不完全信息博弈汇总

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给定参与人i知道自己的类型θ
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i而不知道其他参与人的 类型θ -i，参与人i将选择ai(θ i) 最大化自己 的期望效用。参与人i的期望效用函数定义如 下： Vi=Σ pi(θ -i︱θ i) ui(ai,a-I;θ i,θ -i) 贝叶斯纳什均衡： 策略组合a﹡= (a1﹡ (θ 1), … an﹡ (θ n))是 一个贝叶斯纳什均衡，如果对于所有的i, ai﹡ (θ i) ∈argmax Σ pi(θ -i︱θ i) ui(ai,ai﹡;θ i,θ -i)
• 那么q2L =1/2（5/4-q1）； q2H =1/2（3/4-q1） • 企业1不知道企业2的真实成本从而不知道企 业2的最优反应是q2L还是q2H ，因此企业1选 择q1最大化下列期望利润函数： • E u1 =1/2 q1 （1- q1- q2L ）+ 1/2 q1 （1- q1q2H ） 解一阶条件可得企业1的反应函数： • q1﹡= 1/2 （1- q1H- q2L ）=1/2（1-Eq2） • 解反应函数可得贝叶斯均衡为： • q1﹡=1/3； q2L﹡=11/24； q2H﹡=5/24
贝叶斯均衡的应用—不完全信息的 古诺模型
• P=a－q1－q2，每个企业都有不变的单位 成本。企业i的利润函数如下： • Ui(q1,q2)=qi[a-q1-q2-ci] • 假定企业1的单位成本c1是共同知识，企业 2的单位成本可能是c2L也可能是c2H,企业2 知道自己的成本是c2L还是c2H，但是企业1 只知道c2=c2L的可能性为p, c2=c2H的可能 性为1- p； p是共同知识。
Baidu Nhomakorabea
• 现在让我们比较一下不完全信息下的贝叶 斯均衡与完全信息下的纳什均衡。如果企 业2的成本是c2 =3/4，企业1知道c2 =3/4， 那么反应函数分别为： q1﹡= 1/2 （1- q2 ） • q2﹡= 1/2 （5/4- q1 ）纳什均衡产量 • q1LNE =1/4， q2LNE =1/2。 • 如果企业2的成本是c2 =3/4 ，企业1知道c2 =3/4，纳什均衡产量： q1HNE =5/12， q2HNE =1/6
• q2LNE =1/2＞ q2L﹡=11/24 • q2HNE =1/6＜ q2H﹡=5/24 • 企业2的均衡产量与完全信息时的均衡产量有差异 的原因，在于企业2决定自己的产量时，必须考虑 企业1不知道企业2的真实成本，无法根据企业2 的真实成本决策的因素。例如当企业2实际是高成 本时，由于成本较高他理应生产较少，但这里他 也要考虑企业1不知道自己是高成本，因此企业1 选择的产量会小于知道企业2是高成本是的产量因 此企业2应该对此作出反应，适当多生产一些，产 量高于完全信息古诺模型时高成本时的均衡产量 是合理的。
• 为了更具体一些，我们假定 a=2,c1=1,c2L=3/4,c2H=5/4,p=1/2(企业2的成 本期望值与企业1的成本相等)。给定企业2知 道企业1的成本，企业2将选择q2最大化利润 函数：U2 =q2 （t-q1﹡- q2 ） • 这里t=a-3/4=5/4或t=a-5/4=3/4，信赖于企业2 的实际成本。一阶条件可得到企业2的反应函 数为： q2 ﹡（q1；t）=1/2（t-q1） • 就是说企业2的最优产量不仅依赖于企业1的 产量，而且领带于自己的成本。
• 比如说，一个企业选择什么产量依赖于它 的成本，一个人能干什么事情依赖于他的 能力。我们用Ai(θ i)表示参与人i的类型依 存行动空间，ai(θ i) ∈ Ai(θ i)表示i的一 个特定行动。类似地，参与人i的支付函数 也是类型依赖的，比如说，生产同样的产 量，不同成本函数的企业利润不同；工作 同样时间，不同类型的人得到的效用不同。 用ui(ai,a-i；θ i)表示参与人i的效用函数。
• 如同纳什均衡一样，贝叶斯均衡在本质上是 一个一致性预测，即每个参与人i都能正确预 测到具有类型θ j的参与人j将选择aj﹡ (θ j), 因此参与人i有关其他参与人的信念（条件概 率）的信念并不进入均衡的定义，唯一重要 的是参与人 i自己的信念pi和其他参与人的类 型依存策略a-i(θ -i) 。当涉及到不完全信息 动态博弈时，参与人有关其他参与人的信念 就是重要的，一个参与人可以通过观测其他 参与人的行动来修正信念或推断后者的类型。
• N人静态贝叶斯博弈的策略式表达包括：参与 人的类型空间Θ 1, …, Θ n,条件概率p1, …, pn,类型依存策略空间A1(θ 1) , …, An(θ n) ， 和类型依存支付函数ui(ai,a-i；θ i)。参与人i知 道自己的类型，条件概率pi= pi(θ -i︱ θ i)描 述给定自己属于θ i的情况下，参与人i有关其 他参与人类型θ -i的不确定性。我们用 G=﹛A1, …An; θ 1,…θ n; p1,…pn ; u1,…un ﹜代表这个博弈。
不完全信息博弈
贝叶斯纳什均衡（Bayesian N.E）
• B.N.E是完全信息静态纳什均衡在不完全信息 博弈上的扩张，又被称为静态贝叶斯博弈 （the static Bayesian games） • 为了定义贝叶斯纳什均衡，我们首先要说明参 与人的策略空间和支付函数。如同在完全信息 博弈中一样，在不完全信息静态博弈中，所有 参与人同时行动，参与人i的策略空间Si等同 于他的行动空间Ai。但是在不完全信息静态博 弈中，参与人i的行动空间Ai可能依赖于他的 类型θ i，也就是行动空间是类型依赖的。 （type-contingent）
• 静态贝叶斯博弈的时间顺序如下：⑴自然选择类型 向量θ =（ θ 1,…θ n ），参与人i观测到θ i，但 参与人j只知道pj(θ -j︱ θ j)，观测不到θ i；⑵N 个参与人同时选择行动a=(a1, …,an)；⑶参与人i得 到ui(ai,a-i；θ i)。 • 如果所有参与人的类型空间（或信息集）只包括一 个元素，则不完全信息静态博弈就变化成完全信息 静态博弈。 • 我们假定Ai(θ i)和ui(ai,a-i；θ i)是共同知识；就是 说尽管其他参与人并不知道参与人i的类型θ i，但 他们知道参与人i的策略空间和支付函数是如何依赖 于他的类型的。或者说如果知道θ i，也就知道Ai和 ui。当我们说其他参与人不知道i的支付函数，指的 是不知道支付函数是ui(ai,a-i；θ i)还是ui(ai,a-i； θ i ′)