1.2 命题公式及其赋值
合集下载
命题公式及其赋值
定义1.2 设p,q为二命题，复合命题“p并 且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作 p∧q，∧称作合取联结词。并规定p∧q为真当 且仅当p与q同时为真。
定义1.3 设p，q为二命题，复合命题“p 或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取联结词。并规定p∨q为假当且仅当p与q同 时为假。
• 伟大数学家盖尔芳德预言离散数学和几 何学将是本世纪数学研究的前沿阵地，这 一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得
到了中国数学界的认可和响应。
• 掌握离散数学知识，为后续课程（如数 据结构、操作系统、编译理论、数字逻辑 理论、算法分析、逻辑程序设计、系统结构、 容错诊断、机器定理证明、网络、人工智能 等）的学习打下坚实的理论基础；
（1）到(4)都是复合命题，它们使用的联 结词表面看来各不相同，但都是合取联结词， 都应符号化为∧，(1)到(4)分别符号化为p∧q， p∧q，q∧┐p，r∧s.
在(5)中，虽然也使用了联结词 “与”，但这个联结词“与”是联结 该句主语的，而整个句子仍是简单陈 述句，所以(5)是原子命题，符号化为 t.
真值应为假；反之，若(9)的真值为假，即 “我正在说假话”为假，也就是“我正在说 真话”，则又推出(9)的真值应为真。像(9) 这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称 为悖论。凡是悖论都不是命题。
本例中，只有(1)，(2)，(4)，(5)是命 题。(1)为假命题，(2)为真命题。虽然今天 我们不知道(4)，(5)的真值，但它们的真值 客观存在，而且是唯一的，将来总会知道(4) 的真值，到2100年元旦(5)的真值就真相大白 了。
则将(3)符号化为st，虽然不知道s，t的 真值，但由s与t的内在联系可知，st的真 值为1.
(4) 当王小红心情愉快时，她就唱歌； 反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
定义1.3 设p，q为二命题，复合命题“p 或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取联结词。并规定p∨q为假当且仅当p与q同 时为假。
• 伟大数学家盖尔芳德预言离散数学和几 何学将是本世纪数学研究的前沿阵地，这 一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得
到了中国数学界的认可和响应。
• 掌握离散数学知识，为后续课程（如数 据结构、操作系统、编译理论、数字逻辑 理论、算法分析、逻辑程序设计、系统结构、 容错诊断、机器定理证明、网络、人工智能 等）的学习打下坚实的理论基础；
（1）到(4)都是复合命题，它们使用的联 结词表面看来各不相同，但都是合取联结词， 都应符号化为∧，(1)到(4)分别符号化为p∧q， p∧q，q∧┐p，r∧s.
在(5)中，虽然也使用了联结词 “与”，但这个联结词“与”是联结 该句主语的，而整个句子仍是简单陈 述句，所以(5)是原子命题，符号化为 t.
真值应为假；反之，若(9)的真值为假，即 “我正在说假话”为假，也就是“我正在说 真话”，则又推出(9)的真值应为真。像(9) 这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称 为悖论。凡是悖论都不是命题。
本例中，只有(1)，(2)，(4)，(5)是命 题。(1)为假命题，(2)为真命题。虽然今天 我们不知道(4)，(5)的真值，但它们的真值 客观存在，而且是唯一的，将来总会知道(4) 的真值，到2100年元旦(5)的真值就真相大白 了。
则将(3)符号化为st，虽然不知道s，t的 真值，但由s与t的内在联系可知，st的真 值为1.
(4) 当王小红心情愉快时，她就唱歌； 反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
1.2命题公式及其赋值
矛盾式
• 若A不是矛盾式， 则称A是可满足式 （contingency）， 即至少存在一个 赋值使A为真
可满足式
说明：
（1）重言式一定是可满足式，但反之不真。
（2）若A是至少存在一个成假赋值的可满足式，则称A是 非重言式的可满足式。
20
• 若真值表的最 后一列全为1， 则公式为重言 式。
重言式
• 若真值表的最 后一列全为0， 则公式为矛盾 式。
A的真值为0，因此是A的一个成假赋值。 此外，111，101，011，000，001是A的成真
赋值，100，010是A的成假赋值。
11
真值表
• 将命题公式A在所有赋值下的取 值情况列成表，称作A的真值表。
构造真值表的具体步骤：
（1）找出公式中所 有的命题变项p1， p2，…，pn（若无下 标就按字典顺序排 列），列出2n个赋值。
（3）若A、B分别是n层和m层公式，则A∧B、A∨B、A→B及
AB是max（n，m）+1层公式。
例： 讨论公式的层次。
（1）┐p∨q （2）p∨q∧r
2层公式 2层公式
（3）(┐p∧q)→r
3层公式
（4）┐(┐p∧q)（r∨s）
4层公式
7
（1）含有命题变项的命题公式的真值通常是不确 定的。 例如：假设p：a大于2；q：a大于1， 易见p、q、p→q都是命题公式。 但p→q却是真命题。
或B不全含有这些命题变项，比如A中不含有pi，pi+1，…，pn， 称这些不出现的命题变项为A的哑元，A的取值与哑元无关。 在讨论A和B是否具有相同的真值表时，将A和B都看成含p1， p2，…，pn的命题公式。
22
（1）p→q （2）┐q∨r （3）(q→r)∧(p→p)
• 若A不是矛盾式， 则称A是可满足式 （contingency）， 即至少存在一个 赋值使A为真
可满足式
说明：
（1）重言式一定是可满足式，但反之不真。
（2）若A是至少存在一个成假赋值的可满足式，则称A是 非重言式的可满足式。
20
• 若真值表的最 后一列全为1， 则公式为重言 式。
重言式
• 若真值表的最 后一列全为0， 则公式为矛盾 式。
A的真值为0，因此是A的一个成假赋值。 此外，111，101，011，000，001是A的成真
赋值，100，010是A的成假赋值。
11
真值表
• 将命题公式A在所有赋值下的取 值情况列成表，称作A的真值表。
构造真值表的具体步骤：
（1）找出公式中所 有的命题变项p1， p2，…，pn（若无下 标就按字典顺序排 列），列出2n个赋值。
（3）若A、B分别是n层和m层公式，则A∧B、A∨B、A→B及
AB是max（n，m）+1层公式。
例： 讨论公式的层次。
（1）┐p∨q （2）p∨q∧r
2层公式 2层公式
（3）(┐p∧q)→r
3层公式
（4）┐(┐p∧q)（r∨s）
4层公式
7
（1）含有命题变项的命题公式的真值通常是不确 定的。 例如：假设p：a大于2；q：a大于1， 易见p、q、p→q都是命题公式。 但p→q却是真命题。
或B不全含有这些命题变项，比如A中不含有pi，pi+1，…，pn， 称这些不出现的命题变项为A的哑元，A的取值与哑元无关。 在讨论A和B是否具有相同的真值表时，将A和B都看成含p1， p2，…，pn的命题公式。
22
（1）p→q （2）┐q∨r （3）(q→r)∧(p→p)
命题逻辑LP
符号化为r∨s 或 (r∧s)∨(r∧s)
(3) t:张晓静是江西人，u:张晓静是安徽人.
