平均变化率

平均变化率

一、教学目标

知识目标：通过实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.

能力目标：由平均变化率的实际意义到数学意义，体现实际问题数学化的过程，并渗透“以直代曲”、“数形结合”的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力.

情感目标：经历运用数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，感受数学产生和发展的规律，培养学生勇于探索、创新的个性品质.

二、教学重点、难点

重点：平均变化率概念的建构和平均变化率的实际意义.

难点：平均变化率的实际意义和数学意义的互相转化.

三、教学方法

启发式和互动式教学方法以及多媒体辅助教学.

四、教学过程

Ⅰ．创设情境，引出问题

让学生观看过山车录像并提出问题：注意观察过山车在运行过程中有哪些量在发生变化.从而通过过山车在运行过程中位移的变化、速度的变化、曲线的上升下降等具体可视现象概括为在运动过程中变量的变化情况，就是新的一章《导数及其应用》将要研究的问题，从而引出本章课题，并用恩格斯的话强调微分学在自然科学中的重要意义，再设计了两个贴近生活的实例：

实例1.气温随时间变化的快慢情况；

实例2.婴儿的体重随时间变化的快慢情况.

用具有潜在意义的、饶有兴趣的实际问题，将教学内容自然呈现在学生面前，用问题抓住学生，激发其探究欲望．这两个实际问题让学生直观的感受到生活实际中的一些变化快慢的问题，从而会产生数学问题就是如何用数学模型去刻画这种变化的快慢，引出课题《平均变化率》.让学生体会到“数学源于生活”体现课堂教学的“生活性”.

Ⅱ．案例分析，建构概念

通过案例分析构建数学理论，如何从数学角度描述这些现象.

对实例1中气温随时间变化的快慢情况的刻画经历如下几个过程：

1．由表格中的数据和天气逐渐变热的图片让学生初步从直觉上感受天气在逐渐变热，而且4月18日到4月20这两天的气温陡增.

2．启发学生利用所学函数知识更直观形象地反映气温随时间变化的趋势，就是作出气

温随时间变化的曲线图.让学生思维的火花在实际问题与数学概念之间产生

碰撞，引发思维.

3．在学生思维处于激发状态下引导学生如何从气温随时间变化曲线图的形状去刻画气

温变化的快慢.从而发现可以用曲线的陡峭程度去刻画气温变化的快慢.

4．在学生自主发现的基础上，将问题引向纵深处，也就是本节课的核心问题：能否从

数量上近似量化这种陡峭程度？如何量化？将问题留给学生进行自主探究，合作交流. 经过

学生充分的交流探讨之后得出量化快慢的方法主是通过斜率来刻画，即由气温差与时间差的

比值来量化.体现教师主导，学生主体的地位.

5．在总结学生方法的的基础上给出

气温在区间12[,]t t 上的平均变化率为(T 2-T 1)/(t 2-t 1)

通过对气温变化快慢的分析，启发学生用同样的方法对实例2作出分析进而得到婴儿体重

在区间12[,]t t 上的平均变化率为(W 2-W 1)/(t 2-t 1)

通过对实例1和实例2的分析和学生共同探讨出刻画变化快慢的数学方法，即气温随时

间的平均变化率以及婴儿的体重随时间的平均变化率.进而让学生概括总结出一般函数的平

均变化率的概念并加以说明：

1．平均变化率：一般地，函数()x f 在区间[]21.x x 上的平均变化率为

1212()()f x f x x x --； 2．求解平均变化率的一般方法与步骤；

3．平均变化率就是曲线上两点的直线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭

程度是平均变化率“视觉化”.渗透了“以直代曲”和“数形结合”的数学思想.

Ⅲ．典例分析，形成能力

回应引例：解释过山车中平均速度与平均加速度的数学含义，从而揭示了平

均变化率的物理意义．

实验观察：通过和学生一起做虹吸实验，让学生观察容器甲中水的体积变化

的快慢情况．进而抛出问题：

例1．水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体0.1()105

t V t -=⨯（单

位：cm 3），计算第一个10s 内V 的平均变化率 .

引申拓展：1．计算第二个10s 内V 的平均变化率；2．比较两个平均变化率的大小；3．结

论反映的实际意义是什么？

从而让学生发现：平均变化率可正，可负，还可以是零，其绝对值越大变化越快.

例2．已知函数()21f x x =+,分别计算函数()f x 在区间[-2,-1],[0,2]上的平均变化率； 引申拓展： 从例2的求解中，发现一次函数y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？指出一次函数的本质特性：它在任意区间上的平均变化率都是直线的斜率k .

例3．已知函数2

()f x x =,分别计算()f x 在区间[1, 2]，[1, 1.5]，[1, 1.1]上的平均变化率.

引申拓展：1.本例中区间长度有什么特点？2. 若将区间长度逐渐缩短时，平均变化率又将如何变化.

通过这两个问题培养学生的探究与归纳能力，再从图象上让学生直观的感受到随着区间长度的变小，平均变化率的值就越接近于一个常数，直线就越接近曲线.指出平均变化率是曲线陡峭程度的近似的粗略的刻画，还有待于进一步精确化，为下节课由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程教学埋下伏笔.

Ⅳ．思考运用，学生实践

通过平均变化率的学习，让学生体会到平均变化率的实际意义，并且能够从生活实际出发结合各门学科能够找出一些可以用平均变化率解决的问题，加深对平均变化率的理解，让学生感受到数学是源于生活，高于生活，并服务于生活的理念。并且再向学生展示一些比较典型的平均变化率的实例，如姚明的身高变化以及艾宾浩斯遗忘曲线等，从艾宾浩斯遗忘曲线中让学生发现对自己的学习有何启示，就是学习需要及时的巩固复习.最后让学生回顾总结本节课所学内容.

Ⅴ．回顾反思，突出重点

通过学生自己回顾本节课的教学过程和教学内容，以此培养学生归纳、概括和表述的能力，突出本课教学重点.

Ⅵ．课后研究，拓宽知识

1．课本P7/ 1、3；

2．请查阅有关资料（可以上网查阅）计算最近几年中国绿地面积的平均增长率和人口平均增长率，并自己找出一些可以用平均变化率解决的实际问题；

3．请思考过山车录象中190km/h 是指什么速度.