中的应用，如在求解曲线方程、确定曲线形状以及研究曲线性质等方面的重要作用。通过本文的阐述，读者可以更加深入地理解圆锥曲线的焦点弦及其定点分比性质，为相关领域的研究和应用提供有力支持。

圆锥曲线有关焦点弦(焦点半径)五个统一性质统一证明

圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的五个统一性质的统一证明中图分类号：g632 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2013）03-0109-02下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。

本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。

1 圆锥曲线的统一性质1.1圆锥曲线的统一性质1ab是通过圆锥曲线的一个焦点f的一条弦（不与焦点所在的直线重合），a、b在焦点相应的准线l上的射影分别为a1b1，设a1f、b1f的中点分别为m、n，则直线am与bm的交点一定在准线上。

（如图1）1.2给出圆锥曲线的统一性质2过圆锥曲线的一个焦点f的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）ab，和此焦点对应的顶点的c的连线交f对应的准线l于两点m、n，则以mn为直径的圆必过焦点f。

（如图2）如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点c的的连线交f对应的准线l于m、n两点，则以为mn直径的圆必过焦点f。

（如图3）1.3圆锥曲线的统一性质3若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为a，过点a作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于b、c两点，过焦点f作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于m、n两点，则有：1.4圆锥曲线的统一性质4直线l是圆锥曲线？祝的焦点f所对应的准线，过l上一点p作曲线？祝的两条切线pa、pb。

a，b为切点，过pf中点d且平行于直线l的直线l′交直线pa，pb于点m，n。

（如图4）则有：（ⅰ）fm∥pb； fn∥pa；（ⅱ）记△afm，△pmn，△bfn的面积分别为s△afm，s△pmn，s△bgn现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）过有心二次曲线的两焦点f1，f2作两条射线（同向）交二次曲线于a，b两点，直线f1b和f2a相交于点p，则pf1+pf2为定值。

圆锥曲线焦点弦的六个性质

一
ＩＡＦｔ一幽一— 一生
ＩＡＢＩＩＮＢｌ。魁
ｅ
２ｉＢＦＩ
ｙ
一
到与焦点Ｆ相应的准线的距离ｄ一
ｌＡＢｌ一，一
一
幽
一
×
ａ
ｃ
ｏ，一
。
一丽
．
’
２ａ’
＼ｌ
ｏ
对于椭圆，０％ｅ％１，因而ｄ＞ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相离；对于抛物线，Ｐ一１，因而ｄ＝ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相切；对于双曲线，ｅ＞ｌ，因而ｄ％ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相交．性质三：设过圆锥曲线的焦点Ｆ的弦的端点Ａ、Ｂ在该焦点相应的准线上的射影分别为Ｍ、Ｎ，该准线与对称轴（椭圆为长轴，双曲线为实轴）的交点为Ｅ．若
ＡＭ、ＢＮ相交，则交点平分ＥＦ．
２．２
一
．
￡１Ｌｌ旦￡！一
ｌＡＢｌ
一ｌＡＦＪ
上一ＪＢＦｌ
图３
ＩＡＦｌ＋ＩＢＦｌ— ｌＡＢｌ — ｊＡＦＪ・！ＢＦ！｝ＡＦＪ・｛ＢＦＪ
～
２（
ｃ
一ｃ）
以
日
２
一
图１
０１．２
２
当且仅当ＡＢ￣３７轴时，ｌＡＢｌ有最小值
最短．
，即通径
．
一
对于双曲线，证明如下：如图３，设双曲线方程为

圆锥曲线焦点弦长的公式求法

Ｌ
１＝ｆ＝“ ｎ：２・誓ｌ＋ａ。一＝一＋＝一ｊｌ，一＋ “ “ ａｌ）
：
手＝，
故综上所述：：述＝Ｉ
９时魁。０也
＝＝
（其中。：＝ａ —ｂ）ｉ２
．
当直线Ａ的倾斜角为００９‘ ，由ｋｔＯＢ且 ≠ ０时＝ａ及三角公式ｓｎｉ０ｎ
当直线Ａ的倾斜角为０时，同公式ＩＢ的证法，也
＝
情况２当直线Ａ与双曲线的两交点），Ｂ（，）ＩＩ（ｙ），均在同一支上时，不失一般性，如图二一２所示，不妨设都在左支上，直线Ａ过双曲线的且Ｂ左焦点，－．（ｃ），仍由曲线的焦半径公式，０双得
线的焦半径公式，得ｌ一ａ，ｌ “：ａ卅＝ “ — 丑＝＋
’
／。一√ ＼
Ｈ＇于，ＹＪ；
由般弦公：一的长式Ｉ叫
解（解）求七后结双线程把；二公法：得值，合曲方，＝式，
２ｌ（）（＋１ × × ：）３。
关键词圆锥曲线焦点弦长焦点弦长公式
求直线被二次曲线截得的弦长，通常是将直线与二次曲线方程联立，得到关于或Ｙ的一元二次方程，然后利用韦达定理及弦长公式
求解。过圆锥曲线焦点的弦长问题不同于一般的弦长计算，根据圆锥曲线的定义和几何性质，可得出求过圆锥曲线焦点的弦长计算公式，即焦点弦长公式。设Ａ为圆锥曲线ＣＢ的一条焦点弦，直线Ａ的斜率为ｋ。倾斜角Ｂ为２公式１若曲线Ｃ为椭圆，＝（＞＞）Ｉｂ０，则ａ