符号化为t∨u，或 (t∧u)∨(t∧u) 。
4、蕴涵式：设p,q为两个命题,复合命题"如果p,则q"称为p与q的蕴涵式。记作pq，
其中，p是蕴涵式的前件.q为蕴涵式的后件。
→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假当且仅当p为真q为假。
3、合式公式（公式，命题公式，命题形式）：
将命题变项用联结词和圆括号联结起来的符号串。
如，A， AB，AB，AB，(AB)是合式公式，
(pq)(qr)，(pq)r，p(qr)是合式公式，
而pqr,p (qr等都不是合式公式。
注：公式中可以出现0和1，可以把它们看作pp和pp
记作 p∧q. 其中，∧称作合取联结词。
命题
真值
真值
p
q
p∧q
1
1
1
1
0
0
真值
真值
0
1
0
0
0
0
注：不要见到“与"“和"就使用联结词∧,
例2 将下列向题符号化
(1)吴颖既用功又聪明.
(2)吴颖不仅用功而且聪明，
(3)吴颖虽然聪明,但不用功
(4)张辉与王丽都是三好生
(5)张辉与王丽是同学
解:先给出(1)-(4)中的原子命题,并将其符号化
4、子公式：设A为合式公式，B为A中一部分。
若B也是合式公式，则称B为A的子公式。
5、k层公式：
(1)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一。
(a)A=B，B是n层公式;
(3) t:张晓静是江西人，u:张晓静是安徽人.
符号化为t∨u，或 (t∧u)∨(t∧u) 。
4、蕴涵式：设p,q为两个命题,复合命题"如果p,则q"称为p与q的蕴涵式。记作pq，
其中，p是蕴涵式的前件.q为蕴涵式的后件。
→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假当且仅当p为真q为假。
3、合式公式（公式，命题公式，命题形式）：
将命题变项用联结词和圆括号联结起来的符号串。
如，A， AB，AB，AB，(AB)是合式公式，
(pq)(qr)，(pq)r，p(qr)是合式公式，
而pqr,p (qr等都不是合式公式。
注：公式中可以出现0和1，可以把它们看作pp和pp
记作 p∧q. 其中，∧称作合取联结词。
命题
真值
真值
p
q
p∧q
1
1
1
1
0
0
真值
真值
0
1
0
0
0
0
注：不要见到“与"“和"就使用联结词∧,
例2 将下列向题符号化
(1)吴颖既用功又聪明.
(2)吴颖不仅用功而且聪明，
(3)吴颖虽然聪明,但不用功
(4)张辉与王丽都是三好生
(5)张辉与王丽是同学
解:先给出(1)-(4)中的原子命题,并将其符号化
4、子公式：设A为合式公式，B为A中一部分。
若B也是合式公式，则称B为A的子公式。
5、k层公式：
(1)若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
(2)称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一。
(a)A=B，B是n层公式;
01命题逻辑
如例1中的陈述句(6) (5x + 1 > 11)。 4、复合命题： 由简单命题用联结词联结而成的命题。
命题逻辑主要就是研究复合命题。
5、命题的符号化： 用符号来表示命题。
2017/2/28 离散数学 8
三、联结词
先看一个例子：
例2：判断下列命题是否为复合命题，说出其联结词。
(1) 3不是偶数。
(3) 林芳学过英语或日语。
例2(3)中，设 p 表示“林芳学过英语”， q 表示 “林芳学过日语”，则 p q 表示“林芳学过英语或日 语”。 注意：“或”的二义性。如命题：派小王或小李中 的一人去开会，应符号化为( p q ) ( p q ), 这类“或”表达的是排斥或。
2017/2/28 离散数学 12
2017/2/28
离散数学
21
二、命题公式的解释或赋值（续）
( 1) ( p) q 真值分析如下： p q ( p) q ( p) q 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0
表1.2
2017/2/28
离散数学
22
二、命题公式的解释或赋值（续）
2、命题常项(或命题常元)：
由于简单命题的真值确定，故又称之为命题常项
或命题常元。 如例1中的陈述句(1) (2) (3) (4) (5)。
2017/2/28 离散数学 7
二、与命题相关的几个概念（续）
3、命题变项(或命题变元)： 真值可以变化的简单陈述句，但它不是命题,也
可以用p,q,r等表示。
关系。用真值表可以验证公式等值。
等值演算：按一定方法寻找某个复合命题公式的等 值式的过程。
2017/2/28 离散数学 26
命题逻辑主要就是研究复合命题。
5、命题的符号化： 用符号来表示命题。
2017/2/28 离散数学 8
三、联结词
先看一个例子：
例2：判断下列命题是否为复合命题，说出其联结词。
(1) 3不是偶数。
(3) 林芳学过英语或日语。
例2(3)中，设 p 表示“林芳学过英语”， q 表示 “林芳学过日语”，则 p q 表示“林芳学过英语或日 语”。 注意：“或”的二义性。如命题：派小王或小李中 的一人去开会，应符号化为( p q ) ( p q ), 这类“或”表达的是排斥或。
2017/2/28 离散数学 12
2017/2/28
离散数学
21
二、命题公式的解释或赋值（续）
( 1) ( p) q 真值分析如下： p q ( p) q ( p) q 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0
表1.2
2017/2/28
离散数学
22
二、命题公式的解释或赋值（续）
2、命题常项(或命题常元)：
由于简单命题的真值确定，故又称之为命题常项
或命题常元。 如例1中的陈述句(1) (2) (3) (4) (5)。
2017/2/28 离散数学 7
二、与命题相关的几个概念（续）
3、命题变项(或命题变元)： 真值可以变化的简单陈述句，但它不是命题,也
可以用p,q,r等表示。
关系。用真值表可以验证公式等值。
等值演算：按一定方法寻找某个复合命题公式的等 值式的过程。
2017/2/28 离散数学 26
命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
15
命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
1命题逻辑基本概念
6
东南大学
Introduction
Assume a very fast PC:
1 flop = 1 nanosecond = 10-9 sec. = 1,000,000,000 ops/sec = 1 GHz.
