第五讲 风险管理策略：期货合约 王福强 王旭 黄招
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RF代表期货合约的收益率，RAF代表价格升值率 等式强调了持有期货合约的唯一收益来自于价格变化。
RF RAF ln( Ft / Ft 1 ) r [i ln(St / St 1 )]
价格升值的连续比率 基础资产的投资回报率为 RS
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RAS ln(St / St 1 )
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5.2.1 最小化价格风险
我们将利用航空公司的例子来说明该如何最小化其在 时刻T需要的燃油的价格风险。为了简化说明，假设航 空公司无法存储燃油，而是按照市场价格购买其需要 的燃油。另外假设我们打算在时刻T加油，时刻T的燃 ~ 油价格表示为 S T ，当前热油期货价格用 F表示，其在 ~ 时刻T的价格表示为 F T 。假设航空公司买入nF单位的 期货合约，其在时刻T的燃油净成本为
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5.2.4 OLS回归
估计风险最小化保值的一个方便直接的办法，就是普通最小 二乘（OLS）回归。只要有必需的时间序列价格数据 （t=1,…,T），就可回归
现在说明如何运用风险最小化保值的方法。假设航空公司在30天后需求 15万加仑的飞机燃油，想最小化燃油的购买成本。另外假设航空公司没 办法存储飞机燃油。确定风险最小化的保值需要四步。
第一步：确定合适的期货合约类型
(1)期货价格和燃油价格的相关系数越高，保值越有效。
(2)纽约商品交易所上市的热油期货合约有18种不同的到期 期限，如何从众多期限的合约中选择？合约流动性和期货头寸的滚动 成本是取舍关键，一般说来，到期期限最近的合约流动性也最强，从 而交易成本最低。
~
n
F
Cov( S T , F T ) Var ( F T )
~
~
~
(S T , F T )
~
~
Var ( S T ) Var ( F T )
~
~
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n
F
Cov( S T , F T ) Var ( F T )
~
~
~
Βιβλιοθήκη Baidu
(S T , F T )
期货合约的预期收益为：
EF ES r ( EM r )F ( EM r )S
理解： 买入资产时，我们实际上购买了两个——无风险资 产和风险溢价，因为我们的资金冻结在该资产上， 不管其风险水平如何，我们可以获得无风险资产利 率r的回报率。此外，因为投资风险，我们还可以获 得持有资产所带来的风险溢价。买入期货时，我们 只承担了风险，因此只能获得风险溢价。因为没有 资金占用，我们无法获得无风险收益。
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5.1.3 期货是资产价格的预言者
(1)考虑在时刻T买入资产的承诺，预期资产价格的现值 是: ~
S E ( S T )e ES T
其中ES是经风险调整的预期资产收益率 (2)考虑当前买入价格为F的期货合约，以便在时刻T买入 资产。由于时刻T的支付是确定的F，该付款责任的现值为:
Fe
rT
这两个数值代表相同的意义—时刻T 一单位商品的现值
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当前的期货价格可表示为：
F E ( S T )e ( E S r ) T
~
该等式说明，期货价格和预期资产价格的差额非0，这意味着 期货价格是预期资产价格的有偏预测指标。如果风险溢价为 正，这也是通常情况，期货价格是下偏预测值。仅当资产的 风险溢价为0时，期货价格才是预期资产价格的无偏预测值。
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5.1.2 与净持有成本的关系
资产多头意味着我们可以获得预期回报率ES，期货空头意味 着我们可以获得预期回报率EF。
ES EF r ( EM r )S (EM r )S r
资产多头和期货空头的净资产组合收益率就等于无风险利率， 买入资产所得的风险溢价恰好被卖出期货所得的风险溢价所 抵消。
C T S T nF ( F T F )
~
~
~
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Var (C T ) Var ( S T nF F T ) Var ( S T ) n Var ( F T ) 2nF Cov( S T , F T )
2 F ~ ~ ~ ~
~
~
~
~ ~ ~ dVar(C T ) 2nFVar ( F T ) 2Cov( S T , F T ) 0 dnF
第二步：收集历史价格
在保值体系内，每日价格变化的标准差和相关系数是未来预期的标准 差和相关系数，而我们没法观测到这些参数，所以通常只能根据历史 时间序列数据进行估计。
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第三步：估计标准差和相关系数
资产价格变化标准差的估计量为
S
