2007第五届走美杯初赛六年级

第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛
趣味数学解题技能展示大赛——初赛六年级
填空题（共15题，满分150。

第1～4题每题8分，第5～8题每题10分，第9～12题每题12分，第13～15题每题10分）
1.2007×2007×…×2007（2008个2007）的个位数字是____。

答案：1。

解析：12007的个位为7；22007的个位为9,；32007的个位为3；42007的个位为1；52007的个位为7……注意到n 2007的个位四个数为周期。

而2008÷4=502…0，那么20082007的个位数字为1。

答案:
301
151。

解析：2
13015.150301151,212035.10120310121355.1735172195.4942175.373=====＞，＜，＜，＜，＜。

故最大的一个为301151。

3.2×3的棋盘上有5个棋子及1个空格。

每步可将1个棋子移动到旁边的空格（横向或纵向）。

经过若干步移动后，由图1变到图2。

A ＝____，B ＝____。

答案：A=5,B=4。

解析：题中图1可按照如下方式变为图a 。

注意到图a 中A 与B 为4与5.这时1与2的位置正好与题中图2的1与2的位置相反。

故图2中A 应为5，B 应为4。

4.如图3所示，梯形ABCD 中，AE 与DC 平行，ABE S ∆=15，BCF S ∆=____。

中最大的一个是，，，分数____301151203101351794,73.
2
EFC
DFE S S =
答案:15。

解析：连DE ，有ABE S ∆=DBE S ∆→DFE ABF BEF DBE BEF ABE S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=-=-即。

又由AE ∥CD 得 。

所以从而15==+=+==∆∆∆∆∆∆∆∆ABE ABF BFE FEC BFE BFC FEC ABF S S S S S S S S 5.1000千克葡萄含水率为96.5%。

一周后含水率降为96%。

这些葡萄的重量减少了____千克。

答案：125。

解析：这些葡萄原来含水1000×96.5%=965（千克），含果肉1000-965=35（千克）。

一周后含水率为96%，即含果肉率为1-96%=4%，这时这些葡萄有35÷4%=875（千克）。

重量减少了1000-875=125（千克）。

6．计算:=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++173327134173327125134173327173327125____。

答案：
39
5。

解析：令b 173327a 173327125=+=++，。

则原式()39
5125134134134134134134134134=⨯=-=--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a b ab a ab b ab a ab b a b a 7．如图，请在下图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。

答案：如上图所示。

解析：设被乘数为abc ,乘数为2de 。

由abc ×2=□□0知b=5且c ≤4.这是因为c ×2最多向十位进1，而0是一个偶数，从而c ×2不向十位进位。

又由c a 5×d=□□7且c ≤4知d 为奇数且c ×d 向十位进2，那么d 最小为5，又显然d 小于7（当d 大于7时，c a 5×d 为四位数），于是d=5。

这时c 只能为4，a 只能为1，所以abc =154。

再由154×e=□□0知e 只能为2。

故这个乘法算法的被乘数与乘数分别为154和522，乘法竖式如图所示。

8.从1,2,3,4,…2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除。

N 最大为____。

答案：134。

解析：取出的N 个不同的数中任意的三个数的和都能被15整除，只有两种情况：1，这N 个数都能被15整除；2，这N 个数除以15的余数都为5。

又1—2007中，能被15整除的数为15×1,15×2,……，15×133，共有133个被15除余5的数为15×0+5,15×1+5，……15×133+5，共有134个，故N 最大为134。

9.一个自然数，在3进制中的数字和是2007。

它在9进制中的数字和最小是____，最大是____。

答案：2007,6021。

解析：把一个三进制数转换成九进制数，只需从末位开始每两位三进制数对应九进制中的1位即可转换，例如93310817210122001100220121）（）（）（==。

我们再来看看三进制数转换成九进制数后数字之和的变化:
()()()()()()()()()()()()()()()()()()9
39393939393939393822721620512411310,202101,000=========，，，，，，，， 注意到转换成九进制后，九进制的数字之和至少比三进制大0，最多大4。