7
东南大学
Introduction
If n=8, T(n) = 7•8! = 282,240 flops < 1/3 sec. If n=50, T(n) = 49•50! = 1.48 1066 = 1.49 1057 seconds = 2.48 1055 minutes = 4.13 1053 hours = 1.72 1052 days = 2.46 1051 weeks = 4.73 1049 years.
定义1.1 设原子命题为p，则复合命题“p的否定” 或“非p”称为p的否定式。记做¬p，符号 ¬称 作否定联结词。规定¬p为真当且仅当p为假。
15
东南大学
1.1 命题与联结词
（２）严格由真值表定义 （３）举例： 北京是一座城市。 p 北京不是一座城市。 ¬p 每一种生物均是动物。 q 有一些生物不是动物。 ¬q 不是每一种生物均是动物。¬q 每一种生物均不是动物。 p ¬p T F F T
circuit design many other CS problems n cities c1, c2, . . . , cn distance between city i and j, dij
Given:
Find the shortest tour.
5
东南大学
Introduction
A tour requires n-1 additions. How many different tours?
东南大学
Introduction
Assume a very fast PC:
1 flop = 1 nanosecond = 10-9 sec. = 1,000,000,000 ops/sec = 1 GHz.
7
东南大学
Introduction
If n=8, T(n) = 7•8! = 282,240 flops < 1/3 sec. If n=50, T(n) = 49•50! = 1.48 1066 = 1.49 1057 seconds = 2.48 1055 minutes = 4.13 1053 hours = 1.72 1052 days = 2.46 1051 weeks = 4.73 1049 years.
定义1.1 设原子命题为p，则复合命题“p的否定” 或“非p”称为p的否定式。记做¬p，符号 ¬称 作否定联结词。规定¬p为真当且仅当p为假。
15
东南大学
1.1 命题与联结词
（２）严格由真值表定义 （３）举例： 北京是一座城市。 p 北京不是一座城市。 ¬p 每一种生物均是动物。 q 有一些生物不是动物。 ¬q 不是每一种生物均是动物。¬q 每一种生物均不是动物。 p ¬p T F F T
circuit design many other CS problems n cities c1, c2, . . . , cn distance between city i and j, dij
Given:
Find the shortest tour.
5
东南大学
Introduction
A tour requires n-1 additions. How many different tours?
1.2命题公式与赋值
• 将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻 辑关系联结起来的符号串称为合式公式或
命题公式（ (pq) ((rs) p) ）
• 定义1.6 合式公式（公式）的递归定义：
(1)单个命题变项是合式公式, 并称为原子命题公式. (2)若A是合式公式, 则(┐A)也是合式公式. (3)若A, B是合式公式, 则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A B) 也是合式公式. (4)只有有限次地应用(1)～(3)形成的符号串才是合式公 式.
• 如 000, 010, 101, 110是(pq)r的成 真赋值
•
001, 011, 100, 111是成假赋值.
• 定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表, 称作 A的真值表.
• 构造真值表的具体步骤如下：
• (1) 找出公式中所含的全体命题变项p1,p2,…,pn (若无下角 标就按字典顺序排列), 列出2的n次方个赋值. 本课程规定, 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到 11…1为止. (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次. (3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公 式的真值.
例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r, E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，？层公式.
• 公式就代表命题,但代表的命题是真还是假呢？
• 例如, 在公式(p∨q)→r中, 若将 • p解释成：2是素数, • q解释成：3是偶数, • r解释成： 是无理数, • 公式(p∨q)→r被解释成：若2是素数或3是偶数, 则
是无理数. 这是一个真命题.
• 其实, 将命题符号p解释成真命题, 相当于 指定p的真值为1, 解释成假命题, 相当于 指定p的真值为0.
NNG_教师教案离散数学_48课时_黄海华
（第三讲） 2.3、联结词 的完备性
2.4、可满足 性问题与消解 法
1. 真值函数 2. 联结词完备集
1. 消解法
南宁学院教师教案
二级学院（部门）：高博软件学院 专业：13计算机科学与技术 课 程：离散数学 主讲教师：付林林
课题 章节 第三章 命题逻
授课班级
14计 算机 科学 与技 术 （互 联网 会计 审计
划分
第七节、偏序关系
习题课
重 点、 难点 及突 破措 施
重点、难点： 1、二元关系的运算 2、关系的闭包 3、等价关系与划分 4、偏序关系
课堂作业：无
教学场所 及教具
教学方法
普通教室 （√）多媒 体（） 实验室 （） 音 像（） 图 片（） 实 物（） 模 型（） 其 他：
讲授（√） 讨论（） 实践（） 案例（） 演示（） 主题活动 （） 其他：
1. 命题真值与赋值 命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题，复合命题
2. 命题与真值的符号化 用p,q,r等表示命题，成为命题的符号化
3. 基本复合命题 否定式 合取式 析取式 蕴涵式
4. 复合命题 基本复合命题以及多次使用常用联结词
1.2、命题公 式及其赋值
1. 命题常项与命题变项 命题常项，命题变项