___ 1 T 2 ( S S ) t T 1 t 1
~
~
S
期货合约的β等于基础资产的β，也就是期货合约的市场 风险等于基础资产的市场风险。
尽管期货合约的风险与基础资产的风险一样，期货 合约的预期收益低于基础资产的预期收益，其差额 等于无风险利率。
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现在，我们来看CAPM模型。资产的预期收益为：
ES r ( EM r )S
期货收益的方差等于基础资产收益的方差，也就是期 货合约的总风险等于基础资产的总风险。
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F
Cov( R F , R M ) Var( R M )
~
~
~
Cov( R S r , R M ) Var( R M )
~
~
~
Cov( R S , R M ) Var( R M )
~
i ln(St / St 1 )
(2) 期货与基础资产随机收益关系
RF RS r
RF RS r
~ ~
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5.1.1 预期收益——风险关系
EF ES r
期货合约的预期回报率等于基础资产的预期回报率 减去无风险利率
~ ~ ~
Var ( R F ) Var ( R S r ) Var ( R S )
H S nF F (1 nF ) S
因此，管理资产组合的预期收益和风险，等于 确定nF的数值。
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5.2 价格风险的套期保值
基点风险是由于期货合约价格变动和资产价格变动不是完全相关的。 基点风险 = 时间基点风险 + 级数基点风险 （1）时间基点风险：期货价格和基础资产价格差额的不确定性。
F 0.0357
S ,F 0.9320
第四步：计算风险最小化的套期保值
计算期货合约的最优数量
nF
0.9320 (0.0422 ) 1.0997 0.0357
负号意味着我们要进行风险最小化的保值，必须卖出期货，最优卖出数 量是对于每加仑飞机燃油卖出1.0997加仑的热油。
，
资产价格变化与期货价格变化的相关系数的估计量为
，
T ____ _____
S , F
估计值为：
(S
t 1 T t 1
t
S )(Ft F )
____ 2 _____
2 ( S S ) ( F F ) t t
S 0.0422
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我们可将两种工具搭配以创造一个新工具。
例如，假设我们买入无风险债券并买入一份期货，该资产组合 的预期收益恰好等于基础资产的预期收益。
r EF r ( EM r )S ES
直观地说明很简单，买入或卖出一份期货等于买入或卖出风险 溢价；另一方面，买入和卖出资产，意味着买入和卖出包含无 风险资产和风险溢价的资产组合。注意，如果资产的风险溢价 碰巧等于0，期货的预期价格变化率为0。
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（2）级数基点风险：我们常碰到的一个情况是，期货合约 的基础资产并不是我们需要管理价格风险的资产。这种情况 下，级数基点风险指的是两种资产价格差额的不确定性。
例如，许多航空公司想对其飞机燃料成本进行保值，但是并 不存在飞机燃油期货合约。所幸，飞机燃油和热油是非常接 近的替代品，因此可用热油期货进行交叉保值。这种情况下， 级数基点风险指的是热油价格和燃油价格差额的不确定性。
第一节中，由于我们假设净持有成本关系式在所有时点都 成立，所以时间基点风险等于0。为了得到净持有成本关系式， 我们假设市场是无摩擦的，而且无风险利率r和资产收益率i是固 定不变的。但现实中，套利者需承受交易成本，短期利率和收益 率可能存在一定程度的不确定性。这意味着，除非保值区间的长 度恰好与期货合约的到期期限相一致，从而确保期货价格和资产 价格趋于一致，否则，期货价格变动和资产价格变动不会是完全 相关的。
~
~
Var ( S T ) Var ( F T )
~
~
(1)根据定义方差为正，资产价格和期货价格的相关系数可能为正，所 n 以为 F 负。这意味着，如果保值者有多头资产，他需要卖出期货，反 之亦然。
(2)如果期货合约的资产就是需要保值的特定资产，且期货合约在保值 ~ ~ FT ST ，这意味着资产价格和期货价 期末到期，则期末价格必定满足 ~ ~ 格的方差相等Var ( ST ) Var ( FT ) ，即资产价格和期货价格的相关系数为 1，。因此，风险最小化的期货保值是对资产一对一的保值。 (3)保值的有效性取决于资产价格和期货价格的相关系数，如果ρ=+1， 保值是完全的，最优的保值是卖出一份期货合约；如果ρ=−1，保值也 是完全的，最优的保值是买入一份期货合约；如果−1<ρ<+1，保值不是 完全有效的，且随着相关系数越接近于0，保值的有效性越低；ρ=0时， 资产价格和期货价格相互独立，建立期货头寸是没有意义的。
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5.2.2 估计方差/协方差
