湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学试题及答案

武汉市2018届高中毕业生四月调研测试

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数52

i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -

2.已知集合2

{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）

A ．{1}

B ．{1,1}-

C ．{1,0}

D ．{1,1,0}-

3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）

A ．[4,2]-

B ．[2,2]-

C ．[2,4]-

D ．[4,0]-

4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）

A C ．． 5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ）

A ．25

B ．310

C ．15

D ．110

6.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，

l 的大小关系为（ ）

A ．m l n >>

B ．l n m >>

C ．n l m >>

D ．l m n >>

7.已知直线1y kx =-与双曲线22

4x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）

A ．

B ．

C ．(

D ． 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2

b c a +≤，条件q ：2

B C A +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

9.在61(1)x x

+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24-

10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ）

A ．2-

B ．

211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+

>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）

A ．[2,4]ππ

B ．9[2,

)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴

于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）

A B ．12 D ．34

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ． 14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则

22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．

15.已知(,)22

x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．

16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11

212n n n n n a a a a ---+=

+-(2)n ≥. （1）求2a ，3a ；

（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .

18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD

上，且1AE CF ==.

（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .

（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.

19.已知椭圆Γ：22

142

x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.

（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；

（2）记AB CD

λ=，求λ的取值范围. 20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.

（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；

（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？

（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）

附：①2204.75s =14.31=；

②2(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；

③40.84130.501=.

21.已知函数()(ln )x

f x xe a x x =-+，a R ∈.

（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；