反、对称、反对称、传递性给出证明。 6、熟练掌握等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及
等价关系与划分的对应性质。 7、熟练掌握偏序关系、偏序集、哈斯图等概念。
内容提要及教学过程
学时分配
第一节、有序对与笛 1
卡儿积
1
第二节、二元关系 1
第三节、关系的运算 第四节、关系的性质
1 1
第五节、关系的闭包
第六节、等价关系与
离散数学-第1章
27
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
离散数学(同济大学)
读作“p与q”或“p合取q”。
是自然语言中的“并且”、
p
“既又”、“不但
F
而且”、“虽然但是”
F
、“一面一面”等的逻辑抽象。 T
T
q
pq
F
F
T
F
F
F
T
T
p：王化的成绩很好。
q：王化的品德很好。
p∧q： 王化不但成绩好而且品德好。
1.1 命题和命题联结词
3).析取词 命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p或q”。
p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
p q的逻辑关系为p与q互为充要条件
p
q
pq
例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。
,
p2
,,
p
的命题公式，
n
给p1 , p2 ,, pn一组确定的取值，称为对A的一组赋值或解释。 若指定的一组值使A的真值为1，则称其为A的成真赋值，否则
称为成假赋值。
1.2 命题公式及其赋值
定义4.将公式A在其全部赋值下的真值情况列成表， 称为A的真值表。
真值表的构造步骤： （1）若公式F共有（ n n 1)个变元，则真值表第一行写出
1.2 命题公式及其赋值
例（1）p q q r (2)r q p q p
(3) p q)
(4)r p (5) p r
同时约定：（1）最外层的括号可以省去。 （2）不影响运算次序的括号也可以省去。
1.2 命题公式及其赋值
《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲（Discrete Mathematics）适用专业：电子信息类课程类别：学科基础课课程学时：48课程学分：3.0先修课程：高等数学、线性代数等一、课程简介离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程，是计算机科学与技术的支撑学科。
它在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能与机器人、数据库、网络、计算机图形学、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和处理方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
二、教学目的与任务离散数学是一门培养学生缜密思维、严格推理，具有综合归纳分析能力的课程。
通过本课程的学习，使学生有一定的严格逻辑推理与抽象思维能力，掌握离散量的处理及运算技能，能够将离散数学应用到解决计算机技术中的实际问题中。
不仅能为学生奠定计算机科学的专业基础，并且能为将后续课程的学习及将来开发软、硬件技术及研究、应用提供有力的工具。
三、课程内容第1章命题逻辑的基本概念1.1命题与联结词1.2命题公式及其赋值第2章命题逻辑等值演算2.1等值式2.2析取范式与合取范式* 2.3联结词的完备集* 2.4可满足性问题与消解法第3章命题逻辑的推理理论3.1推理的形式结构3.2自然推理系统P3.3消解证明法第4章一阶逻辑基本概念4.1一阶逻辑命题符号化4.2一阶逻辑公式及其解释第5章一阶逻辑等值演算与推理5.1一阶逻辑等值式与置换规则5.2一阶逻辑前束范式* 5.3一阶逻辑的推理理论第6章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集的计数6.4集合恒等式第7章二元关系7.1有序对与笛卡儿积7.2二元关系7.3关系的运算7.4关系的性质7.5关系的闭包7.6等价关系与划分7.7偏序关系第8章函数8.1函数的定义与性质8.2函数的复合与反函数* 8.3双射函数与集合的基数* 8.4一个电话系统的描述实例第14章图的基本概念14.1图14.2通路与回路14.3图的连通性14.4图的矩阵表示* 14.5图的运算第15章欧拉图与哈密顿图15.1欧拉图15.2哈密顿图15.3最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题第16章树16.1无向树及其性质16.2生成树16.3根树及其应用三、课程学时分配、教学内容与教学基本要求四、教学方法与教学手段说明该课程教学方式主要有：课堂教学、交互学习、课后作业。
第一章-命题逻辑02-公式和真值赋值
若 A 是 F(A1,l,Am) ,其中 F 是 m 元联结词,则 ApB11,,ll,,pBnn 是 F( ( A1 ) pB11,,ll,,pBnn, l , ( Am) Bp11,,ll,,pBnn) ,
v(ApB11,,ll,,pBnn) =F(v((A1)pB11,,ll,,pBnn),l,v((Am)pB11,,ll,,pBnn)) =F(u(A1),l,u(Am)) =u(A). □
□ 例子 假设:
公式 A 为 pZ0>q[1 真值赋值 v=(p/1,q/0)
则
v(A)=1Z0>0[1=0.
□
例子
用真值表计算公式 \ (p[q)?\ pZ\ q 在所有赋值之下的真值:
p q p[q \ (p[q) \ p \ q \ pZ\ q \ (p[q)?\ pZ\ q
00 0
公式和真值赋值
公式
原子公式
小写英文字母及加下标
p,q,r,s,t,l,p1,l
表示命题变元, 命题变元也称为命题符号,有无穷多个. 命题变元称为原子公式.
□ 公式 设 S 是联结词的集合. 由 S 生成的公式定义如下：
原子公式是由 S 生成的公式 c 是 S 中的 0 元联结词,则 c 是由 S 生成的公式 若 n61 ,F 是 S 中的 n 元联结词,A1,l,An 是由 S 生成的公式, 则FA1lAn 是由 S 生成的公式
公式是命题逻辑的研究对象. □
例子
>Zpq0 是公式 >pZqr 是公式 [ZZ>)?pqrqpqr是公式
□ 约定 省略括号的约定:
公式最外层的括号可省略. 规定联结词的优先级从高到低的顺序排列为：\ ,[ ,Z , ) ,>,? .若 无括号,优先级高的联结词先运算. 若同一个联结词连续多次出现且无括号,则按从左至右的顺序运算.