为了推导风险最小化的保值，我们只考察一期的保值，从时 刻0到时刻T。保值区间的长度是随意的，为了解释的方便， ~ Var ( ST ) 。保值 假设为T天。现在，我们考察资产价格的方差 ~ ~ ~ 期间的资产价格序列为 S , S1 , S2 ,…,ST ，要用价格序列来表示
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第五章 风险管理策略：期货合约
王福强
王旭
黄招
5.1 预期收益和风险
净持有成本关系式：
Ft St e( r i )(T t )
ln Ft (r i)(T t ) ln St
ln Ft 1 (r i)(T t 1) ln St 1
等式两边取自然对数得：
~
~
~
~
n
F
Cov(S T , F T ) Var( F T )
~
~
~
TCov( S , F ) TVar( F )
~
~
~
Cov( S , F ) Var( F )
~
~
~
S S , F F
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5.2.3 设定风险最小化的保值
t-1时刻的关系为：
定义期货价格的连续变动率：
RF RAF ln(Ft / Ft 1 ) (r i) ln(St / St 1 )
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（1）期货价格的连续变动率：
RF RAF ln(Ft / Ft 1 ) (r i) ln(St / St 1 )
Var ( ST )
~
T ~ ~ T ~ Var(S T ) Var(S T S0 ) Var S t S t 1 Var S t t 1 t 1
~ ~
St St St 1
假设价格变化满足独立同分布（i.i.d.）的。
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期末资产价格的方差
Var ( S T ) TVar ( S )
期末期货价格的方差为
~
~
Var( F T ) TVar( F )
期末资产价格和期货价格的协方差为
~
~
Cov( S T , F T ) TCov( S , F )
从时刻0到时刻T风险最小化的保值式可用每日价格变化重新表示为
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5.1.4 利用期货合约对资产套期保值
考虑一个包含一单位资产和nF单位期货合约的资产组合， 其预期收益率等于
EH ES nF EF (1 nF ) ES nF r
期货收益和资产收益是完全地正向相关，即 SF 1
包含一单位资产和nF单位期货合约的资产组合的标准差等 于
RF RAF ln( Ft / Ft 1 ) r [i ln(St / St 1 )]
价格升值的连续比率 基础资产的投资回报率为 RS
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RAS ln(St / St 1 )
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5.2.1 最小化价格风险
我们将利用航空公司的例子来说明该如何最小化其在 时刻T需要的燃油的价格风险。为了简化说明，假设航 空公司无法存储燃油，而是按照市场价格购买其需要 的燃油。另外假设我们打算在时刻T加油，时刻T的燃 ~ 油价格表示为 S T ，当前热油期货价格用 F表示，其在 ~ 时刻T的价格表示为 F T 。假设航空公司买入nF单位的 期货合约，其在时刻T的燃油净成本为
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5.2.4 OLS回归
估计风险最小化保值的一个方便直接的办法，就是普通最小 二乘（OLS）回归。只要有必需的时间序列价格数据 （t=1,…,T），就可回归
现在说明如何运用风险最小化保值的方法。假设航空公司在30天后需求 15万加仑的飞机燃油，想最小化燃油的购买成本。另外假设航空公司没 办法存储飞机燃油。确定风险最小化的保值需要四步。
第一步：确定合适的期货合约类型
(1)期货价格和燃油价格的相关系数越高，保值越有效。
(2)纽约商品交易所上市的热油期货合约有18种不同的到期 期限，如何从众多期限的合约中选择？合约流动性和期货头寸的滚动 成本是取舍关键，一般说来，到期期限最近的合约流动性也最强，从 而交易成本最低。
~
n
F
Cov( S T , F T ) Var ( F T )
~
~
~
(S T , F T )
~
~
Var ( S T ) Var ( F T )
~
~
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n
F
Cov( S T , F T ) Var ( F T )
~
~
~
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(S T , F T )
期货合约的预期收益为：
EF ES r ( EM r )F ( EM r )S
理解： 买入资产时，我们实际上购买了两个——无风险资 产和风险溢价，因为我们的资金冻结在该资产上， 不管其风险水平如何，我们可以获得无风险资产利 率r的回报率。此外，因为投资风险，我们还可以获 得持有资产所带来的风险溢价。买入期货时，我们 只承担了风险，因此只能获得风险溢价。因为没有 资金占用，我们无法获得无风险收益。