焦点弦是什么

焦点弦是什么
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。

焦点弦简述为数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的
线段。

焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。

焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记
q=a^2/c-c，是焦准距，e是离心率。

令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|=。

易知当且仅当时取|CD|最小值2a。

定理1（配极理论的原则）.若点P
的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P.
定义
连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。

若这条弦经过焦点，则称为焦点弦。

焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦.
焦点弦简述
数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦特点
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。

焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。

而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到
对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。

这是一个很好的性质。

焦点弦长就是这两个焦半径长之和。

此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。

(注意斜率不存在的情况！即垂直于x轴!)。

专题16 圆锥曲线焦点弦微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用

15．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.
16．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为________.
17．过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆，若过左焦点的直线交椭圆于两点，求．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线的焦点弦长公式：
同支弦；异支弦，统一为：；
（2）双曲线的焦点弦长公式：
同支弦；异支弦，统一为：．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线的焦点弦长公式：；
（2）抛物线的焦点弦长公式：；
说明：特殊情形，当倾斜角为时，即为椭圆的通径，通径长．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于，两点，求弦长．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1）为双曲线的左、右焦点，过倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则．
专题16 圆锥曲线焦点弦微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦

圆锥曲线焦点弦公式

圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。

焦点弦是指通过
焦点，并且与曲线相交于两点的直线。

对于圆锥曲线的焦点弦公式，具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型，比如椭圆、双曲线或抛
物线。

下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。

对于椭圆而言，焦点弦的公式可以表示为，对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。

对于双曲线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。

对于抛物线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于抛物线$y^2
= 4ax$，焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。

需要注意的是，以上给出的焦点弦公式是简化的形式，实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。

焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用，比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。

希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。

圆锥曲线焦点弦公式及应用

圆锥曲线焦点弦公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。

例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。

例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。

若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。

定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。

圆锥曲线焦点弦与准线的相关性

圆锥曲线焦点弦与准线的相关性在数学学习中，“数形结合”是一个十分重要的思想。

许多数学概念和方法都源于自然界和生活实际，这些概念和方法大多是从现实生活和数学问题中抽象出来的，都有它们适用的范围和条件。

通过对这些概念的深入了解，可以将所学知识系统化、网络化。

这就要求我们在学习中善于从复杂的现象中抓住其本质属性，从而提高学习效率。

同样，作为高考试题常见的主干知识之一——圆锥曲线也不例外。

下面让我谈谈如何运用好“数形结合”这种思维工具去研究圆锥曲线吧！我认为焦点弦与准线存在相关性;即两者既独立又互补;①焦点弦决定着准线位置及其长度;②准线反映着焦点弦切线斜率的变化趋势;③焦点弦与准线间距离越小则说明二者密切程度越强;④准线始终垂直于轴线且无限接近轴线时，表示该类型圆锥曲线最简单……当然还需注意几点：1、特殊平面上圆锥曲线的定义：设一个圆锥S，它的顶点坐标为(x， y)，底面半径为r，母线交轴于O，那么称此圆锥为椭圆柱或双曲抛物线，并记作(x， y)或(x， -y)，其中A为任意常数， C为任意常数， M为任意常数。

由此得到三角函数公式： 2、圆锥曲线焦点的意义：设R(x， y)为圆锥曲线的焦点，则该圆锥曲线的准线经过原点O，若R(0， 0)为圆锥曲线的焦点，则该圆锥曲线的准线必过原点O;若R(-x， +y)为圆锥曲线的焦点，则该圆锥曲线的准线必过原点O。

