同济理论力学 有关自由度

1.基本概念
自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数 自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数 空间质点: k 3n s, 平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量 与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 一般地：n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk
3n s 3n (3n 6) 6
n>4
3.自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标 x0 , y0 , z0 和欧拉角 , , 或卡尔丹角 , , 组成的6个独立参变量就是 自由刚体的广义坐标。
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为m，则 k = 6m -S
y
yC r
r 0 x
——几何约束 ——运动约束
C
vC
x
定常几何约束
O y
l
单摆:
x2 y 2 z 2 l 2
z x
A
非定常几何约束
x 2 y 2 z 2 l0 vt 2
v
双面Leabharlann Baidu束：在约束方程中用严格的
等号表示的约束。 OA为刚性杆： x 2 y 2 z 2 l 2 z 单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。 x
3. 约束分类与约束方程一般形式
n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
1 , y 1 , z n , y n , z 1 ,, x n ; t ) 0 f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; x
(r=1,…,s) 约束方程的特例:
1 , y 1 , z n , y n , z 1 ,, x n ; 时为几何约束, 约束方程中不含: x 反之为运动约束。
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况 刚体上一轴被约束 （定轴转动） 刚体上一点被约束 （定点运动） 刚体被限制作平面平行运 动（自由的平面运动） 刚体被限制作平行移动 （平移） 自由度 1
约束方程的个数为：s
约束方程中不含: 不显含时间t时为定常约束, 反之为 非定常约束。 约束方程中以等号表示时:为双面（固执）约束, 反之 为单面（非固执）约束。
几何约束
单摆:
O
y
l
x2 y 2 z 2 l 2
f ( x, y, z) 0
z
A
x
曲面上的质点：
z
M
y
运动约束
纯滚动的圆轮： x
2.约束方程
(1) 坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数， 这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。 (2)位形 对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立 坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。 (3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t 之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之 为约束方程。
约束、自由度与广义坐标
一、问题的提出
物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系 统与非自由系统。
研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与 广义坐标的概念。 二、约束 1.约束概念 约束就是限制物体任意运动的条件。 刚体静力学研究约束, 是探究约束的原因-------约束力 运动学研究约束,是探究约束的结果-------运动的限制
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 连接质点的刚杆数为：3n 6
每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：s 3n 6
自由度数为： k
(4)计算自由度,确定广义坐标。
(a)空间刚体系 k=6n-s,空间质点系 k=3n-s (b)平面刚体系 k=3n-s,平面质点系 k=2n-s
xi xi (q1 , q2 qk , t )
yi yi (q1 , q2 ...... qk , t )
zi zi (q1 , q2 qk , t )
ri ri (q1 , q2 qk , t )
i=1,2,· · · · · · n
O
y
l
A
单摆
OA为柔绳：
x2 y2 z 2 l 2
完
整
约 束 非 完 整 约
1.位移约束----全部几何约束
2.运动约束可积分----纯滚动的圆轮;
运动约束不可积分----如碰撞系统, 摩擦系统等.
束
静力学问题中的约束都是定常几何约束。
本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。
三、广义坐标、自由度
3 3
广义坐标

, ,
x 0 , y 0 , x0 , y 0 , z 0
3
本例为质点与刚体
l0
k
x
A

广义坐标
q1 x; q2
B
自由度
yA 0
x B x A l cos
y B l sin
k 2
五 总 结
(1)检查刚体(质点)数目 n。 (2)检查各刚体的运动形式。 (3)列写出约束方程。