离散数学课件 第一章
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
1第一章 命题逻辑基本概念
如何将语句符号化, 以及如何理解符号化了的语句。 语句符号化要注意:
1. 要善于确定简单命题, 不要把一个概念硬拆成几个 概念。 例如“我和他是同学”是一个简单命题。 2. 要善于识别自然语言中的联结词 (有时它们被省略)。 例 1.11 狗急跳墙。
解 应理解为: p: 狗急了, q: 狗才跳墙
解 令 p: odd是奇数, q: odd2是奇数，
上述语句可表示为 p q。 6. 异或(exclusive or)连结词“” 【定义】 对于“排斥或”, 在数理逻辑中用联结词 “”表示, 称作“异或”。 当且仅当命题p和q的真值相异时, p q便取值为 真。
p q的真值表如表1.1.6所示。
1. 否定(negation)词“” 【定义 1.1】 设p是一个命题, 复合命题“非P‖(P的否 定)称为命题p的否定式, 记作“P‖, (读作“非p‖)。 命题p取值为真, 当且仅当命题P取值为假。 p的真值表如表1.1.1所示。 表.1.1 P 0 1 P 1 0
例 1.3 P：地球是圆的。 P：地球不是圆的。
p
0 0 1 1
表 1.6 q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
从定义可知联结词“”有以下性质： (1) p q = q p (2) (p q) r = p (q r) (3) p∧(q r) = (p∧q) (p∧r) (4) p q (p∧q)∨(p∧q) (5) p q (p q) (6) p p 0，p F P, p T P。
但不完全等同。
p∧q的真值表如表1.1.2所示。
表 1.2 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
1.1-2 命题符号化及联结词,命题公式及分类
例. 判断下列语句是否是命题 判断一个句子是使句1)).是否为陈述句。 (否。疑问句2)).真值是否唯一。
3. 地球是圆的。
(是。真值为“真”)
4. 雪是黑色的。 5. 明年10月1日是晴天。
(是。真值为“假”) (是。真值唯一，但待定)
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
Ø 不相容性或(排斥或)：指p与q不可同时为真。
例. 2).张晓静是江西人或安徽人。
l 令r:张是江西人，s:张是安徽人。
l 则2)中“或”应为排斥或，但r与s不能同时为 真，因而也可以符号化为r∨s
例. 3).张晓静只能挑选202或203房间之一。
p
q
p «q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
逻辑上”等值”
Ø 复合命题符号化的基本步骤：
l分析出各简单命题，将其符号化 l使用合适的联结词，“联结”各简单命题 注：符号化要按逻辑关系进行，而不能仅凭字面翻译。
Ø 联结词的优先级
l命题公式外层的括号可以省略； l联结词的优先级（由高到低）:
¬ 、∧、∨、→、«。 l规定：各个命题联结符的优先级别为
三次数学危机
Ø 第一次数学危机
l 无理数的发现，引起了第一次数学危机。
Ø 第二次数学危机
l ……关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其 分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一 个半世纪的争论……
Ø 第三次数学危机
l ……这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现 悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分 支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合 论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的 有效性的怀疑。
命题逻辑基本概念命题公式、赋值、命题公式的分类
(1)设 p：π是无理数, q：加拿大位于亚洲. 符号化为 pq, 真值为0.
(2)设 p：2+3＝5, q：π是无理数. 符号化为 pq, 真值为1.
(3)设 p：两圆A, B的面积相等, q：两圆A, B的半径相等. 符号化为 pq, 真值为1.
(4)设 p：王小红心情愉快, q：王小红唱歌. 符号化为 pq, 真值由具体情况而定.
关于蕴含的进一步说明
作为一种规定, 当p为假时, 无论q是真是假, p→q均为真. 也 就是说, 只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p→q为 假. 称为实质蕴含.
例：如果x>5, 则x>2. (1) x=6 如果6>5, 则6>2. (2) x=3 如果3>5, 则3>2. (3) x=1 如果1>5, 则1>2.
求复杂复合命题的真值时, 除依据上表外, 还要规定联结 词的优先顺序, 将括号也算在内.
本书规定的联结词优先顺序为：( ), , , , , , 对于
同一优先级的联结词, 先出现者先运算.
例1.7
令 p：北京比天津人口多.
q：2+2＝4.
r：乌鸦是白色的.
求下列复合命题的真值： (1)((pq)(pq))r (2)(qr)(pr)
1
是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的后件, 1
称作蕴涵联结词, 并规定pq为假当且
0
仅当p为真q为假.
0
q
p q
1
1
0
0
1
1
0
1
说明 pq的逻辑关系表示q是p的必要条件. q是p的必要条件有许多不同的叙述方式
– 只要p, 就q – 因为p, 所以q – p仅当q – 只有q才p – 除非q才p
(2)设 p：2+3＝5, q：π是无理数. 符号化为 pq, 真值为1.
(3)设 p：两圆A, B的面积相等, q：两圆A, B的半径相等. 符号化为 pq, 真值为1.
(4)设 p：王小红心情愉快, q：王小红唱歌. 符号化为 pq, 真值由具体情况而定.
关于蕴含的进一步说明
作为一种规定, 当p为假时, 无论q是真是假, p→q均为真. 也 就是说, 只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p→q为 假. 称为实质蕴含.
例：如果x>5, 则x>2. (1) x=6 如果6>5, 则6>2. (2) x=3 如果3>5, 则3>2. (3) x=1 如果1>5, 则1>2.
求复杂复合命题的真值时, 除依据上表外, 还要规定联结 词的优先顺序, 将括号也算在内.
本书规定的联结词优先顺序为：( ), , , , , , 对于
同一优先级的联结词, 先出现者先运算.
例1.7
令 p：北京比天津人口多.
q：2+2＝4.
r：乌鸦是白色的.
求下列复合命题的真值： (1)((pq)(pq))r (2)(qr)(pr)
1
是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的后件, 1
称作蕴涵联结词, 并规定pq为假当且
0
仅当p为真q为假.
