1.2 命题公式及其赋值

p q r p r p q ( p q ) r
表 1.2
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1
பைடு நூலகம்
从表1.2可知，公式(1)的成假赋值为011，其余7个赋值都是 成真赋值.
(2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式.
(3) 若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式.
从表1.2～1.4可知，例1.8中，
公式(1)(┐p∧q)→┐r为非重言式的可满足式，
公式(2)(p∧┐p) ←→ (q∧┐q)为重言式，
公式(3)┐(p→q)∧q∧r为矛盾式.
注：
关于n个命题变元 p1 , p2 , , pn 可以构造多 少个真值表呢？ n个命题变元共产生2n个不同赋值， 在每个赋值下，公式的值只有0和1两个值. 于是n
公式(2)是含2个命题变项的3层合式公式，它的真值表
如表1.3所示
p q p q ( p p ) ( q q ) ( p p ) ( q q )
00 1.3 01 10 11
表
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
从表1.3可以看出，该公式的4个赋值全是成真赋值，即无 成假赋值.
① 若A中出现的命题符号为 p1 , p2 , , pn ，给定A 的赋值 a1 , a2 , , an 是指：
p1 a1 , p2 a2 , , pn an
② 若A中出现的命题符号为 p, q, r , 上述 a i 取值为0或1，i＝1, 2, … , n . ,给定A的赋 值 a1 , a2 , , an 是指最后一个字母赋值 n . a
(A ↔B)也是合式公式. （4）只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才是合式
公式.
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式.
如: (p→q)∧(q↔r)，(p∧q)∧┐r，p∧(q∧┐r)
都是合式公式，而pq→r,（p→(r→q)不是合式公式.
注意：
① 定义1.6给出的合式公式的定义方式称为归纳定义方 式，下文中还将多次出现这种定义方式.
② 定义中的符号A, B等，表示的是任意的合式公式 (元语言符号), 不是某个具体的公式(对象语言符号).
③ 公式的最外层括号可以省去；公式中不影响运算次 序的括号也可以省去.
二、公式的层次
定义1.7
（1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式.
（2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a) A＝┐B，B是n层公式；
(i) 命题常项（命题常元）：简单命题（是真值 唯一确定的命题逻辑中最基本的研究单位）
(ii) 命题变项（命题变元）：真值可以变化的
陈述句。
注意：
① 也用p, q, r, … 表示命题变项. 当p,q,r,…表示命
题变项时，它们就成了取值0或1的变项.
② 因而命题变项已不是命题. ③ p, q, r, …既可以表示命题常项，也可以表示命 题变项. 在使用中，需要由上下文确定它们表示 的是常项还是变项.
写出各赋值，直到11…1为止 .
（2）按从低到高的顺序写出公式的各个层次.
（3）对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后
计算出公式的真值.
例1.8 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假
赋值.
(1) (┐p∧q)→┐r
(2)
(p∧┐p) ←→ (q∧┐q)
(3) ┐(p→q)∧q∧r
解: 公式(1)是含3个命题变项的3层合式公式.它的真值 表如表1.2所示
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
从表1.4可知，该公式的8个赋值全是成假赋值，它无成
真赋值.
五、公式的分类
定义1.10 设A为任一命题公式,
(1) 若A在它的各种赋值下取值均为真, 则称A是 重言式或永真式. (2) 若A在它的各种赋值下取值均为假, 则称A是
矛盾式或永假式.
2 合式公式
将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑 关系连接起来的符号串称为 合式公式，也称为命
题公式或命题形式式，并简称为公式. 当使用联
结词集{┐，∧，∨，→， }中的联结词时，合式
公式定义如下
定义1.6 （1）单个命题变项是合式公式，并称为原子命题公式.
（2）若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式. （3）若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，
个命题变元的真值表共有
2n 种不同情况 . 2
例1.9 下列各公式均含两个命题变项p与q，它们中
哪些具有相同的真值表?