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5.1.3 期货是资产价格的预言者
(1)考虑在时刻T买入资产的承诺，预期资产价格的现值 是: ~
S E ( S T )e ES T
其中ES是经风险调整的预期资产收益率 (2)考虑当前买入价格为F的期货合约，以便在时刻T买入 资产。由于时刻T的支付是确定的F，该付款责任的现值为:
Fe
rT
这两个数值代表相同的意义—时刻T 一单位商品的现值
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当前的期货价格可表示为：
F E ( S T )e ( E S r ) T
~
该等式说明，期货价格和预期资产价格的差额非0，这意味着 期货价格是预期资产价格的有偏预测指标。如果风险溢价为 正，这也是通常情况，期货价格是下偏预测值。仅当资产的 风险溢价为0时，期货价格才是预期资产价格的无偏预测值。
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5.1.2 与净持有成本的关系
资产多头意味着我们可以获得预期回报率ES，期货空头意味 着我们可以获得预期回报率EF。
ES EF r ( EM r )S (EM r )S r
资产多头和期货空头的净资产组合收益率就等于无风险利率， 买入资产所得的风险溢价恰好被卖出期货所得的风险溢价所 抵消。
C T S T nF ( F T F )
~
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Var (C T ) Var ( S T nF F T ) Var ( S T ) n Var ( F T ) 2nF Cov( S T , F T )
2 F ~ ~ ~ ~
~
~
~
~ ~ ~ dVar(C T ) 2nFVar ( F T ) 2Cov( S T , F T ) 0 dnF
第二步：收集历史价格
在保值体系内，每日价格变化的标准差和相关系数是未来预期的标准 差和相关系数，而我们没法观测到这些参数，所以通常只能根据历史 时间序列数据进行估计。
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第三步：估计标准差和相关系数
资产价格变化标准差的估计量为
S
___ 1 T 2 ( S S ) t T 1 t 1
~
~
S
期货合约的β等于基础资产的β，也就是期货合约的市场 风险等于基础资产的市场风险。
尽管期货合约的风险与基础资产的风险一样，期货 合约的预期收益低于基础资产的预期收益，其差额 等于无风险利率。
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现在，我们来看CAPM模型。资产的预期收益为：
ES r ( EM r )S
期货收益的方差等于基础资产收益的方差，也就是期 货合约的总风险等于基础资产的总风险。
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F
Cov( R F , R M ) Var( R M )
~
~
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Cov( R S r , R M ) Var( R M )
~
~
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Cov( R S , R M ) Var( R M )
~
i ln(St / St 1 )
(2) 期货与基础资产随机收益关系
RF RS r
RF RS r
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5.1.1 预期收益——风险关系
EF ES r
期货合约的预期回报率等于基础资产的预期回报率 减去无风险利率
~ ~ ~
Var ( R F ) Var ( R S r ) Var ( R S )
H S nF F (1 nF ) S
因此，管理资产组合的预期收益和风险，等于 确定nF的数值。
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5.2 价格风险的套期保值
基点风险是由于期货合约价格变动和资产价格变动不是完全相关的。 基点风险 = 时间基点风险 + 级数基点风险 （1）时间基点风险：期货价格和基础资产价格差额的不确定性。
F 0.0357
S ,F 0.9320
第四步：计算风险最小化的套期保值
计算期货合约的最优数量
nF
0.9320 (0.0422 ) 1.0997 0.0357
负号意味着我们要进行风险最小化的保值，必须卖出期货，最优卖出数 量是对于每加仑飞机燃油卖出1.0997加仑的热油。
，
资产价格变化与期货价格变化的相关系数的估计量为
，
T ____ _____
S , F
估计值为：
(S
t 1 T t 1
t
S )(Ft F )
____ 2 _____
2 ( S S ) ( F F ) t t
S 0.0422
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我们可将两种工具搭配以创造一个新工具。
例如，假设我们买入无风险债券并买入一份期货，该资产组合 的预期收益恰好等于基础资产的预期收益。