0
q
p q
1
1
0
0
1
1
0
1
说明 pq的逻辑关系表示q是p的必要条件. q是p的必要条件有许多不同的叙述方式
– 只要p, 就q – 因为p, 所以q – p仅当q – 只有q才p – 除非q才p
离散数学 屈婉玲第2版ppt(1)
(6) a能被4整除，仅当a能被2整除。
rs 真值:1
(7) 除非a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 rs 真值:1
(9) 只有a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1
(10) 只有a能被4整除，a才能被2整除。 sr 与a有关
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道
假命题 真命题 不是命题
School of Software
6
1.1 命题与联结词
软件学院
二. 命题分类
简单命题: 由简单句构成, 不能再分解成更简单的命题。 复合命题: 由简单命题和联结词构成。
三. 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
School of Software
9
1.1 命题与联结词
软件学院
4. 蕴涵联结词
注意:
(1) pq 的逻辑关系: p为q的充分条件；q为p的必要条件。 (2) pq 的多种表达方式:
充分式: 只要 p 就 q 如果 p 就 q p为q的充分条件, pq 因为 p 所以 q
必要式: 只有 q 才 p
仅当 q 才 除非 q 才
p q为 p 的必要条件, pq p
除非 q 否则非 p
(3) 常出现的错误: 不分充分与必要条件
Northeast Petroleum University
School of Software 10
1.1 命题与联结词
软件学院
例5 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 如果3+3＝6，则雪是白的。 (2) 如果3+3≠6，则雪是白的。 (3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。 (4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。
命题公式及其赋值
命题公式及其赋值一、命题公式的基本概念。
1. 定义。
- 命题公式是由命题变元（通常用p,q,r,·s表示）、联结词（如¬（非）、wedge（且）、vee（或）、to（蕴含）、↔（等价））和括号按照一定规则组成的符号串。
例如(pvee q)to r就是一个命题公式。
- 命题变元是可以表示任意命题的变量，它们的取值为真（T）或假（F）。
2. 合式公式的形成规则。
- 单个命题变元是合式公式。
- 如果A是合式公式，那么¬ A也是合式公式。
- 如果A和B是合式公式，那么(Awedge B)、(Avee B)、(Ato B)、(A↔ B)也是合式公式。
- 只有有限次地应用上述规则形成的符号串才是合式公式。
二、命题公式的赋值。
1. 定义。
- 设p_1,p_2,·s,p_n是出现在命题公式A中的全部命题变元，给p_1,p_2,·s,p_n 各指定一个真值（真或假），称为对A的一个赋值或解释。
例如，对于命题公式(pvee q)to r，如果p = T，q = F，r=T，这就是一个赋值。
- 若有n个命题变元，则共有2^n种不同的赋值。
2. 成真赋值与成假赋值。
- 对于命题公式A，如果在某一赋值下A的值为真，则称这一赋值为A的成真赋值；如果在某一赋值下A的值为假，则称这一赋值为A的成假赋值。
例如，对于命题公式pto q，当p = F，q = T时，这是一个成真赋值；当p = T，q = F时，这是一个成假赋值。
1. 题目1。
- 设命题公式A=(pwedge q)vee r，求当p = T，q = F，r = T时A的真值。
- 解析：- 首先计算pwedge q，因为p = T，q = F，根据wedge的定义（当且仅当p 和q都为真时pwedge q为真），所以pwedge q = F。
- 然后计算(pwedge q)vee r，因为pwedge q = F，r = T，根据vee的定义（只要p或q有一个为真时pvee q为真），所以(pwedge q)vee r=T。
离散数学教案范本
《离散数学》教案课目：第一章命题逻辑教师：熊建英学时： 12课时Ⅰ教学提要一、教学对象（人数）学生：信息安全专业本科二年级学生50人二、教学目标（任务）各小结中知识点掌握程度(* 理解；** 基本掌握；***熟练掌握)三、教学要求（一）学生：着重知识点的学习，积极思考，参与提问。
（二）教官：严格纪律，严密组织、保持良好教学秩序，确保教学效果。
四、教官分工主讲教师1名：负责教案编写，课堂的组织教学，教学总结编写。
五、本章重点1、利用联接词构造复合命题公式2、真值表的构建3、等值演算4、复合命题公式转化为主析取范式、主合取范式的方法5、推理证明六、本章难点1、利用命题公式演算、真值表进行等值判断和公式类型判断2、利用命题公式演算、真值表转化主析取范式、主合取范式3、将现实背景下的条件约束构造为命题公式七、教学方法采用课堂教授，主要使用多媒体课件，部分内容及例题用黑板解释。
八、课时分配1.1 命题及联接词2课时；1.2 命题公式及其赋值2课时；1.3 等值式2课时；1.4 析取范式与合取范式2课时；1.5 推理理论与消解法2课时；1.6 命题逻辑应用案例2课时；九、场地器材多媒体教室十、参考书目1、杨圣洪、张英杰、陈义明：《离散数学》，科学出版社，2011年。
2、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学》，高等教育出版社，2008年。
3、屈婉玲、耿素云、张立昂：《离散数学学习指导与习题解析》，高等教育出版社，2008年。
Ⅱ教学进程1.1 命题及联接词（2课时）一、教学内容1、命题的概念表示与分类2、五种基本的联接词的逻辑关系3、复合命题的符号化4、复合命题的真值判断二、课程时间安排1、首先介绍本课程的性质，任务和教学安排，对学生明确提出教学上的要求（10分钟）2、介绍离散数学学科的发展历史（20分钟）3、命题与真值、命题的分类、简单命题符号化（15分钟）4、联结词与复合命题（35分钟）5、本次课小结（10分钟）三、教学实施（一）创设意境、导入课程（10分钟）目的体会离散数学理论在现实生活中的应用、是计算机专业多门核心课程的基础，让学生明白“离散数学”课程作用和意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 命题逻辑基本概念
第1节 命题与联结词 第2节 命题公式及其赋值
第2节 命题公式及其赋值
一、命题公式的定义
二、公式的层次
三、公式的赋值 四、真值表 五、公式的真假值分类
一、命题公式的定义
命题可以表示为符号串，那么符号串是否都
代表命题呢？显然不是，如“P ∨”，“PP→”
1 命题常项与命题变项
100(p＝1，q＝0，r＝0)为成假赋值。
四、真值表
1 定义 定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值情况列
成表，称作A的真值表 .
2 构造真值表的具体步骤如下：
（1）找出公式中所含的全体命题变项 p1 , p2 ,, pn
(若无下角标就按字典顺序排列)，列出2n个赋值. 我
们规定，赋值从00…0开始，然后按二进制加法依次
(A ↔B)也是合式公式. （4）只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式
公式.
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式.
如: (p→q)∧(q↔r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)
都是合式公式，而pq→r,（p→(r→q)不是合式公式.
注意：
① 定义1.6给出的合式公式的定义方式称为归纳定义方 式，下文中还将多次出现这种定义方式.
(3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
从定义不难看出以下几点：
1. A是可满足式的等价定义是：A至少存在一个成真赋值. 2. 重言式一定是可满足式，但反之不真. 因而，若公式A是可
满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式
的可满足式. 3. 真值表可用来判断公式的类型:
(1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式.
个命题变元的真值表共有
2n 种不同情况 . 2
例1.9 下列各公式均含两个命题变项p与q，它们中
哪些具有相同的真值表?
(1) p→q
(2) p↔q
(3) ┐(p∧┐q) (4) (p→q)∧(q→p) (5) ┐q∨p
解: 构造过程不写, 表1.5 给出了这5个公式的真值表
pq
pq
p q ( p q ) ( p q ) (q p) q p
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表
如表1.3所示
p q p q ( p p ) ( q q ) ( p p ) ( q q )
00 1.3 01 10 11
表
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
从表1.3可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无 成假赋值.
② 定义中的符号A, B等，表示的是任意的合式公式 (元语言符号), 不是某个具体的公式(对象语言符号).
③ 公式的最外层括号可以省去；公式中不影响运算次 序的括号也可以省去.