(1) p→q
(2) p↔q
(3) ┐(p∧┐q) (4) (p→q)∧(q→p) (5) ┐q∨p
解: 构造过程不写, 表1.5 给出了这5个公式的真值表
pq
pq
p q ( p q ) ( p q ) (q p) q p
公式(3)是含3个命题变项的4层合式公式. 它的真值表 如表1.4所示 p q r p q ( p q ) ( p q ) q ( p q ) q r
表
1.4
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 0
00 01 10 11
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 0 1
表1.5
1 0 0 1
1 0 1 1
从表1.5 中可看出, (1),(3)具有相同的真值表, (2),(4)具有相 同的真值表
例1.10 下列公式中哪些具有相同的真值表? (1) p→q
(2) ┐q∨r
(3) (┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4) (q→r)∧(p→p)
4 含n(n≥1)个命题变项的公式共有2n个不同 的赋值 .
例如，在公式(┐p1∧┐p2∧┐p3)∨(p1∧p2)中，
000(p1＝0，p2＝0，p3＝0)，
110(p1＝1，p2＝1，p3＝0)
都是成真赋值，而 001(p1＝0，p2＝0，p3＝1)， 011(p1＝0，p2＝1，p3＝1) 都是成假赋值。 在公式(p∧┐q)→r中， 011(p＝0，q＝1，r＝1)为成真赋值，
在命题公式中，由于有命题符号的出现，因而真值是不
确定的. 当将公式中出现的全部命题符号都解释成具体的命 题之后，公式就成了真值确定的命题了. 例如，公式(p∨q)→r ： 若 p：2是素数，q：3是偶数，r： 2 是无理数，则此时公 式(p∨q)→r是一个真命题； 若 p，q解释不变，r： 2是有理数，则(p∨q)→r是假命题. 下面的问题是指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的 真值为1；指定p，q，r的真值为何值时，(p∨q)→r的真值为0.
1 定义
定义1.8 设 p1 , p2 , , pn 是出现在公式A中的全部 命题变项，给 p1 , p2 , , pn 各指定一个真值，称为对
A的一个赋值或解释。
2 分类
若指定的一组值使A的真值为1，则称这组值为 A的成真赋值； 若使A的真值为0，则称这组值为A的成假赋值.
3 说明
对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定：
100(p＝1，q＝0，r＝0)为成假赋值。
四、真值表
1 定义 定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值情况列
成表，称作A的真值表 .
2 构造真值表的具体步骤如下：
（1）找出公式中所含的全体命题变项 p1 , p2 ,, pn
(若无下角标就按字典顺序排列)，列出2n个赋值. 我
们规定，赋值从00…0开始，然后按二进制加法依次
(3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
从定义不难看出以下几点：
1. A是可满足式的等价定义是：A至少存在一个成真赋值. 2. 重言式一定是可满足式，但反之不真. 因而，若公式A是可
满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式
的可满足式. 3. 真值表可用来判断公式的类型:
(1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式.
(b) A＝B∧C，其中B，C分别为 i 层和 j 层公式，且 n＝max( i, j )；
(c) A＝B∨C，其中B，C的层次及n同(b)； (d) A＝B→C，其中B，C的层次及n同(b)； (e) A＝B ↔ C，其中B，C的层次及n同(b)；
（3）若公式A的层次为k，则称A是k层公式.
三、公式的赋值
解: 本例中给出的4个公式，共同含有3个命
题变项，r在公式(1)中不出现，称为(1)的哑元，p
是公式(2)中的哑元，讨论它们是否有相同的真值
表时，均按三个命题变项写出它们的真值表. 表
1.6列出这4个公式的真值表，中间过程省略了.
表1.6
pqr
p q p r ( p q ) ( p r ) p ( q r ) ( p p )
第一章 命题逻辑基本概念
第1节 命题与联结词 第2节 命题公式及其赋值
第2节 命题公式及其赋值
一、命题公式的定义
二、公式的层次
三、公式的赋值 四、真值表 五、公式的真假值分类
一、命题公式的定义
命题可以表示为符号串，那么符号串是否都
代表命题呢？显然不是，如“P ∨”，“PP→”
1 命题常项与命题变项
000 001 010 011 100 101 110 111
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
从表1.6 从表中看出，(1)与(3)有相同的真值表，(2)与(4)有相同
的真值表.
作业： P18—19
19. (3)(4)(5) 21.（2）