2、圆锥曲线焦点的意义：设R(x， y)为圆锥曲线的焦点，则该圆锥曲线的准线经过原点O，若R(0， 0)为圆锥曲线的焦点，则该圆锥曲线的准线必过原点O;若R(-x， +y)为圆锥曲线的焦点，则该圆锥曲线的准线必过原点O。

3、正确应用理论解题，培养逻辑推理能力。

4、加强练习，熟悉各种图像。

5、做完后仔细检查，看错误处是否改正。

6、掌握基础知识，把握命题规律。

7、总结归纳，构建体系。

8、回顾课堂笔记，巩固新旧知识联系。

9、勤动手，敢发言，积极参与讨论。

10、精选典型题目进行训练，举一反三，触类旁通。

用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题

用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题重庆巴蜀科学城中学校（401331）李兰［摘要］圆锥曲线焦点弦结论具有统一形式，利用焦点弦结论可以快速解决高考题，为考生打开解题思路，提高学生的解题能力。

［关键词］圆锥曲线；焦点弦；高考题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）17-0024-03一、公式及其证明圆锥曲线中的焦点弦就是过焦点的弦长，弦长公式AB=1+k2||x1-x2，圆锥曲线有统一方程，思考由抛物线的焦点弦与弦长倾斜角度、离心率（抛物线的离心率为1）有关的弦长公式，类比推导圆锥曲线的另一个统一公式：焦半径=半通径1±e⋅cosθ=b2a1±e⋅cosθ（半通径就是垂直于焦点所在轴的焦半径，抛物线为y2=2px(p>0)中的p）。

证明如下：①椭圆x2a2+y2b2=1中，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），l的倾斜角为θ（锐角），则焦半径AF=b2a1+e·cosθ，BF=b2a1-e·cosθ。

（如图1）x=a2cθ图1由A、B两点分别向右准线作垂线，垂足为M、N，由A点向x轴作垂线，垂足为D，由圆锥曲线统一定义，椭圆上点到焦点的距离比到准线的距离等于离心率得||AF||AM=ca，所以||AF=||AM e=e·()a2c-x1=a-ex1，||FD=||AF cosθ。

所以c+||AF cosθ=x1，即c+||AF cosθ=a-||AFe，即||AF（1+e cosθ）=a-c2a=b2a。

所以AF=b2a1+e·cosθ，同理BF=b2a1-e·cosθ。

②双曲线x2a2-y2b2=1中，直线l过焦点F与同一支交于A、B两点，结论同上，证明略。

③抛物线y2=2px（p>0），直线l过右焦点F与抛物线交于A、B两点，则AF=p1-cosθ，BF=p1+cosθ，长短视角度而定。

高中数学专题：圆锥曲线中焦点弦取值范围的探究

圆锥曲线中焦点弦的取值范围的探究本文主要探究圆锥曲线中焦点弦的取值范围，尤其时焦点弦弦长何时取最小值和最大值，运用直线的参数方程和弦长公式，得出椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦的取值范围的以下结论：结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长；（2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；探究一：已知椭圆:C 12222=+by a x ，点F 为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F ，交椭圆C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=--+b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t +=+，αα2222421sin cos a b b t t +-=，由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b +++= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b +=+++= α2222sin 2c b ab += 所以当0sin 2=α时，焦点弦AB 取最大值，a AB 2max =，即椭圆的长轴长，此时AB l 与x 轴重合；当1sin 2=α时，焦点弦AB 取最小值，ab AB 2min 2=，即椭圆的通经，此时直线x l AB ⊥轴；综上所述：焦点弦⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a b AB 2,22 结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；探究二：已知抛物线C ：px y 22=，点F 为抛物线C 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,2(pF ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 2t y t p x （t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和抛物线C 的方程得： 0cos 2sin 222=--p pt t αα，由韦达定理得：αα221sin cos 2p t t =+，α2221sin p t t -=，由弦长公式得：αααα2224222122121sin 2sin 4sin cos 44)(pp p t t t t t t AB =+=-+=-=，因为直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，所以倾斜角0≠α，所以(]1,0sin 2∈α，则[)+∞∈,2p AB ，当1sin 2=α，即x l AB ⊥轴时，取最小值p AB 2min =，即通经长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；探究三：已知双曲线:C 12222=-by a x ，点F 为双曲线C 的左焦点，直线l 过点F ，交双曲线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=+--b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t -=+，αα2222421sin cos a b b t t -=，由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b ---= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b -=---= α2222sin 2c b ab -= 因为[]1,0sin 2∈α，所以[]0,sin 222c c -∈-α，所以[]22222,sin b a c b -∈-α，因为直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，所以ab±≠αtan ，即0sin 222≠-αc b ，所以[)(]22222,00,sin b a c b -∈-α，（1）若b a ≥，则(]2222,0sin a c b ∈-α，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22a b AB ，当1sin 2=α，即直线x l AB ⊥轴时，取最小值ab AB 2min2=，即双曲线的通经；（2）若b a <，则(]2222,0sin b c b ∈-α，[)+∞∈,2a AB ，当0sin 2=α，即AB l 与x 轴重合时，取最大值a AB 2max =，即双曲线的实轴长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长；（2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；。