二、公式的层次
定义1.7
（1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式.
（2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a) A＝┐B，B是n层公式；
(2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式.
(3) 若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式.
从表1.2～1.4可知，例1.8中，
公式(1)(┐p∧q)→┐r为非重言式的可满足式，
公式(2)(p∧┐p) ←→ (q∧┐q)为重言式，
公式(3)┐(p→q)∧q∧r为矛盾式.
注：
关于n个命题变元 p1 , p2 , , pn 可以构造多 少个真值表呢？ n个命题变元共产生2n个不同赋值， 在每个赋值下，公式的值只有0和1两个值. 于是n
00 01 10 11
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 0 1
表1.5
1 0 0 1
1 0 1 1
从表1.5 中可看出, (1),(3)具有相同的真值表, (2),(4)具有相 同的真值表
例1.10 下列公式中哪些具有相同的真值表? (1) p→q
(2) ┐q∨r
(3) (┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4) (q→r)∧(p→p)
公式(3)是含3个命题变项的4层合式公式. 它的真值表 如表1.4所示 p q r p q ( p q ) ( p q ) q ( p q ) q r
表
1.4
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
解: 本例中给出的4个公式，共同含有3个命
题变项，r在公式(1)中不出现，称为(1)的哑元，p
是公式(2)中的哑元，讨论它们是否有相同的真值
表时，均按三个命题变项写出它们的真值表. 表
1.6列出这4个公式的真值表，中间过程省略了.
表1.6
pqr
p q p r ( p q ) ( p r ) p ( q r ) ( p p )
(i) 命题常项（命题常元）：简单命题（是真值 唯一确定的命题逻辑中最基本的研究单位）
(ii) 命题变项（命题变元）：真值可以变化的
陈述句。
注意：
① 也用p, q, r, … 表示命题变项. 当p,q,r,…表示命
题变项时，它们就成了取值0或1的变项.
② 因而命题变项已不是命题. ③ p, q, r, …既可以表示命题常项，也可以表示命 题变项. 在使用中，需要由上下文确定它们表示 的是常项还是变项.
写出各赋值，直到11…1为止 .
（2）按从低到高的顺序写出公式的各个层次.
（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后
计算出公式的真值.
例1.8 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假
赋值.
(1) (┐p∧q)→┐r
(2)
(p∧┐p) ←→ (q∧┐q)
(3) ┐(p→q)∧q∧r
解: 公式(1)是含3个命题变项的3层合式公式.它的真值 表如表1.2所示
4 含n(n≥1)个命题变项的公式共有2n个不同 的赋值 .
例如，在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中，
000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)，
110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)
都是成真赋值，而 001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)， 011(p1＝0，p2＝1，p3＝1) 都是成假赋值。 在公式(p∧┐q)→r中， 011(p＝0，q＝1，r＝1)为成真赋值，
① 若A中出现的命题符号为 p1 , p2 , , pn ，给定A 的赋值 a1 , a2 , , an 是指：
p1 a1 , p2 a2 , , pn an
② 若A中出现的命题符号为 p, q, r , 上述 a i 取值为0或1，i＝1, 2, … , n . ,给定A的赋 值 a1 , a2 , , an 是指最后一个字母赋值 n . a
p q r p r p q ( p q ) r
表 1.2
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
从表1.2可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值.
000 001 010 011 100 10 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
从表1.6 从表中看出，(1)与(3)有相同的真值表，(2)与(4)有相同
的真值表.
作业： P18—19
19. (3)(4)(5) 21.（2）
1 定义
定义1.8 设 p1 , p2 , , pn 是出现在公式A中的全部 命题变项，给 p1 , p2 , , pn 各指定一个真值，称为对
A的一个赋值或解释。
2 分类
若指定的一组值使A的真值为1，则称这组值为 A的成真赋值； 若使A的真值为0，则称这组值为A的成假赋值.
3 说明
对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定：
2 合式公式
将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑 关系连接起来的符号串称为 合式公式，也称为命
题公式或命题形式式，并简称为公式. 当使用联
结词集{┐，∧，∨，→， }中的联结词时，合式
公式定义如下
定义1.6 （1）单个命题变项是合式公式，并称为原子命题公式.
（2）若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式. （3）若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，
(b) A＝B∧C，其中B，C分别为 i 层和 j 层公式，且 n＝max( i, j )；
(c) A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d) A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e) A＝B ↔ C，其中B，C的层次及n同(b)；
（3）若公式A的层次为k，则称A是k层公式.
三、公式的赋值
在命题公式中，由于有命题符号的出现，因而真值是不
确定的. 当将公式中出现的全部命题符号都解释成具体的命 题之后，公式就成了真值确定的命题了. 例如，公式(p∨q)→r ： 若 p：2是素数，q：3是偶数，r： 2 是无理数，则此时公 式(p∨q)→r是一个真命题； 若 p，q解释不变，r： 2是有理数，则(p∨q)→r是假命题. 下面的问题是指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的 真值为1；指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的真值为0.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
从表1.4可知，该公式的8个赋值全是成假赋值，它无成
真赋值.
五、公式的分类
定义1.10 设A为任一命题公式,
(1) 若A在它的各种赋值下取值均为真, 则称A是 重言式或永真式. (2) 若A在它的各种赋值下取值均为假, 则称A是
第1节 命题与联结词 第2节 命题公式及其赋值
第2节 命题公式及其赋值
一、命题公式的定义
二、公式的层次
三、公式的赋值 四、真值表 五、公式的真假值分类
一、命题公式的定义
命题可以表示为符号串，那么符号串是否都
代表命题呢？显然不是，如“P ∨”，“PP→”
1 命题常项与命题变项
100(p＝1，q＝0，r＝0)为成假赋值。
四、真值表
1 定义 定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值情况列
成表，称作A的真值表 .
2 构造真值表的具体步骤如下：
（1）找出公式中所含的全体命题变项 p1 , p2 ,, pn
(若无下角标就按字典顺序排列)，列出2n个赋值. 我
们规定，赋值从00…0开始，然后按二进制加法依次
(A ↔B)也是合式公式. （4）只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式
公式.
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式.
如: (p→q)∧(q↔r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)
都是合式公式，而pq→r,（p→(r→q)不是合式公式.
注意：
① 定义1.6给出的合式公式的定义方式称为归纳定义方 式，下文中还将多次出现这种定义方式.