所以当一个三进制数的数字之和为2007时，转化为九进制数数字之和最小值为2007，最大为2007+（2007-1）÷2×4+2=6021。

10．将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最小
为____。

□÷□＋□＋□□＝□÷□＋□□
答案：51。

解析：显然等号左边的计算结果为奇数，等号右边的计算结果为奇数时，最小为6÷2+48=51，又因为9÷1+5+37=51满足条件（情况并不唯一），所以结果最小值为51。

11．如图5，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体．这
三个长方体的表面积比是3:4:5时，用最简单的
整数比表示这三个长方体的体积比：
____:____:____。

答案：24
13,3181===c b a ，。

解析：设正方体的边长为“1”，分出的三个长方体的高分别为a 、b 、c 。

有①（2+4a ）:（2+4b ）:(2+4c)=3:4:5，②a+b+c=1。

由①得8110,816+=-=
b c b a 。

代入②得18110816=+++-b b b →31=b 。

求得24
1381==c a ，。

这三个长方体的体积比为24
13:31:81=3:8:13。

12．甲乙两船，在静水中速度都是每时30千米。

一次甲乙两船分别从A 、B 两码头同时出发相向而行，到途中的C 地后返回。

结果乙比甲先到达C 地0.5小时，而乙返回B 码头后1.5小时甲才返回A 码头。

已知A 在B 的上游，且水速为每时2千米。

AB 的距离为____千米。

答案：112。

解析：在甲乙速度相同的情况下，甲在AC 之间往返比乙在BC 之间往返多用1.5小时，这说明AC 的路程比
BC 长。

可在AC 上取点D ，使AD=CB （如图所示）。

则在DC 之间往返一次要用1.5
小时，DC 之间的路为1.5÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+281321=22.4（千米）。

又由乙比甲先到达C 地0.5小时知当乙到达C 地时甲距C 地32×0.5=16（千米），所以当乙到达C 地时，
甲比乙多走22.4－16=6.4（千米），有BC 之间的路程为6.4÷（32-28）×28=44.8（千米）。

故AB 的距离为44.8+（44.8+22.4）=112（千米）。

13．101001981961101816141211⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋯＋－＋＋－＋－＋－的整数部分是____。

答案：6
解析：
，令A 49481981761=⨯⋯+⨯+⨯
29443491614948148471981871761有A =-=⨯+⨯⋯+⨯+⨯+⨯＜。

则原示
，＜＜752944360116⨯+故整数部分为6。

14. 称能表示成1+2+3+…+k 的形式的自然数为三角数。

有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数。

N ＝____。

答案：1225
分析：依题有1+2+3+…+k=2a ,即k ×（k+1）÷2=2a 。

因为k 与k+1是连续自然数，所以k 与k+1中必有一个为奇数，有奇数×相邻偶数÷2==2a 。

又由相邻自然数互质知，奇数与相邻偶数÷2也互质，于是奇数=2m ，相邻偶数÷2=2n （a=m ×n ）而2a 为四位数有32≤a ≤99，即32≤m ×n ≤99，又2m 与22n 相邻，有7≤m ≤12。

当m=7时，2m =49，相邻偶数为50时，n=5满足条件，这时2a =()257⨯=1225，即N=1225；
549481981761601165494819
81761550154132115501494815
41321155014914815141312112原示⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⋯+⨯+⨯+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⋯+⨯+⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⋯+⨯+⨯+=⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+⋯+-+-+-=
当m=9时，2
m=81，相邻偶数为82和80都不满足条件；
当m=11时，2
m=121，相邻偶数为122和120都不满足条件；
故N=1225。

15．如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有____条。

答案：384
解析：如图所示，
利用标数法可得
到DAFE这一个面
每个点的走法
数。

若以AF为轴把DAFE这个面向下旋转90°，即可得底面的走法数，同样以AD为轴可得到有A、D、C这三个顶点的面的走法数。

再利用标数法即可得出点P处的走法为18种。

同理点R处的走法为18+18+20=56（种），点S处的走法为36+36+56=128（种）。

点M与点N处的走法与点S处的走法一样，为128种，故从A到B最短路线的走法有128×3=384（种）。