焦点弦的常用公式

当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。

圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。

焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。

本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。

定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。

（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。

证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。

由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。

（1）当焦点内分弦时。

如图1，，所以。

图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以。

图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。

若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。

过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

椭圆、曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示曲线，若ρ＞0，方程只表示曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、曲线、抛物线可以统一定义为一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式设 P x,y 是圆锥曲线的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则

高考数学专题07 圆锥曲线第二定义与焦点弦(原卷版)-2021高考数学满分突破之解析几何篇

专题07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦【突破总分值数学之秒杀技巧与答题模板】：焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A 、B ，弦AB 叫做曲线的焦点弦。

秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：①焦点弦长公式：θ222cos 12e a b -(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：22b a (最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两局部,m n ，那么2112am n b+=(定值)(取通径即可)。

③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。

秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：①过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么:2p y y B A -=,42p x x B A =。

(焦点在y 轴上的性质比照给出。

)引伸:M (,0)a (0)a >在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点。

1122(,),(,)A x y B x y ,12.y y =2pa -(定值)。

②α2sin 2||pAB =(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=12x x p ++(焦点在x 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为2p )最短。

③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθ，θcos 1-=p AF ，θcos 1+=p BF (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。

④面积:θsin 22p S AOB=∆，θ32sin 2p S AMNB =(θ是直线AB 与焦点所在轴的夹角)。

⑤以AB 为直径的圆与准线MN 相切，切点为MN 中点Q ，BQ AQ ,分别是抛物线的切线，并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线。

⑥以MN 为直径的圆与AB 相切，切点为焦点F 。

⑦以焦半径为直径的圆与y 轴相切。

⑧N O A ,,三点共线,M O B ,,三点共线。

圆锥曲线的焦点弦长公式

Course Education Research 课程教育研究2018年第20期一个平面从不同角度截一个圆锥面所得的曲线称为圆锥曲线,截得的结果可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线、两相交直线、点。

不过,狭义上讲,圆锥曲线仅指椭圆、双曲线、抛物线,狭义圆锥曲线有一个统一的定义如下:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比等于常数e 的动点轨迹称为圆锥曲线,当0<e<1时轨迹为椭圆,当e>1时轨迹是双曲线,当e=1时轨迹是抛物线。

定点F 称为圆锥曲线的焦点,定直线l 称为圆锥曲线的准线,定点到准线的距离称为焦准距(记为p ),常数e 称为离心率。

(椭圆和双曲线都有两个焦点和对应的两条准线)如下图1所示,P 为某圆锥曲线上任意一点,则P 1是P 到准线的射影,则PF PP 1=e图1过焦点的直线与圆锥曲线交于两个点A 、B ,这两点之间的线段成为圆锥曲线的焦点弦,当直线绕焦点转动起来时,焦点弦的倾斜角和长度都在变化。

当焦点弦与准线平行时称为圆锥曲线的通径。

一、抛物线的焦点弦长公式例1.如下图2,已知抛物线的方程是y 2=2px (p>0),AB 是过焦点F 的弦。

(1)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),求焦点弦长;(2)若焦点弦的倾斜角是θ,求焦点弦长。

解:焦点弦AB 被焦点F 截成两段,为了方便,我们分别记m=|AF|、n=|BF|则|AB|=m+n(1)记A 1、B 1分别为A 、B 在准线l 上的射影,根据抛物线的定义,m=|AA 1|,n=|BB 1|则焦点弦长为:|AB|=m+n=|AA 1|+|BB 1|=[x 1-(-p 2)]+[x 2-(-p 2)]=x 1+x 2+p分析:这个弦长公式的巧妙在于,把斜向的弦长AB 化成横线的线段AA 1与BB 1的和,而横向的长度往往比较好计算,这里的m=|AA 1|,n=|BB 1|非常重要,下面还会继续用到这个转化。