空间向量在度量问题中的应用

C1 y
直 线B1B与 平 面AMC1所 成 角 为， 则
M
sin cos B1B • n a 5 .
B1B n a 5 5
B1 x
直线B1
B与平面AMC
所成的
1
角的大小为arcs
in
5. 5
例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-A`B`O`中,
OO`=4,OA=4,OB=3,AOB=900, P是侧
3x 2y 0
X
uur n2 (2,
3,1).cos
ur uur n1, n2
|
ur urn1 n1 |
• •
uur nu2ur | n2
|
1 22
2 4
B Y
ur uur n1, n2 arccos
2 4
.故二面角O1
AB
O的大小为
arccos
2. 4
法2：
作OE AB于E,O1F AB于F ,则向量EO与FO1 Z (0,1, 3)
如图，二面角α-l-β，平面α的法向量为 n1 ，
平面β的法向量为 n2 ， n1,n2 ，则二面
角α-l-β为 或 。
n1 n2
l
n1
n2
l
若AC l, BD l, 二面角的大小为，则
cos cos AC, BD AC BD .
AC BD
C
注：AC与BD均为 从垂足出发的向量.
Z
棱BB`上的一点,D为A`B`中点,若OP BD,
求OP与底面AOB所成角的大小.
B’
解：建系如图，则B(3,0,0), D( 3 ,2,4),
P
设P(3,0, z),
则BD
(
3
2
,2,4),OP
(3,0,
z),
BD
OP
BD
OP
2
9 2
4z
0
z
9 8
,
X
B
O’
D
A’
4
O
3
4
A Y
BB' 平面AOB POB为OP与底面AOB所成的角，
RtO1DO中，O1D 2 sin600
3,OD 1,
A
O 600
3D 2 M
所成的角即为二面角O AB O1的大小.
O1
B1
RtAOB中，OE OA OB 2 3 .
A1
AB
7
xE OE cosAOE OE cosABO
2
3
2
4
3 .
( 3,0,0)A
O2
3
EF
(0,2,0)
B
Y
77 7
23 3 6
yE OE sinAOE
. 7 77
XO
3
2
B
E
436
设平面AMC1的一个法向量n (x. y.z),
z
n
AC1
n C1M
n • AC1 ay az
3 ax 3 ay 0 44
0
x z
3y y
A
C B
令y 1,则x 3, z 1,n ( 3,1,1)
设B1B (0,0, a)与n ( 3,1,1)的 夹 角 为， A1
当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角
为（0 ), d是l的方向向量n，是的一个法向量，
2
d与n的夹角为,
则
2
2
(0 )
2
( ).
2
n
d
P
l
A
d'
O
l'
sin cos .
n
l
或cos cos d, d' d d' .
A
d d'
d
三、 用向量法求二面角的大小
E( , ,0).
77
A
令F ( x, y,0)
Z (0,1, 3 )
O1F (x, y 1, 3), AB ( 3,2,0),
O1
B1
O1F AB O1F AB 3x 2( y 1) 0 (1) A1
AF (x 3, y,0)
AF ∥ AB x 3 y (2) 3 2
一、空间两条直线所成的角：
设空间直线a与b所成角为 (0 ),
2
它们的一个方向向量分别为d1 (l1, m1, n1 )
和d2 (l2 , m2 , n2 ), d1与d2的夹角为（0 ).
则
(0 )
2
于是cos cos .
( ).
2
二、空间直线与平面所成的角。
RtPOB中，tanPOB PB 3 , OB 8
OP与面AOB所成的角为arctan 3 . 8
例2 : (2002年上海春季高考题)如图:
三棱柱OAB-O1 A1B1, 平面OBB1O1 平面OAB,
O1OB 600 , AOB 900 , 且OB OO1 2,
OA 3.求:(1)二面角O1 AB O的大小;
O
3
2
A
B
Y
X
法1：法向量
uuur
ur
Z
显然OZ为平面AOB的法向uur 量取n1 (0,0,1). 设u平ur 面uuOu1urAB的法uur 向uu量ur 为n2 (x, y, z).
O1
A1
B1
则n2 • AO1 0, n2 • AB 0.
O
即
:
3x 2y
3z 0,令y
A
3, x 2, z 1
(2)异面直线A1B与AO1所成角的大小.
解: (1)以O为原点,分别以OA,OB所在的直线为x, y轴,
Z
过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴,建立空间直角
O1
B1
坐标系.如图所示.则O(0, 0, uuuur
0),
O1(0,1,
3), A( uuur
3, 0, 0)
A1
2
A1( 3,1 3), B(0, 2,0), AO1 ( 3,1, 3), AB ( 3, 2,0)
7
7
77
2.
2
3 7
2
3 7
2
(
3)2
4
3 7
2
6 7
2
4
故所求二面角的大小为arccos 2 . 4
法3: 面OBB1O1 面ABO,交线为OB
作O1D OB于D,则O1D 面AOB,
O1
B1
过D作DM AB于M , 连O1M ,则O1M AB, A1
2
O1MD是二面角O AB O1的平面角.
A
B
l
D
例：已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都是a,
M是棱A1
B1的
中点
，
求：直
线BB1与
平
面AMC
所成的
1
角.
解：建系如图，则A1(0,0,0), A(0,0, a), C1(0, a,0), M (
3 Leabharlann Baidua
3 a, a ,0), 44
AC1 (0, a,a), C1M ( 4 a, 4 ,0), B1B A1 A (0,0, a),
由(1)(2)可知：F ( 2 3 , 10 ,0) 77
( 3,0,0)A
O2
3
EF
(0,2,0)
B
23 3
FO1 (
7
, , 7
3 ),
EO ( 4 3 , 6 ,0). 77
设 EO与FO1的 夹 角 为， 则cos EO FO1
EO FO1
2 3 ( 4 3 ) ( 3)( 6) 3 0