第43讲 抽样方法、用样本估计总体

第七章概率与统计

知识体系【p98】

第43讲抽样方法、用样本估计总体

夯实基础【p98】

【学习目标】

1．了解三种抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．

2．掌握“一表三图”：频率分布表、频率分布直方图、折线图、茎叶图．

3．会求“六种数”：众数、中位数、平均数、极差、方差、标准差．

【基础检测】

1．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是() A．分层抽样法，系统抽样法

B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法

D．简单随机抽样法，分层抽样法

【解析】显然，调查②为简单随机抽样，而对于调查①，因地区不同产品的销售情况会有差异，因此要采取分层抽样，故选B.

【答案】B

2．某校1 000名学生中，O型血有450人，A型血有200人，B型血有200人，AB型血有150人，为了研究血型与血弱的关系，从中抽取容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血，A型血，B型血，AB型血的人应分别抽取的人数为() A．16、10、10、4 B．18、8、8、6

C．18、10、10、2 D．15、8、8、9

【解析】分层抽样为按比例抽样，则O型血抽取的人数为40×

450

1 000＝18；A型血抽取

的人数为40×

200

1 000＝8；B型血抽取的人数为40×

200

1 000＝8；AB型血抽取的人数为40×

150

1 000

＝6.故本题答案选B.

【答案】B

3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2 000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…，2 000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1，820]的人做问卷A，编号落入区间[821，1 520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为()

A．23 B．24 C．25 D．26

【解析】若采用系统抽样方法从2 000人中抽取100人做问卷调查，则需要分为100组，每组20人，若第一组抽到的号码为9，则以后每组应抽取的号码分别为29，49，69，89，109，…，

所以抽到的号码构成以9为首项，20为公差的等差数列，

此等差数列的通项公式为a n＝9＋20(n－1)＝20n－11.

由题意可知，落在区间[1 521，2 000]的有：

1 521≤20n－11≤

2 000，n∈Z，

解得：76.6≤n≤100.55，n∈Z，所以77≤n≤100，n∈Z.

编号落入区间[1 521，2 000]的有24(人)，

故选B.

【答案】B

4．为了解某校高二1 000名学生的体能情况，随机抽查部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是()

A．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有200人

B．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有20人

C．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25.25次

D．该校高二学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次

【解析】图象的纵坐标是频率比组距，故仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.04×5＝0.2，故人数有0.2×1 000＝200，A是正确的；

同理次数少于20次的频率为0.1，人数为100人，故B 是错误的；

高二学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25＋x ，则0.1＋0.3＋0.4×x ＝0.5，x ＝0.25.故得到中位数为：25.25，故C 是正确的；

众数即出现最多的次数，频率最大的，在25到30之间，取中间值27.5即可，故D 也是正确的．

故选B.

【答案】B

【知识要点】

1．抽样方法

(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确地反映总体的情况，常用的抽样方法有__简单随机抽样__、__分层抽样__、__系统抽样__．

(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为N(较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简单随机抽样的两种常用方法为__抽签法和随机数表法__．

(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后__按各部分所占的比值进行抽样__，其中所分成的各部分叫作__层__．

(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先__确定的规则__在各部分抽取．

2．总体分布的估计

(1)作频率分布直方图的步骤：

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)

②决定组距与组数

③将数据分组

，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得k 个矩形，这样得到的图形叫作__频率分布直方图__．

频率分布直方图的性质：①第i 个矩形的面积等于样本值落入区间[t i －1，t i )的频率；②由于f 1＋f 2＋…＋f k ＝1，所以所有小矩形的面积的和为1. (2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图会越来越近似于一条光滑曲线，称之为__总体密度曲线__．

(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是__中间的一列数__，叶是从__茎旁边上长出来的数__．

用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．

3．平均数和方差的计算

(1)如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，则x ＝__1n

(x 1＋x 2＋…＋x n )__叫作这组数据的平均数，s 2＝__1n

[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x n －x)2] 叫作这组数据的方差，而s 叫作标准差． (2)公式s 2＝__1n

[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx 2] ． (3)当一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得

到x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，则s 2＝__1n

[(x′21＋x′22＋…＋x′2n )－nx ′2] ．