(3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
从定义不难看出以下几点：
1. A是可满足式的等价定义是：A至少存在一个成真赋值. 2. 重言式一定是可满足式，但反之不真. 因而，若公式A是可
满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式
的可满足式. 3. 真值表可用来判断公式的类型:
(1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式.
个命题变元的真值表共有
2n 种不同情况 . 2
例1.9 下列各公式均含两个命题变项p与q，它们中
哪些具有相同的真值表?
(1) p→q
(2) p↔q
(3) ┐(p∧┐q) (4) (p→q)∧(q→p) (5) ┐q∨p
解: 构造过程不写, 表1.5 给出了这5个公式的真值表
pq
pq
p q ( p q ) ( p q ) (q p) q p
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表
如表1.3所示
p q p q ( p p ) ( q q ) ( p p ) ( q q )
00 1.3 01 10 11
表
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
从表1.3可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无 成假赋值.
② 定义中的符号A, B等，表示的是任意的合式公式 (元语言符号), 不是某个具体的公式(对象语言符号).
③ 公式的最外层括号可以省去；公式中不影响运算次 序的括号也可以省去.
二、公式的层次
定义1.7
（1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式.
（2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a) A＝┐B，B是n层公式；
(2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式.
(3) 若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式.
从表1.2～1.4可知，例1.8中，
公式(1)(┐p∧q)→┐r为非重言式的可满足式，
公式(2)(p∧┐p) ←→ (q∧┐q)为重言式，
公式(3)┐(p→q)∧q∧r为矛盾式.
注：
关于n个命题变元 p1 , p2 , , pn 可以构造多 少个真值表呢？ n个命题变元共产生2n个不同赋值， 在每个赋值下，公式的值只有0和1两个值. 于是n
00 01 10 11
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 0 1
表1.5
1 0 0 1
1 0 1 1
从表1.5 中可看出, (1),(3)具有相同的真值表, (2),(4)具有相 同的真值表
例1.10 下列公式中哪些具有相同的真值表? (1) p→q
(2) ┐q∨r
(3) (┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4) (q→r)∧(p→p)
公式(3)是含3个命题变项的4层合式公式. 它的真值表 如表1.4所示 p q r p q ( p q ) ( p q ) q ( p q ) q r
表
1.4
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
解: 本例中给出的4个公式，共同含有3个命
题变项，r在公式(1)中不出现，称为(1)的哑元，p
是公式(2)中的哑元，讨论它们是否有相同的真值
表时，均按三个命题变项写出它们的真值表. 表
1.6列出这4个公式的真值表，中间过程省略了.
表1.6
pqr
p q p r ( p q ) ( p r ) p ( q r ) ( p p )
(i) 命题常项（命题常元）：简单命题（是真值 唯一确定的命题逻辑中最基本的研究单位）
(ii) 命题变项（命题变元）：真值可以变化的
陈述句。
注意：
① 也用p, q, r, … 表示命题变项. 当p,q,r,…表示命
题变项时，它们就成了取值0或1的变项.
② 因而命题变项已不是命题. ③ p, q, r, …既可以表示命题常项，也可以表示命 题变项. 在使用中，需要由上下文确定它们表示 的是常项还是变项.
写出各赋值，直到11…1为止 .
（2）按从低到高的顺序写出公式的各个层次.
（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后
计算出公式的真值.
例1.8 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假
赋值.
(1) (┐p∧q)→┐r
(2)
(p∧┐p) ←→ (q∧┐q)
(3) ┐(p→q)∧q∧r
解: 公式(1)是含3个命题变项的3层合式公式.它的真值 表如表1.2所示
4 含n(n≥1)个命题变项的公式共有2n个不同 的赋值 .
例如，在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中，
000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)，
110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)
都是成真赋值，而 001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)， 011(p1＝0，p2＝1，p3＝1) 都是成假赋值。 在公式(p∧┐q)→r中， 011(p＝0，q＝1，r＝1)为成真赋值，
① 若A中出现的命题符号为 p1 , p2 , , pn ，给定A 的赋值 a1 , a2 , , an 是指：
p1 a1 , p2 a2 , , pn an
② 若A中出现的命题符号为 p, q, r , 上述 a i 取值为0或1，i＝1, 2, … , n . ,给定A的赋 值 a1 , a2 , , an 是指最后一个字母赋值 n . a
p q r p r p q ( p q ) r
表 1.2
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
从表1.2可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值.
000 001 010 011 100 10 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
从表1.6 从表中看出，(1)与(3)有相同的真值表，(2)与(4)有相同
的真值表.
作业： P18—19
19. (3)(4)(5) 21.（2）
1 定义
定义1.8 设 p1 , p2 , , pn 是出现在公式A中的全部 命题变项，给 p1 , p2 , , pn 各指定一个真值，称为对
A的一个赋值或解释。
2 分类
若指定的一组值使A的真值为1，则称这组值为 A的成真赋值； 若使A的真值为0，则称这组值为A的成假赋值.
3 说明
对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定：
2 合式公式
将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑 关系连接起来的符号串称为 合式公式，也称为命
题公式或命题形式式，并简称为公式. 当使用联
结词集{┐，∧，∨，→， }中的联结词时，合式
公式定义如下
定义1.6 （1）单个命题变项是合式公式，并称为原子命题公式.
（2）若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式. （3）若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，
(b) A＝B∧C，其中B，C分别为 i 层和 j 层公式，且 n＝max( i, j )；
(c) A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d) A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e) A＝B ↔ C，其中B，C的层次及n同(b)；
（3）若公式A的层次为k，则称A是k层公式.
三、公式的赋值
在命题公式中，由于有命题符号的出现，因而真值是不
确定的. 当将公式中出现的全部命题符号都解释成具体的命 题之后，公式就成了真值确定的命题了. 例如，公式(p∨q)→r ： 若 p：2是素数，q：3是偶数，r： 2 是无理数，则此时公 式(p∨q)→r是一个真命题； 若 p，q解释不变，r： 2是有理数，则(p∨q)→r是假命题. 下面的问题是指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的 真值为1；指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的真值为0.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
从表1.4可知，该公式的8个赋值全是成假赋值，它无成
真赋值.
五、公式的分类
定义1.10 设A为任一命题公式,
(1) 若A在它的各种赋值下取值均为真, 则称A是 重言式或永真式. (2) 若A在它的各种赋值下取值均为假, 则称A是