r EF r ( EM r )S ES
直观地说明很简单，买入或卖出一份期货等于买入或卖出风险 溢价；另一方面，买入和卖出资产，意味着买入和卖出包含无 风险资产和风险溢价的资产组合。注意，如果资产的风险溢价 碰巧等于0，期货的预期价格变化率为0。
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（2）级数基点风险：我们常碰到的一个情况是，期货合约 的基础资产并不是我们需要管理价格风险的资产。这种情况 下，级数基点风险指的是两种资产价格差额的不确定性。
例如，许多航空公司想对其飞机燃料成本进行保值，但是并 不存在飞机燃油期货合约。所幸，飞机燃油和热油是非常接 近的替代品，因此可用热油期货进行交叉保值。这种情况下， 级数基点风险指的是热油价格和燃油价格差额的不确定性。
第一节中，由于我们假设净持有成本关系式在所有时点都 成立，所以时间基点风险等于0。为了得到净持有成本关系式， 我们假设市场是无摩擦的，而且无风险利率r和资产收益率i是固 定不变的。但现实中，套利者需承受交易成本，短期利率和收益 率可能存在一定程度的不确定性。这意味着，除非保值区间的长 度恰好与期货合约的到期期限相一致，从而确保期货价格和资产 价格趋于一致，否则，期货价格变动和资产价格变动不会是完全 相关的。
~
~
Var ( S T ) Var ( F T )
~
~
(1)根据定义方差为正，资产价格和期货价格的相关系数可能为正，所 n 以为 F 负。这意味着，如果保值者有多头资产，他需要卖出期货，反 之亦然。
(2)如果期货合约的资产就是需要保值的特定资产，且期货合约在保值 ~ ~ FT ST ，这意味着资产价格和期货价 期末到期，则期末价格必定满足 ~ ~ 格的方差相等Var ( ST ) Var ( FT ) ，即资产价格和期货价格的相关系数为 1，。因此，风险最小化的期货保值是对资产一对一的保值。 (3)保值的有效性取决于资产价格和期货价格的相关系数，如果ρ=+1， 保值是完全的，最优的保值是卖出一份期货合约；如果ρ=−1，保值也 是完全的，最优的保值是买入一份期货合约；如果−1<ρ<+1，保值不是 完全有效的，且随着相关系数越接近于0，保值的有效性越低；ρ=0时， 资产价格和期货价格相互独立，建立期货头寸是没有意义的。
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5.2.2 估计方差/协方差
为了推导风险最小化的保值，我们只考察一期的保值，从时 刻0到时刻T。保值区间的长度是随意的，为了解释的方便， ~ Var ( ST ) 。保值 假设为T天。现在，我们考察资产价格的方差 ~ ~ ~ 期间的资产价格序列为 S , S1 , S2 ,…,ST ，要用价格序列来表示
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第五章 风险管理策略：期货合约
王福强
王旭
黄招
5.1 预期收益和风险
净持有成本关系式：
Ft St e( r i )(T t )
ln Ft (r i)(T t ) ln St
ln Ft 1 (r i)(T t 1) ln St 1
等式两边取自然对数得：
~
~
~
~
n
F
Cov(S T , F T ) Var( F T )
~
~
~
TCov( S , F ) TVar( F )
~
~
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Cov( S , F ) Var( F )
~
~
~
S S , F F
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5.2.3 设定风险最小化的保值
t-1时刻的关系为：
定义期货价格的连续变动率：
RF RAF ln(Ft / Ft 1 ) (r i) ln(St / St 1 )
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（1）期货价格的连续变动率：
RF RAF ln(Ft / Ft 1 ) (r i) ln(St / St 1 )
Var ( ST )
~
T ~ ~ T ~ Var(S T ) Var(S T S0 ) Var S t S t 1 Var S t t 1 t 1
~ ~
St St St 1
假设价格变化满足独立同分布（i.i.d.）的。
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期末资产价格的方差
Var ( S T ) TVar ( S )
期末期货价格的方差为
~
~
Var( F T ) TVar( F )
期末资产价格和期货价格的协方差为
~
~
Cov( S T , F T ) TCov( S , F )
从时刻0到时刻T风险最小化的保值式可用每日价格变化重新表示为
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5.1.4 利用期货合约对资产套期保值
考虑一个包含一单位资产和nF单位期货合约的资产组合， 其预期收益率等于
EH ES nF EF (1 nF ) ES nF r
期货收益和资产收益是完全地正向相关，即 SF 1
包含一单位资产和nF单位期货合约的资产组合的标准差等 于